Механика гидро - и пневмоприводов

Математическая модель силовой части гидропривода с объемным регулированием

Силовая часть гидропривода с объемным регулировани­ем состоит из исполнительного двигателя с поступательным или вращательным движением выходного звена и объемного насоса с изменяемой подачей. Чтобы познакомиться с особен­ностями математического описания процессов в гидродвигате­лях при неограниченном вращательном движении выходного звена, т. е. в гидромоторах, рассмотрим схему, изображенную на рис. 5.4, а. На схеме вал аксиально-поршневого гидромото­ра 1 соединен с нагрузкой 2. Рабочая жидкость поступает в гидромотор от аксиально-поршневого насоса 3, подача которо­го может изменяться как по величине, так и по направлению путем регулирования угла 7Н наклона шайбы. В соответствии со схемой движение жидкости происходит по замкнутому ги­дравлическому контуру, причем так, что у насоса либо верх­няя гидролиния является напорной, а нижняя — всасывающей, либо наоборот. Для компенсации утечек жидкости предусмо­трены клапаны 4, к которым подведена жидкость под давле­нием Рподп подпитки от вспомогательного насоса. Расходная характеристика этих клапанов приведена на рис. 5.4, б.

При давлении р < рПодп открывается верхний клапан, пропуская жидкость (расход фподп 1) в гидролинию с давлени­ем р1, при р2 < Рподп открывается нижний клапан, и расход Фподп 2 поступает в гидролинию с давлением р2. Если давле­ние Рподп меньше одного из указанных давлений, то соответ­

Ствующий клапан закрыт, а если рПодп < Р и рПодп < Р2> то закрыты оба клапана (ро на прямой 2 рис. 5.4, б). В точке, для которой р = р2 = Рподп) характеристика имеет разрыв по пер­вой производной и поэтому в данной точке не может быть ли­неаризована методом малых отклонений. С целью получения линейной математической модели силовой части гидропривода с объемным регулированием предположим, что при выбранном для исследования режиме работы привода (р = р2 = Ро на прямой I) клапаны открыты и соответственно

Фподп 1 = &кл(Рподп “Р1); (5.50)

Фподп2 — &кл(Рподп ""Р2)) (5.51)

Где ккл — проводимость клапана.

Для момента времени, при котором вследствие малого от­клонения шайбы насоса от среднего положения жидкость по­ступает из насоса в гидролинию с давлением р, а из гидроли­нии с давлением р2 уходит в насос, запишем следующие урав­нения расходов:

Як — Ям + Яп. к + Яп. м +

“I" Яу. к 1 “I" Яу. м 1 “Ь Ясж1 ~~ Фподп 15 (5.52)

Фн — Фм + Фп. н + Фп. м"“

Фу. н2 Фу. м2 Фсж2 "I" Фподп2* (5.53)

В уравнениях (5.52) и (5.53) расходы фСж1 и Фсж2 являют­ся теми составляющими подачи фн насоса, которые связаны с сжимаемостью жидкости. Остальные составляющие фн, по­казанные на схеме (см. рис. 5.4, а) стрелками, учитывают рас­ход фм, обеспечивающий вращение вала гидромотора, а также утечки и перетечки жидкости в насосе и гидромоторе. Уравне­ния упрощается, если насос и гидромотор имеют одинаковые размеры и изготовлены с одинаковыми допусками. В этом слу­чае можно принять, что

Фп. н — фп. м — Фпер> Qy. nl — Фу. м1 — Фут1> Фу. н2 ~ Фу. м2 ~ Фут2*

Перечисленные составляющие фн определяют с помощью следующих соотношениий:

(5.54)

(5.55)

(5.56)

(5.57)

Где дм = Ум/(2тг) — рабочий объем гидромотора, отнесенный к одному радиану угла поворота его вала; А? пер — проводи­мость зазоров, по которым в насосе и гидромоторе происходят перетечки жидкости из камер с высоким давлением в камеры с низким давлением; кут — проводимость зазоров в насосе и гидромоторе, по которым происходит утечка жидкости.

Предполагая, что гидролинии выполнены из трубопрово­дов с одинаковыми проходными сечениями и имеют одинако­вую длину, а также считая стенки трубопроводов абсолютно жесткими, запишем

Уо_<1р1

Фсж1 — р м ’

Ж и»

Уо <1р 2

Ясж2 ~ Вж <И

Где Уо — внутренний объем одного трубопровода вместе с под­ключенными к нему камерами насоса и гидромотора; Вж — модуль объемной упругости жидкости.

Соотношения (5.58) и (5.59) записаны исходя из того, что давление во всех сечениях каждого трубопровода изменяется одновременно, а инерция жидкости и гидравлическое сопроти­вление трубопроводов незначительно влияют на эти изменения давления. Такое допущение позволяет получить математиче­скую модель силовой части гидропривода в сосредоточенных параметрах, которая описывает происходящие в приводе про­цессы с достаточной для практики достоверностью, если ха­рактерное время процесса приблизительно на порядок больше времени распространения волны давления по длине трубопро­вода. В противном случае может возникнуть необходимость использования более сложной математической модели привода с распределенными параметрами.

Подставив составляющие Як из соотношений (5.50), (5.51), (5.54) - (5.59) в уравнения (5.52) и (5.53), а затем сложив эти уравнения, получим

(1рм. ^ 9м И +2В^~М+кзРм~®н’ (5’60)

ГДе Рм = Р1 ~~ Р2 к5 — куТ + 2А:пер Н —.

Геометрическую подачу Як аксиально-поршневого насоса можно найти по соотношению

^ ^7н /с *1Ч

Я н — — , (5.61)

Где 5П — рабочая площадь поршня (плунжера); гп — число поршней; Вп — диаметр цилиндрической поверхности, на ко­торой расположены оси поршней; Пн — угловая скорость вала насоса.

При малых изменениях угла наклона шайбы насоса около ее среднего положения и постоянной скорости вращения вала насоса соотношение (5.61) нетрудно линеаризовать и предста­вить в виде

Як = (5.62)

Где = 5,п^п^п^н/2тг — коэффициент преобразования угла наклона шайбы в подачу насоса.

После подстановки величины фн из соотношения (5.62) в уравнение (5.60) получим

Чм ёам Уо (1рм к8 . .

+ ^Б~Р---------- 1Г + 17— Рм = 7н - (5.63)

КЯ1 (1Ь Ль Кц*у

В уравнение (5.63) входит разность рм давлений в каме­рах гидромотора, которая также входит в уравнение движения вала гидромотора

3 ^2 ~ 9мРм Миоз — Мтр 1 — AfXp2, (5.64)

Где «/ — приведенный к валу гидромотора момент инерции управляемого приводом объекта, вычисленный с учетом мо­мента инерции ротора самого гидромотора; Мпоз — момент от действия на вал гидромотора позиционной нагрузки; Мхр 1 и Мтр 2 — моменты сил трения соответственно в гидромоторе и нагрузке, приложенной к валу гидромотора.

Нагружающие вал гидромотора моменты определим сле­дующими соотношениями:

Мпоз = ^ПОЗ^М) (5.65)

МХР1 = *ТР1^; (5.66)

Мхр2 = *Тр2^р (5.67)

Подставив в уравнение (5.64) моменты из соотношений (5.65)-

(5.67) , получим

J в? ам ктр (1ам кпоз. V

---- трг + лГ +---------------- ам = Р™' (5‘68)

Ям & аЛ

Где А? хр — ^тр 1 "Ь ^тр2-

Уравнения (5.63 ) и (5.68) сведем к одному уравнению, опи­сывающему динамические процессы в силовой части гидропри­вода с объемным регулированием, которое представим в виде

, <Рам (1ам, д0ч

А1"^Г а°ам = 7н’ ^

Жо _ кТрУо к31 .

Где аз — ——; а,2 — —----------------- —---- 1--- ——; а — ( 1 +

2ВждмК(2*у 2 ВждмК(2^

^поз Уо А?8А? Хр А?8А?

ПОЗ Г)

+ ——Т) Н---- ) ——; ао = —7?—• Величины, стоящие в

25ж9Й 9м / Яу ЯмКЯу

Скобках при вычислении коэффициента ах, обычно малы по сравнению с единицей и поэтому в дальнейшем их можно не учитывать. С таким допущением преобразовав по Лапласу уравнение (5.69) при нулевых начальных условиях, получим уравнение, которое представим в виде

Тт. о$(Тмз2 + 2£МТМ6 + 1)ам(б) =

== 7н(5) - Кп. о^м^)) (5.70)

Где

Гг. о = (5.71)

Яч

Ги=(572) Г _ УЯж*8 + 0,5^0 /С 70

А-,.. = Цр-- (5.74)

Чм^7

Коэффициенты уравнения (5.70), вычисляемые по фор­мулам (5.71) - (5.74), отражают физические явления, анало­гичные тем, которые рассматривались в двух предыдущих математических моделях и имеют с ними схожие названия: Гг. о — постоянная времени гидропривода с объемным регу­лированием; Тм — постоянная времени нагруженного гидро­мотора, равная обратному значению собственной частоты м гидромотора; См — коэффициент относительного демпфирова­ния гидромотора; ККг0 — коэффициент внутренней обратной связи, вызванной действием позиционной нагрузки и негерме - тичностью гидромашин (гидромотора и насоса).

Уравнению (5.70) соответствует изображенная на рис. 5.5 структурная схема. Сравнивая данную структурную схему со структурными схемами силовых частей гидропривода с

Рис. 5.6. Структурная схема сило­вой и управляющих частей гидро - или пневмопривода

Дроссельным регулированием и пневмопривода, нетрудно за­метить, что они различаются только величинами, определя­ющими значения постоянных времени и коэффициентов отно­сительного демпфирования. Это делает возможным структур­ную схему гидро - или пневмопривода представлять в виде по­следовательного соединения (рис. 5.6) силовой части с переда­точной функцией И'с. ч^) и управляющей части с передаточной функцией №у. ч(з). Первая передаточная функция находится либо согласно правилам преобразования рассмотренных ранее структурных схем, либо непосредственно из математических моделей силовых частей приводов.

Передаточная функция управляющей части описывает ди­намические свойства устройств, используемых в приводе для управления исполнительным двигателем. Из всего многообра­зия управляющих устройств ниже выбраны такие, которые, во-первых, широко применяют в гидро - и пневмоприводах раз­личного назначения и, во-вторых, позволяют в достаточной ме­ре наглядно изложить общую методику математического мо­делирования такого вида устройств.