Механика гидро - и пневмоприводов

Линейная математическая модель силовой части пневмопривода

Математические модели пневмопривода и гидропривода различаются в основном из-за большей сжимаемости газа по сравнению с жидкостью. Чтобы с учетом этой особенности пневмопривода составить математическую модель его силовой части, обратимся к такой же схеме, как при моделировании ги­дропривода с дроссельным регулированием (см. рис. 5.1), мы­сленно заменив зачерненные треугольники на незачерненные, как принято обозначать напорную и сливную магистрали на пневмосхемах. Кроме допущений, принятых ранее при описа­нии процессов в гидроцилиндре, опору пневмоцилинра будем считать абсолютно жесткой (соп —3► °о), так как перемещение пневмоцилиндра, вызванное податливостью опоры, обычно ма­ло по сравнению с теми перемещениями штока пневмоцилин­дра, которые могут возникать вследствие сжимаемости газа в его полостях.

Массовый расход газа, поступающего в левую полость пневмоцилиндра при смещении золотника влево от среднего положения, представим в виде

О, = (5.31)

Где р — плотность газа в левой полости пневмоцилиндра, объ­ем которой У.

В случае совершенного газа его состояние описывает урав­нение Клапейрона

„ = ^ (5-32)

В котором р1 и ©1 — абсолютное давление и абсолютная тем­пература газа в левой полости пневмоцилиндра; Я — газовая постоянная.

Подставив плотность газа из уравнения (5.32) в соотноше­ние (5.31), получим

(5-зз)

Так же можно найти массовый расход газа, вытесняемого из правой полости пневмоцилиндра при движении его поршня:

(534)

Для левой полости дополнительно запишем уравнение энергии газа в виде

Ср(71©1л ~Р1~^ + = (5-35)

Где ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давле - нии; ©1л — абсолютная температура газа в канале, который соединяет левую полость пневмоцилиндра с золотником; фт — количество теплоты, подводимой из окружающей среды или отводимой в окружающую среду; су — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Наличие производной <К}т/& в уравнении (5.35) усложня­ет математическую модель силовой части пневмопривода, так как потребуется составить уравнение, описывающее процесс теплообмена между находящимся в пневмоцилиндре газом и окружающей средой. Поэтому в большинстве случаев рассма­тривают два предельных случая: в одном изменение состояния газа предполагается изотермическим, в другом — адиабати­ческим. К реальным динамическим процессам обычно ближе второй случай. С учетом такого допущения после подстановки значения плотности из уравнения (5.32) приведем уравнение

(5.35) к виду

Для правой полости пневмоцилиндра в результате таких же операций находим

Г, гл, Р2 ЛУ2 1 <1(р2У2) ^

С202” + ^1Г = (5'37)

Чтобы линеаризовать уравнения (5.36) и (5.37), перейдем к малым отклонениям переменных от своих установивших­ся значений, соответствующих среднему равновесному поло­жению поршня пневмоцилиндра. Если при этом положении поршня позиционная нагрузка равна нулю, то давления в поло­стях пневмоцилиндра будут одинаковыми, что позволяет при­нять рю = Р2 о = Ро - Допустим также, что температура газа в каналах между пневмоцилиндром и золотником изменяется незначительно и близка к температуре ©о газа при среднем положении поршня, тогда

® 1 л = ©2п = ©о - (5.38)

После линеаризации уравнений получаем

1 0С|СР А V А Л у’

, л, Щ 1 ( Щ Л>!Д.

С2 + 0^ ^--Шв„{ра-л+у°'л)' (5'40)

Где Уо — объем каждой полости пневмоцилиндра при среднем положении поршня; штрихами отмечены малые отклонения пе­ременных.

Суммируя уравнения (5.39) и (5.40) и используя соотно­шения У^ — *5*11 Ушт? У2 ~ *5пУшт> Ь ~Г~Б ~ ~Б5 находим

Ср к Я Я ’

РО (<2 ^Ушт Уо ФрЛ, V

Д©о п Л 2кро <И ) ’

Где <3 = <?! = С2; рн = р[ - р’2.

Отклонение массового расхода й связано с отклонением объемного расхода ф3 соотношением

0 = р()Яз = т~оЯз' (5'42)

Используя соотношение (5.42), представим уравнение (5.41) в форме, аналогичной уравнению (5.22):
где Ба. г = кро — адиабатический модуль объемной упруго­сти газа. Линеаризованную функцию ф3 = £?3(х3, рн) можно описать как в случае гидропривода уравнением (5.17) с тем отличием, что коэффициенты Кдх и Кдр должны быть вы­числены по расходно-перепадной характеристике золотнико­вого устройства, полученной для газа (см. § 3.7). В случае золотника с нулевыми перекрытиями для большей части та­кой характеристики коэффициент Кдр равен нулю и только при Рк/Рп >0,65 будет изменяться в зависимости от ж3 и рк. Уравнение движения выходного звена пневмопривода (што­ка пневмоцилиндра) при принятых допущениях не отличается от уравнения (5.21). При использовании уравнения (5.43) со­вместно с уравнениями (5.21) и (5.17) после перехода к изобра­жениям можно получить одно уравнение силовой части пнев­мопривода в форме

^п5(Тп цб2 + 2£п. ц7п. цЗ + 1)ушт(5) — жз(5)> (5.44)

Где

Сравнивая вычисляемые по формулам (5.45) - (5.48) ко­эффициенты уравнения (5.44) с коэффициентами уравнения (5.25), видим, что различие динамических характеристик си­ловых частей пневмопривода и гидропривода с дроссельным регулированием проявляется в основном в значительно мень­ших значениях собственной частоты п>ц пневмоцилиндра по сравнению с собственной частотой ыоц гидроцилиндра при одинаковых значениях массы га, присоединенной к их штокам. Из формул (5.27) и (5.46) следует, что

= )/*¥• (5-49) <*>0 Ц V "ж

Кроме того, так как коэффициент Кдр в окрестности зна­чений (дъ 0, ря 0 равен нулю, демпфирование колеба­ний поршня пневмоцилиндра, согласно формуле (5.48), создает только вязкое трение в нагрузке на выходное звено. По той же причине обращается в нуль коэффициент Кк и, следователь­но, в силовой части пневмопривода отсутствует внутренняя обратная связь. В остальном структурная схема силовой ча­сти пневмопривода будет такой же, как для гидропривода с дроссельным регулированием (рис. 5.3, б).

Рассмотренный подход к математическому моделирова­нию регулируемых гидро - и пневмоприводов можно применять и в тех случаях, когда в качестве исполнительного двигателя выбран гидро - или пневмодвигатель с ограниченным углом по­ворота вала.