СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Упрощение линейных систем

Сложные системы, передаточные функции которых имеют высокий порядок, полезно изу­чать, используя их аппроксимацию моделями пониженного порядка. Например, систему четвертого порядка можно аппроксимировать моделью второго порядка, что позволит оце­нивать ее показатели качества с помощью рис. 5.8.

Существует несколько методов понижения порядка передаточных функций. Сравни­тельно простым способом является удаление несущественных полюсов, которые имеют достаточно большую отрицательную действительную часть и, следовательно, слабо влия­ют на вид переходной характеристики.

Например, если система имеет передаточную функцию

К

ОД =

j(j+2Xj+30)

то мы безболезненно можем пренебречь полюсом s = -30. Однако мы должны сохранить коэффициент передачи системы на нулевой частоте, поэтому новая передаточная функция будет иметь вид

j(s+2)

Более сложный метод заключается в том, что частотную характеристику системы по­ниженного порядка стараются подогнать как можно ближе к исходной частотной харак­теристике. Хотя частотные методы будут рассматриваться в главе 8, данный метод ап­проксимации связан в основном с алгебраическими манипуляциями и поэтому мы его представим в данном разделе. Пусть система высокого порядка описывается передаточ­ной функцией

(5.51)

bnsn +bn_xsn +...+fc, s+l

все полюсы которой находятся в левой половине s-плоскости ит<п. Аппроксимирующая передаточная функция пониженного порядка имеет вид

C„SP +...+CiS+

L(s) = К—------------------- , (5.52)

dgsg +...+dxs +1

где p<g<n. Заметим, что коэффициент К — один и тот же для исходной и аппроксимирую­щей передаточных функций (это необходимо для совпадения свойств систем в установив­шемся режиме). Метод, который поясняется примером 5.9, основан на подборе с, и d, так, чтобы частотная характеристика для L(s) была как можно ближе к частотной характеристи­ке для H(s). Это эквивалентно утверждению, что отношение H(ja)/L(Ja) должно на всех ча­стотах как можно меньше отличаться от единицы. Коэффициенты с и d определяются с по­мощью следующих выражений:

d

MwC0 = j:4rA/(s) (5.53)

ds

и

л

д(*) (J)= « д(^ (5.54)

ds

где M(s) и A(s) есть, соответственно, полиномы в числителе и в знаменателе дроби H(s)/L(s). Введем обозначение

|(-1^^>(0Ж^(0) 9 = ол>2... (5.55)

h k(2k-q)

и аналогичное выражение для A2q. Коэффициенты с и d определяются из условия

M2lJ = Д2, , (5.56)

где q = 1,2,... и т. д. до числа, необходимого для определения всех неизвестных коэффици­ентов.

Применение данного метода поясним следующим примером.

Пример 5.9. Упрощенная модель

Рассмотрим систему третьего порядка:

H(s) = -=----- --- ^—1 , . . . . (5.57)

s + 6s + 1Ь - + б l+(y£)s + s +(%)s

Воспользовавшись моделью второго порядка

, 1 , 2 - (5.58)

1 + dts + d2s

запишем:

M(s) = 1+ dfS+ d2s2 и Д(.?) = 1 + ('.^s + .s’2 +

Тогда

A/°(s) = 1 + ds + d2s2 (5.59)

и ЛДО) = 1. Аналогично получим

М] = — (1 + c/,s + d2s2) ~ df + 2d2s. (5.60)

ds

Таким образом, М) = dt. Продолжая этот процесс, получим:

А/°(0)= 1 А°(0)=1,

= dt А'(0) = %

Л/2(0) = 2d2 Д2(0) = 2,

М3(0)=0 Д3 (0) = L

Теперь приравняем M2l] = Д2? для q = 1 и q = 2. Для q = 1 имеем ^ = ь1)МЧР)М) + М^(0) + (_1}м2(0Жо(0) = + f _ d2 = _24 + j (5 62)

Аналогично для Д2:

д = AWW + тм + Н)^>) = + 121 _, = 49

2 1 2 36 36

Из (5.56) следует, что при q = 1 М2 = Д2. следовательно

—2d2 + d[ = 4%6. (5.64)

Завершая процесс, для Мл = Д4 получим:

^2 = Хв - (5-65)

Совместное решение (5.64) и (5.65) дает результат: с/, = 1,615 и d2 = 0,625. (Другие решения от­брасываем, т. к. они дают полюсы в правой половине s-плоскости.) Таким образом, система пониженного порядка имеет передаточную функцию

1 *>60 L(s) = г = . (э.66)

1 + 1,615s + 0,625s2 s2 + 2,584s + 1,60

Интересно отметить, что //(s) имеет полюсы s = -1, -2, -3, тогда как полюсы L(s) равны s =-1,029 и -1,555. Поскольку модель пониженного порядка имеет два полюса, можно оце­нить, что система будет обладать слегка передемпфированной переходной характеристикой со временем установления (по критерию 2% от конечного значения) приблизительно 3 с.

Иногда бывает желательно сохранить в модели пониженного порядка доминирую­щие полюсы исходной системы. Этого можно добиться, если включить в знаменатель Us) доминирующие полюсы H(s), а аппроксимацию обеспечивать за счет подбора числителя L(s). Примером системы высокого порядка, которую удобно представить в виде модели пониженного порядка, является рука робота, изображенная ни рис. 5.33.

Еще одним новым и полезным методом понижения порядка является метод аппрок­симации Рауса, в основе которого лежит идея усечения таблицы Рауса, составляемой для анализа устойчивости системы. Приближения Рауса можно определить с помощью ко­нечного рекурсивного алгоритма, пригодного для реализации на цифровом компьютере.