СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример синтеза с продолжением: система чтения информации с диска

В главе 6 мы рассмотрели новую конфигурацию системы управления, в которой была использована обратная связь по скорости (см. разд. 6.7). В данной главе мы разберём случай, когда заданное качество системы обеспечивается с помощью ПИД-регулятора. Мы снова начнём с этапа4 процедуры синтеза нарис. 5.50. Затем с новой моделью перейдём к этапу 5, после чего на этапе 6 выберем регулятор. И, наконец, на этапе 7 мы оптимизируем параметры регулятора и исследуем качество системы. Для выбора па­раметров регулятора в данной главе мы воспользуемся методом корневого годографа.

ПИД-регулятор имеет передаточную функцию

Gc(s) = Kl+^ + Kis. (7.127)

s

Поскольку в модели объекта G2(s) уже присутствует операция интегрирования, то мы примем К2 = 0. В результате мы получим ПД-регулятор:

Gc(s) = Кх + K3s, (7.128)

а целью синтеза является выбор параметров Кх и К3, удовлетворяющих требованиям к ка­честву системы. Структурная схема системы приведена на рис. 7.45. Передаточная функ­ция замкнутой системы равна

Gc(sy3x(sy32(s)

R(s) l+Gc(s)Gl(s)G2(s)H(sy

где H(s) = 1.

Чтобы построить корневой годограф, представим Gc(s)Gl(s)G2(s)H(s) в виде:

5000(К1 +K3s) _ 5000K3(s+z)

GcGxG2H{s)--

ф+ 20)(j+ 1000) ф+ 20)(s+ 1000)

где z = К/К3. Параметр Кх мы выберем, чтобы задать положение нуля z, а затем построим корневой годограф в зависимости от К3. По интуиции (см. разд. 6.7) примем z = 1, тогда

GcGlG0H(s)= 50°^.з(д+1) ... (7.129)

' ф+20)(л+1000)

Разность между числом полюсов и числом нулей равна 2, поэтому можно ожидать, что асимптоты будут расположены под углами = ± 90, а их центроид будет в точке

-1020+1 о л = =-509,5,

как это показано на рис. 7.46. На этом же рисунке изображён набросок корневого годогра­фа. С помощью MATLAB определены значення корней при разных значениях К3. Корни, соответствующие Къ = 100, показаны на рис. 7.46. При этом показатели качества системы, также определённые с помощью MATLAB, приведены в табл. 7.6, откуда следует, что син­тезированная система удовлетворяет всем выдвинутым требованиям. Время установле­ния, равное 20 мс, — это время, необходимое системе для того, чтобы переходная характе­ристика «практически» достигла установившегося значения. В действительности реакция системы, достигнув 97% от конечного значения, очень медленно приближается к послед­нему.

Рис. 7.46 Асимптота

Набросок корневого годографа

Таблица 7.6. Требуемые и действительные значения показателей качества системы чтения информации с диска

Показатель качества

Относительное перерегулирование Время установления Максимум реакции на единичное возмущение

Желаемое значение

менее 5% менее 250 мс

Действительное значение

0%

20 мс

Резюме

Относительная устойчивость и основные показатели качества замкнутой системы управ­ления непосредственно связаны с расположением корней характеристического уравнения системы. Поэтому мы использовали метод корневого годографа, чтобы определить пере­мещение корней характеристического уравнения на s-плоскости при изменении парамет­ров системы. Этот графический метод может служить основой для предварительного опре­деления структуры системы и значения её параметров, Определение точного расположе­ния корней на j-плоскости обычно производится с помощью компьютера. Корневые годографы для 15 типичных случаев приведены в табл. 7.7.

Далее мы распространили метод корневого годографа на случай, когда варьируемы­ми являются несколько параметров системы. Затем была исследована чувствительность корней характеристического уравнения системы к изменению ее параметров. Из всего ма­териала ясно, что метод корневого годографа является эффективным средством анализа и синтеза современных систем управления и он остаётся одним из наиболее важных инст­рументов, применяемых в этой области.

Таблица 7.7. Корневые годографы для типовых передаточных функций

Корневой годограф

4.*

Корневой годограф G(s)

К

5.

■Г(£Т, + 1)

n,7

K{sxa + 1)

12.

Упражнения

У-7.1. Рассмотрим устройство, состоящее из шарика, который катается по внутренней поверхности обруча. Данная модель аналогична случаю колебаний жидкого топлива в ракете. Обруч вращается относительно горизонтальной оси, как показано на рис. 7.1(У). Угловое положение обруча изменяется за счёт момента Т, сооб­щаемого ему электродвигателем. В случае использования отрица­тельной обратной связи характеристическое уравнение этой сис­темы имеет вид:

Ks(s+ 4)

= 0.

s~ + 2s+2

(а) Постройте корневой годограф, (б) Определите значение К. при

котором оба корня равны, (в) Вычислите значения этих корней, (г) Определите время установ­ления для случая равных корней.

У-7.2. Система управления скоростью протяжки ленты в магнитофоне имеет передаточную функ­цию

O(s) =---------- y----------

s(s + 2)(s + 4 s + 5)

При этом предполагается, что используется отрицательная обратная связь, H(s) = 1.

(а) Постройте корневой годограф в зависимости от параметра К и покажите, что при К = 6.5 доминирующие корни равны s=- 0.35 ±>0,80. (б) Определите время установления и относите­льное перерегулирование, соответствующие этим доминирующим корням, если на вход систе­мы подан ступенчатый сигнал.

У-7.3. Система управления, применяемая для проверки автомобильной подвески, имеет передаточ­ную функцию

, K(s2+4s+8)

G(s) =----- =----------- .

s (s+ 4)

Желательно, чтобы доминирующие корни занимали положение, при котором коэффициент за­тухания имел бы значение С, = 0,5. С помощью метода корневого годографа покажите, что это возможно при К = 7,35 и что при этом доминирующие корни равны s = — 1.3 + /2.2.

У-7.4. Рассмотрите систему с единичной обратной связью, имеющую в разомкнутом состоянии пе­редаточную функцию

™ *(*+1)

= ~г~~л-------- 7 >

s + 4 s + 5

(а) Определите угол выхода корневого годографа из комплексных полюсов, (б) Определите точку входа корневого годографа в действительную ось.

Ответы: + 255°; —2.4.

У-7.5. Рассмотрите систему управления, для которой разомкнутый контур имеет передаточную функцию

s1 + 2s+ 10

GH(s) -

s4 + 38s3 + 515s2 + 2950s+ 6000

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси. (б) Определите по­ложение центроида асимптот, (в) Определите значение К, соответствующее точке отрыва.

У-7.6. США планируют к 2004 году иметь на орбите действующую космическую станцию. Возмож­ная конфигурация такой станции изображена на рис. 7.6(У). Важнейшей задачей является под­держание заданной ориентации станции на Солнце и Землю с целью производства электро­энергии и осуществлении связи. Система ориентации, включающая в себя регулятор и испол­нительное устройство, имеет единичную обратную связь, а её прямая цепь представлена пере­даточной функцией

_K(s+25)_ s(s + 24s + 100)

Изобразите корневой годограф системы в зависимости от параметра К. Определите значение К, при котором реакция системы будет иметь колебательный характер.

Ответ: К > 5,15.

Рис. 7.6 (У)

Космическая станция

У-1.1. Лифт в современных административных зданиях способен развивать скорость до 7,5 м/с и останавливаться на заданном этаже с точностью до 3 мм. Система управления положением лифта имеет единичную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

GW- ----------------------------- ■

ф+1)(я+20)(*+50)

Определите значение К, при котором комплексным корням будет соответствовать коэффици­ент затухания С, = 0.8.

У-7.8. Изобразите корневой годограф системы с единичной обратной связью, если

G(S) = M.

s2(s+9)

(а) Определите значение К, при котором все три корня будут действительными и одинаковы­ми. (б) Вычислите значение этих корней.

Ответы-. К = 27 ; j = — 3.

У-7.9. Крупнейший в мире телескоп расположен на Гавайских островах. Его главное зеркало имеет диаметр 10 м и состоит из 36 пятиугольных сегментов, причём ориентацией каждого сегмента можно управлять индивидуально. Система управления ориентацией сегмента имеет единич­ную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

К

G(s) = —5----------- .

s(s + 2s + 5)

(а) Определите асимптоты корневого годографа и изобразите их на s-плоскости, (б) Определи­те углы выхода годографа из комплексных полюсов, (в) Определите значение К. при котором два корня будут находиться на мнимой оси. (г) Изобразите вид корневого годографа. У-7.10. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функ­цию

ВД) = ^>. ф+ 1)

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси и точку входа в неё.

(б) Определите значение К и соответствующие ему корни, если действительная часть комплек­сных корней равна -2. (в) Изобразите вид корневого годографа.

Ответы: (а) — 0,59: — 3,41. (б) К= 3; s = -2± /V2.

У-7.11. Система управления усилием, развиваемым роботом, имеет единичную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна кс. K(s+ 2,5)

(s2 + 2s+2)(s2+4s+5)'

(а) Определите значение К, при котором доминирующим корням будет соответствовать коэф­фициент затухания С, = 0,707. Изобразите корневой годограф, (б) Определите действительные значения относительного перерегулирования и времени максимума переходной характеристи­ки при К, найденном в п. (а)

У-7.12. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

KC{s) = —^+1L_ . s(s + 4s+ 8)

(а) Изобразите корневой годограф для К > 0.

(б) Найдите значения корней при К = 10 и К = 20.

(в) Вычислите время нарастания переходной характеристики от 0 до 100%, относительное пе­ререгулирование и время установления (по критерию 2%) при значениях К = 10 и £ = 20.

У-7.13. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную фун­кцию

G(s) = —4(5 + 2) .

s(s+l)(s+3)

(а) Изобразите корневой годограф при изменении z от 0 до 100. (б) Используя корневой годог­раф и считая, что на вход системы подан ступенчатый сигнал, оцените величину относитель­ного перерегулирования и время установления (по критерию 2%) при z = 0.6: 2: 4. (в) Опреде­лите действительные значения перерегулирования и времени установления при z = 0,6; 2; 4. У-7.14. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

^10)

Л(5+ 5)

(а) Определите точки отрыва и входа корневого годографа и изобразите его вид при К >0.

(б) Определите значение К, при котором двум корням характеристического уравнения будет соответствовать С, = 1 /V2. (в) Вычислите значения этих корней.

У-7.15. (а) Постройте корневой годограф, если

СЩ$)=К^1^+3) s

(б) Определите диапазон значений К. при которых замкнутая система устойчива, (в) Предска­жите величину установившейся ошибки при линейном входном воздействии.

Ответы: (а) К > 3/4; (б) е„ = 0.

У-7.16. Система с единичной отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии пере­даточную функцию

C(S):

где 7= 0,1 с. Покажите, что для запаздывания можно воспользоваться аппроксимацией

-хТ 2/Т-s

е к-------------

2/T + s

Используя замену

20-s

20+s

постройте корневой годограф системы для К > 0. Определите диапазон значений К, при кото­рых система устойчива.

У-7.17. В системе, изображённой на рис. +

7.17(У), объект управления имеет ___ »Ґ~Л »

передаточную функцию

1 ’I_

G(s) = -

Ф ~ 1)

(а) Изобразив вид корневого годог­рафа, покажите, что при Gc(s) = К система всегда будет неустойчива, (б) В случае

(s+20)

изобразите корневой годограф и определите диапазон значений К. при которых система будет устойчива. Определите значение К, при котором два корня будут находиться на мнимой оси. и вычислите эти корни.

Рис. 7.17 (У). Система с обратной связью

У-7.18. Для управления курсом реактивного истребителя-перехватчика используется система с еди­ничной отрицательной обратной связью, имеющая в разомкнутом состоянии передаточную функцию

G(s) =---------- §--------- .

s(s+ 3)(s + 2s + 2)

(а) Определите точку отрыва корневого годографа, (б) Определите значение К, при котором два корня окажутся на мнимой оси, и укажите, чему равны эти корни. Изобразите вид корнево­го годографа.

Ответ: (a) s = -2,29 ; (б) К = 8 , s = ± j’1,09.

У-7.19. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

G{s) =----------- f------------- .

s(s + 3)(s + 6 s+ 64)

(а) Определите углы выхода корневого годографа из комплексных полюсов, (б) Изобразите вид корневого годографа, (в) Определите значение К, при котором корни будут находиться на мнимой оси, и укажите положение этих корней.

У-7.20. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

G(s) = K{S+ ■- .

s(s-l)(s+4)

(а) Определите диапазон значений К, при которых система устойчива, (б) Изобразите вид кор­невого годографа, (в) Определите наибольшее значение коэффициента затухания Q. соответст­вующее комплексным корням устойчивой системы.

Ответы: (а) К > 6 ; (б) С, = 0,2.

У-7.21. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

п, n Ks

G{s) = — .

s' + 5s + 10

Изобразите вид корневого годографа. Определите значение К. при котором комплексным кор­ням характеристического уравнения соответствует С, ~ 0.86.

У-7.22. Система управления ракетой, выводящей на орбиту искусственный спутник, имеет единич­ную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

^420)^

(s2-2)(s+ 10)

Изобразите корневой годограф в зависимости от параметра К.

У-7.23. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

s(s + а)

Постройте корневой годограф для 0 < а < со.

Задачи

3-7.1. Постройте корневые годографы для системы, изображённой на рис. 7.1(3), при 0 < К < °о и следующих передаточных функциях:

К

(s + 2s + 2)(s + 2) K(s+6) s(s + 2 )(s + 7)’ K(s2+4s+8)

(г) GH (s) =

s(s + 4)

3-7.2. В задаче 6.7 была представлена линейная

модель фазового детектора. Изобразите корневой годограф в зависимости от коэффициента Kv = KJi. Определите значение Kv. при котором комплексным корням соответствует коэффи­циент затухания С, = 0,60.

3-7.3. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

G(s) =---------------- .

s(s + 2)(s + 5)

Определите (а) точку отрыва корневого годографа от действительной оси и соответствующее этой точке значение К, (б) коэффициент К. при котором два корня находятся на мнимой оси. и положение этих корней и (в) положение корней при К= 6. (г) Изобразите вид корневого годог­рафа.

3-7.4. В задаче 4.5 рассматривалась система управления положением большой антенны. Изобразите корневой годограф этой системы при 0 < Ка < оо. Определите максимально допустимое значе­ние коэффициента усиления усилителя, исходя из соображений устойчивости системы.

3-7.5. Задача автоматического управления вертолётом является весьма актуальной, т. к. в отличие от обычного самолёта, объективно обладающего некоторой степенью устойчивости, вер­толёт — это принципиально неустойчивый объект. На рис. 7.5(3) изображена система управ­ления вертолётом, в которой наряду с контуром автоматической стабилизации участвует пи­лот, манипулирующий рукояткой управления. Если пилот не пользуется рукояткой управле­ния, то ключ на схеме системы можно считать разомкнутым. Динамика вертолёта описывается передаточной функцией

G (■-) 25(д+ 0,03)

’2 S (s + 0.4 )(s2 - 0,36s + 0,16) '

(а) При разомкнутом контуре ручного управления изобразите корневой годограф контура ав­томатической стабилизации. Определите значение К2, при котором комплексным корням со­ответствует коэффициент затухания С, = 0,707. (б) При значении К2. полученном в п. (а), опре­делите установившуюся ошибку, вызванную порывом ветра, TJs) = 1 Is. (в). Сохранив значе­ние К2, найденное в п. (а), добавьте контур ручного управления и изобразите корневой годог­раф системы при изменении от 0 до оо. (г) На основании корневого годографа выберите подходящее значение Kt и определите новую величину установившееся ошибки.

Рис. 7.6 (3). Система управления положением ракеты-носителя

3-7.6. На рис. 7.6(3) изображена система управления положением ракеты-носителя при прохожде­нии земной атмосферы. Передаточные функции имеют следующий вид:

(s + 2+ jl5)(s+ 2-71,5)

G(s) = -

(s + 0,90)(s - 0,60)(s - 0,10) "' ' (s + 4,0)

(а) Изобразите корневой годограф системы при изменении К от 0 до оо. (б) Определите значе­ние К, при котором система обладала бы временем установления (по критерию 2%) не более 12 с, а комплексным корням соответствовал бы коэффициент затухания С, > 0,50.

3-7.7. На рис. 7.7(3) изображена система управления скоростью турбогенератора. Вентиль управля-

R

R = Настраиваемый коэффициент

Рис. 7.7 (3). Система управления скоростью турбогенератора

ет подачей пара в турбину, чтобы компенсировать изменение нагрузки ДL(s), вызванное по­треблением электроэнергии в сети. При номинальном значении скорости вращения турбины частота генератора равна 60 Гц. Параметры генератора: момент инерции J = 4000 и коэффи­циент трения b = 0,75. Настраиваемый коэффициент обратной связи, R ~ (со0 - сог)/ДL. где со,. — скорость вращения при нагрузке, со0 — скорость на холостом ходу. Значение R желательно иметь как можно меньше, обычно менее 0,10.

(а). С помощью метода корневого годографа определите величину R, при которой коэффици­ент затухания, соответствующий комплексным корням системы, будет удовлетворять нера­венству С, > 0,60. (б) Убедитесь, что при изменении момента нагрузки ДL(s) = ALis отклонение скорости в установившемся режиме будет приблизительно равно RAL. где R < 0.1.

3-7.8. Рассмотрите ещё раз задачу 7.7, предположив, что паровая турбина заменена гидравлической турбиной. В этом случае существенно изменяется постоянная времени объекта за счёт боль­шей инерционности потока воды. Передаточная функция гидравлической турбины может быть представлена выражением

-TS+1

GAs) =--------- ,

(t/2)s +1

где т = 1 с. Если остальные части системы остаются теми же, что и в задаче 7.7, то выполните пп. (а) и (б) задачи 7.7.

Рис. 7.9 (3). Система управления транспортным средством

3-7.9. На производственных предприятиях будущего важная роль должна принадлежать автомати­чески управляемым транспортным средствам. В целях безопасности при движении этих средств между ними необходимо поддерживать определённую дистанцию. Система управле­ния движением должна исключать влияние возмущений (например, в виде разлитого на полу масла), а также точно поддерживать заданную дистанцию. Структурная схема такой системы изображена на рис. 7.9(3). Динамика транспортного средства представлена передаточной фун­кцией

= (g + 0,1)(^2 + 2s + 289)

' S s{s - 0,4)(s + 0,8)(ї2 + 1,45s + 361) '

(а) Изобразите вид корневого годографа системы, (б) Определите все корни при К = К, К2 = 4000.

3-7.10. В отличие от самолёта Конкорд, сверхзвуковой пассажирский лайнер будущего должен об­ладать дальностью полёта, позволяющей «в один прыжок» пересекать Тихий океан, и в то же время быть достаточно экономичным. Такой самолёт, изображённый на рис. 7.10(3), (а), по­требует использования термостойких легких материалов и усовершенствованых компьютер­ных систем управления.

Самолет должен перевозить 300 пассажиров со скоростью, в три раза превышающей скорость звука, на расстояние до 12000 км. Система управления должна обладать высоким качеством и обеспечивать комфортабельные условия полёта. Структурная схема такой системы изображе­на на рис. 7.10(3), (б). Желательно, чтобы доминирующим корням этой системы соответство­вал коэффициент затухания С, = 0,707. Передаточная функция самолёта имеет параметры

Рис. 7.10 (3)

(а) Сверхзвуковой

самолет будущего.

(б) Система

управления

Датчик

скорости

Рис. 7.11 (3)

(а) Лентопротяжный механизм.

(б) Структурная схема системы управления

3-7.12. В гироскопических устройствах и при испытаниях инерциальных систем навигации исполь­зуется прецизионная система управления скоростью, изображённая на рис. 7.12(3). В такой си­стеме двигатель постоянного тока используется напрямую, без введения редуктора, которому присущи такие негативные качества, как люфт и трение. Благодаря этому обеспечивается (1) под держание заданной скорости в диапазоне от 0,01 °/с до 600 °/с и (2) максимальное значение установившейся ошибки при ступенчатом изменении входного сигнала, равное 0.1%. При этом также полностью используется вращающий момент двигателя, достигается высокий к. п.д., а постоянная времени двигателя имеет минимальное значение. Параметр двигателя Кт имеет номинальное значение Кт = 1,8, но возможны его вариации в пределах до 50%. Коэффи­циент Ка обычно более 10, но и его вариации могут достигать 10%.

(а) Определите минимально необходимое значение коэффициента усиления контура, при ко­тором удовлетворялось бы ограничение на величину установившейся ошибки, (б) Определите предельно допустимое значение этого коэффициента, исходя из соображений устойчивости системы, (в) Изобразите вид корневого годографа системы при 0<К„< оо. (г) Определите зна­чения корней при Ка = 40 и оцените показатели качества системы при ступенчатом входном воздействии.

3-7.13. Система с единичной обратной связью в разомкнутом состоянии имеет передаточную функ­цию

C(s) =------------ ^-------------- .

s(s + 3 )(s + 4s + 7.84)

(а) Определите точку отрыва корневого годографа от действительной оси и соответствующее этой точке значение К. (б) Определите значение К, при котором двум комплексным корням, расположенным ближе всего к мнимой оси, соответствует коэффициент затухания С, = 0.707.

(в) Являются ли корни, найденные в п. (б), доминирующими? (г) Определите время установле­ния (по критерию 2%) при значении К. найденном в п. (б).

3-7.14. Передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы с отрицательной обратной свя­зью имеет вид

G Kts+W*3)_

s (s + l)(s+ 10)(s + 50)

Такая система является условно-устойчивой, т. к. она сохраняет устойчивость только при К<К<К2. Используя критерий Рауса-Гурвица и метод корневого годографа, определите диапазон значений К, при которых система устойчива. Изобразите вид корневого годографа при 0 < К < оо.

3-7.15. Вернёмся к проблеме устойчивости и качества системы управления мотоциклом из задачи 6.13. Динамика гонщика и мотоцикла представлена передаточной функцией

Cms) =------------- ^+30s+625)____________

s(s + 20)(s + 20s + 200)(s + 60s + 3400)

Рис. 7.16 (3)

Система управления натяжением стальной полосы

Рис. 7.19 (3) а)

(а) Автоматически управляемая тележка.

б) Структурная схема

б)

ки по заданному пути осуществляется с помощью вмонтированного в пол кабеля. Отклонение тележки от заданного пути определяется с помощью двух катушек, чувствительных к магнит­ному полю, создаваемому током в кабеле. Пример такой тележки приведён на рис. 7.19(3), (а). Предположим, что

Ka(s2+3,6s+Sl) ф+1)(ї+5) ’

где Ка—коэффициент усиления усилителя, (а) Определите вид корневого годографа и найди­те значение Ки, при котором комплексным корням соответствовал бы коэффициент затухания С, — 0,707. (б) Определите чувствительность комплексного корня г | как функцию (1) Кп и (2) по­люса G(s) в точке s = — 1.

3-7.20. Определите чувствительность доминирующих корней из задачи 7.18 для К = 4 а/p и полюса s = — 2.

3-7.21. Определите чувствительность доминирующих корней системы управления турбогенерато­ром из задачи 7.7. Вычислите эту чувствительность по отношению к изменению (а) полюсов ї=-4и(б) коэффициента обратной связи I/R.

3-7.22. Определите чувствительность доминирующих корней системы из задачи 7.1(a), если К име­ет значение, которому соответствует коэффициент затухания С, = 0,707. Вычислите и сравните чувствительности корней по отношению к полюсам GH(s).

3-7.23. Повторите задачу 7.22 для передаточной функции GH{s) из задачи 7.1(b).

3-7.24. Корневой годограф для систем относительно высокого порядка часто может принимать ве­сьма неожиданную форму. На рис. 7.24(3) приведены корневые годографы четырёх различных систем, имеющих третий или более высокий порядок. На рисунке отмечено положение полю­сов и нулей передаточной функции разомкнутого контура KF(s), а траекториям корней соот­ветствует изменение К от 0 до оо. Убедитесь в правильности построения этих корневых годог­рафов.

3-7.25. Твердотельные интегральные схемы включают в себя распределённые элементы Л и С. Поэ­тому цепи с обратной связью, реализованные на основе таких интегральных схем, должны быть исследованы на предмет получения их передаточных функций. Было установлено, что наклон амплитудно-частотной характеристики ЛС-цепи с распределёнными параметрами ра­вен-10и дБ/дек, где п — порядок передаточной функции фильтра. Такой наклон отличается от

е) г)

Рис. 7.24 (3). Корневые годографы четырех систем

привычного наклона -20 дБ/дек, характерного для цепей с сосредоточенными параметрами. (Понятие наклона АЧХ рассматривается в главе 8. Если читатель ещё не знаком с этим поняти­ем, то он может обратиться к предлагаемой задаче после изучения главы 8.) Очень интересен случай, когда цепь с распределёнными параметрами используется в качестве обратной связи в транзисторном усилителе. Передаточная функция разомкнутого контура при этом имеет вид:

АГ(^-1)(д:+ ЗГ (s+ 1)(.т+ if2

(а) Определите вид корневого годографа при изменении К от 0 до оо. (б) Вычислите значение К, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, и определите частоту незатухающих колебаний.

3-7.26. Одноконтурная система с отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

k'(s+ 2) s(s2 + l)(j + 8)

(а) Определите вид корневого годографа при 0 < К < оо и укажите его характерные особенно­сти. (б) Определите диапазоны значений К, при которых система устойчива, (в) При каком зна­чении К(К> 0) корни являются чисто мнимыми? Каковы значения этих корней? (г) Правомер­но ли при больших значениях К(К> 50) использовать доминирующие корни для оценки вре­мени установления?

3-7.27. Система с единичной отрицательной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии пере­даточную функцию

K(s2 + 0,105625) K(s+ 7‘0,325)(ї-70,325)

s(s2 + 1)

Изобразите вид корневого годографа в зависимости от К. Вычислите точные значения коорди­нат точек входа корневого годографа на действительную ось и точек отрыва от неё.

3-7.28. В США в последнее время уделяется большое внимание контролю за выхлопом автомобиль­ных двигателей, особенно в части выбросов в атмосферу НС (углеводорода) и СО (окиси угле­рода). Нормы выбросов NOx (окисей азота) регулируются главным образом за счёт примене­ния методов рециркуляции выхлопных газов. Однако по мере ужесточения норм выброса NOx с 2,0 г/милю до 1,0 г/милю эти методы оказываются недостаточными.

Хотя рассматривается несколько разных методов, уменьшающих вредное влияние трех упомя­нутых выше выбросов, один из наиболее перспективных состоит в применении трехступенча­того катализатора, действующего на НС, СО и NOx в дополнение к замкнутой системе управ­ления работой двигателя, представленной на рис. 7.28(3). Датчик содержания выхлопных га­зов определяет, выше или ниже последние допустимой нормы, и сравнивает показания с за­данным значением. Сигнал рассогласования поступает на вход регулятора, который в свою очередь изменяет уровень разрежения в карбюраторе, чтобы достигнуть наилучшего соотно­шения воздух/горючее для оптимальной работы катализатора. Передаточная функция разо­мкнутого контура управления в данном случае имеет вид:

K(s + 12s + 20)

s3 + 10s2 + 25s

Постройте корневой годограф в зависимости от коэффициента К. Вычислите точные значения координат точек, где корневой годограф входит в действительную ось и отрывается от неё. Определите значения корней при К=2. Предскажите вид переходной характеристики системы при К = 2.

3-7.29. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

К (s2 + 6s + 12)

I' (®) =---- 5----- ;----- ■

s(s+6)

Желательно, чтобы доминирующим корням соответствовал коэффициент затухания С, = 0.707. Определите значение К, при котором удовлетворяется это требование. Покажите, что при дан­ном значении К комплексные корни равны s = - 2,3 + у'2.3.

3-7.30. Нарис. 7.30(3) изображенаRLC-схема. Номинальные значения параметров равны L = С = 1 и R = 2,5. Пока­жите, что чувствительности двух корней полного вход­ного сопротивления Z(s) к изменению R отличаются в 4 раза.

(г) В цепь сигнала R(s) до его приложения к сумматору введите дополнительный фильтр, что­бы получить

^ , Ч °>5

G (s) = —------------ ,

р s + 1,5s + 0,5

и выполните задание п. (б).

3-7.34. Система управления подачей топлива в дизельный двигатель автомобиля подвержена влия­нию изменения параметров. В разомкнутом состоянии эта система имеет передаточную функ­цию

G(s) =----------- K(-S+ 1>5^---------- .

(s+l)(s+2)(s+4)(s+10)

(а) Изобразите вид корневого годографа при изменении К от 0 до 2000. (б) Определите значе­ния корней при К = 400, 500, 600. (в) Предскажите, как будет изменяться относительное пере­регулирование в случае ступенчатого входного воздействия в зависимости от К (учитывая то­лько доминирующие корни), (s) Определите действительное время установления при всех трёх значениях коэффициента К, а также сравните действительные значения перерегулирова­ния с предсказанными.

3-7.35. Мощный электрогидравлический грузоподъёмник может использоваться для доставки на подмостки на высоту 10 м поддонов со строительными материалами весом в несколько тонн. Система управления таким подъёмником с единичной отрицательной обратной связью в разо­мкнутом состоянии имеет передаточную функцию

K(s+ if

G(s) =

s(sz + 1)

(а) Изобразите вид корневого годографа при К > 0. (б) Определите параметр К, при котором двум комплексным корням будет соответствовать коэффициент затухания С, = 0,707, и вычис­лите значения всех трёх корней, (в) Определите точку входа корневого годографа на действи­тельную ось. (г) Оцените ожидаемое перерегулирование при ступенчатом входном сигнале и сравните его с действительным значением, полученным с помощью компьютерной програм­мы.

3-7.36. Для исследования очень маленьких объектов, таких как биологические клетки, был создан микроробот с прецизионным манипулятором. Система управления микро роботом имеет еди­ничную отрицательную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

K(s+l)(i+2)(s+3)

C/(s) = т---------------------- .

s (s-1)

(а) Изобразите вид корневого годографа для К > 0. (б) Найдите значение К. при котором два корня будут чисто мнимыми, и вычислите эти корни, (в) Вычислите значения всех корней при К = 20 и К = 100. (г) При К =20 оцените ожидаемое перерегулирование в случае ступенчатого входного сигнала и сравните его с действительным значением, полученным с помощью компь­ютерной программы.

3-7.37. На рис. 7.37(3) изображена система с обратной связью. Если входной сигнал представляет собой единичную ступенча­тую функцию, то выходной сигнал имеет перерегулирование, но стремится к уста­новившемуся значению, равному 1. Если входной сигнал является линейным, то

т

Рис. 7.37 (3). Система с обратной связью

выходной сигнал отслеживает его с конечной установившейся ошибкой. Если значение К уве­личить в 2 раза, то реакция системы на импульсный входной сигнал будет чисто синусоидаль­ной с периодом 0,314с. Определите параметры К, а и Ь.

3-7.38. Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, имеет передаточную функцию

ф-3)

и охвачена единичной обратной связью, (а) Определите диапазон значений К. при которых си­стема устойчива, (б) Изобразите вид корневого годографа, (в) Найдите значения корней при К = 10. (г) С помощью рис. 5.13, приняв К= 10, предскажите величину перерегулирования при ступенчатом входном сигнале, (д) Получите график переходной характеристики и определите действительное значение перерегулирования.

3-7.39. Скоростные электропоезда должны обладать хорошей способностью преодолевать поворо­ты железнодорожного полотна. В обычных поездах оси колёсных пар жестко закреплены на стальных рамах, называемых тележками. Когда поезд входит в поворот, тележки поворачива­ются, но оси остаются параллельными друг другу даже если передняя ось стремится изменить направление относительно задней. При высокой скорости движения это может привести к схо­ду тележки с рельсов. Возможным решением проблемы является конструкция, когда оси пово­рачиваются независимо друг от друга. Чтобы противодействовать сильным центробежным си­лам, возникающим при повороте, поезд оснащён компьютеризированной гидравлической сис­темой, которая наклоняет каждый вагон, когда он входит в поворот. Специальные датчики определяют скорость поезда и радиус поворота, и соответствующие сигналы поступают на гидроприводы, установленные под днищем каждого вагона. Угол наклона вагона может до­стигать 8 градусов, что очень напоминает поведение гоночного автомобиля на вираже трассы. На рис. 7.39(3) изображена система управления наклоном вагона. Изобразите вид корневого годографа и определите значение К, при котором комплексным корням соответствует макси­мальный коэффициент затухания. Предскажите реакцию этой системы на ступенчатый вход­ной сигнал.

Рис. 7.39 (3)

Система

управления + ш

наклоном R(s)___ ►()____ ► ► —----------- —f—►

вагона г>-- - -

Действительный

наклон

Задачи повышенной сложности

П-7.2. Скоростной поезд на магнитной подушке «летит» благодаря воздушному зазору между ним и направляющим рельсом. Система управления зазором имеет единичную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

*(j+1Xj+3)

ф-1)(і + 4)(.v+ 8) '

Требуется выбрать такое значение К. при котором реакция системы на единичное ступенчатое воздействие была бы достаточно демпфирована, а время установления не превышало 3 с. Изобразите вид корневого годографа и выберите такое значение К. при котором всем комплек­сным корням соответствовал бы коэффициент затухания £ > 0,6. Получите действительную переходную характеристику и определите величину относительного перерегулирования. П-7.3. Портативный проигрыватель компакт-дисков должен обладать эффективным подавлением помех и прецизионным позиционированием чувствительного оптического элемента. Система управления положением этого элемента имеет единичную обратную связь, а ее передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

С(*) = — .

5(5 + IX*+р)

Параметр р определяется характеристиками двигателя постоянного тока. Изобразите вид кор­невого годографа в зависимости от р. Выберите значение р, при котором комплексным корням соответствовал бы коэффициент затухания С,, приблизительно равный 1Л/2.

П-7.4. Система управления дистанционным манипулятором имеет единичную обратную связь, а её передаточная функция в разомкнутом состоянии равна

, 5+а

G(s) = —--------- 5---------------------- .

j + (1 + а + (а - 1)j + 1 - а

Желательно, чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка была менее или равна 10% от амплитуды ступеньки. Изобразите вид корневого годографа в зависимости от параметра а. Определите диапазон значений а, при которых будет удовлетворяться ограни­чение на величину установившейся ошибки. Задайте положение корней, соответствующее од­ному из допустимых значений а, и оцените переходную характеристику системы.

П-7.5. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

К

G(s) = -5 г----------------- .

s + 10ї + 7s-18

(а) Изобразите вид корневого годографа и определите значение К, при котором система устой­чива и комплексным корням соответствует С, = 1Л/2. (б) Определите чувствительность комп­лексных корней из п. (а), (в) Определите процентное изменение К (увеличение или уменьше­ние), при котором корни будут находиться на мнимой оси.

П-7.6. Система с единичной обратной связью имеет в разомкнутом состоянии передаточную функ­цию

= K(s2+1s+3,25)

s2(s+1)(s+10)(s+20)'

Изобразите вид корневого годографа при К > 0 и выберите значение К, при котором переход­ная характеристика будет достаточно приемлемой.

П-7.7. На рис. 7.7(П) изображена система с положительной обратной связью. При К > 0 корневой годограф должен удовлетворять условию

KG(s) = e±jk 360Р, k= 0,1,2......

Изобразите корневой годограф при 0 < К < оо.

П-7.13. На рис. 7.13(П) изображена система управления ПИ-регулятором. (а) Примите К/1Кр = 0,2 и определите значение при котором комплексным корням соответствовал бы максимальный коэффициент затухания, (б) Предскажите вид переходной характеристики системы при значе­нии Кр, найденном в п. (а).

Задачи на синтез систем

СС-7.1. В системе управления положением скользящей части стола металлообрабатывающего

а станка используется тахогенератор, закреплённый на валу электродвигателя (это соответст - I вует замкнутому ключу на рис. 4.1(СС)). Выходное напряжение тахогенератора v7 = G.

® Коэффициент обратной связи по скорости Кх является варьируемым. Выберите наиболее подходящее значение коэффициентов К] и К„, чтобы при этом переходная характеристика сис­темы имела перерегулирование не более 5% и время установления (по критерию 2%) не более 300 мс.

С-7.1. На рис. 7.1(C), (а) изображен многоцелевой истребитель, положение которого в воздухе из­меняется с помощью элеронов, руля высоты и руля направления. Система управления углом атаки на высоте 10000 м при скорости 0,9 М может быть представлена в виде рис. 7.1(C), (б), где

-18(s+0,015)(s+0,45)

G{s) =

(j2+ 1,2j+ 12)(j-2 + 0,0 Is + 0,0025)

(а) Изобразите вид корневого годографа, когда регулятор представлен просто коэффициентом усиления, т. е. Gc(s) = К, и определите значение К, при котором корням с параметром сои > 2 со­ответствует коэффициент затухания £ > 0,15 (найдите максимальное значение Q. (б) При най­денном значении К постройте график реакции системы q(t) на ступенчатый входной сигнал /-(/). (в) Проектировщик предлагает использовать регулятор с предварением, т. е. Gc(s) = К ( + + K2s = K(s + 2). Изобразите вид корневого годографа в зависимости от А' и определите значе­ние К, при котором всем корням характеристического уравнения замкнутой системы будет со­ответствовать С, > 0,8. (г) При значении А!, найденном в п. (в), постройте график реакции систе­мы на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 7.1 (С) а)

(а) Многоцелевой истребитель.

(б) Система управления углом атаки

Рис. 7.6 (С). Система управления движением ноги С-1.6. Для помощи при ходьбе частично парализованному человеку может использоваться система управления движениями ноги. Такая система, которая в разомкнутом состоянии неустойчива, изображена на рис. 7.6(C). По корневому годографу выберите значение К, при котором комп­лексным корням соответствовал бы максимально возможный коэффициент затухания £. Пред­скажите вид переходной характеристики системы и сравните ее с действительной характери­стикой, полученной расчетным путем.

С-7.7. Большинство серийных операционных усилителей проектируются таким образом, чтобы они были устойчивы в режиме повторителя напряжения с единичным коэффициентом усиления. Однако с целью получения более широкой полосы пропускания требования к их устойчивости в данном режиме несколько смягчаются. Один из таких операционных усилителей имеет ко­эффициент усиления по постоянному току 105 и полосу пропускания 10 кГц. Усилитель с пе­редаточной функцией G(s) охвачен обратной связью, как показано на рис. 7.7(C). (а). Получен­ная таким образом система с обратной связью изображена на рис. 7.7(C), (б). где Ка = 105. Изобразите вид корневого годографа системы в зависимости от параметра К. Определите ми­нимальное значение коэффициента усиления по постоянному току схемы с обратной связью, обеспечивающее ее устойчивость. Выберите надлежащее значение этого коэффициента усиле­ния и номиналы резисторов и R2.

С-1.8. На рис. 7.8(C), (а) изображена рука робота, имеющая сочленение в локтевом суставе. Рука приводится в движение исполнительным устройством, система управления которым приведе-

R,

Rx+R2

а)

Рис. 7.7 (С), (а) Операционный усилитель с обратной связью и

(б) соответствующая структурная схема

на на рис. 7.8(C), (б). Изобразите вид корневого годографа при К > 0. Выберите Cp(s) так, что­бы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равнялась нулю. При данном Gp(s) постройте графикиу(/), соответствующие значениям К= 1; 1,5; 2,85. Зафиксируйте время нарастания, время установления (по критерию 2%) и относительное перерегулирование для трёх данных значений К. Если желательно ограничить перерегулирование величиной 6%. обеспечив при этом минимально возможное время нарастания, то выберите соответствующее значение К из диапазона 1 < К < 2,85.

С-7.9. Автомобиль с независимым приводом каждого из четырёх колёс обладает рядом преиму­ществ. Подобная система управления предоставляет водителю большую свободу действий. Автомобиль становится более податливым при самых разных дорожных условиях, водитель получае т возможность плавно совершать резкие перестроения на трассе. Система также пре­пятствует появлению юза при неожиданных поворотах рулевого колеса. Кроме того, исполь­зование независимого привода колёс делает автомобиль более маневренным и облегчает води­телю парковку в тесных городских кварталах. Установка дополнительных цифровых систем управления может помочь устранить скольжение автомобиля на обледеневшей или мокрой до­роге.

Принцип действия системы основан на том. что она воздействует на задние колёса в зависимо­сти от угла поворота передних колёс. В системе производится измерение угла поворота перед­них колёс, и эта информация поступает на исполнительное устройство, которое управляет по­ложением задних колёс.

При заданном угле поворота задних колёс относительно передних автомобиль будет изменять своё угловое ускорение в соответствии с передаточной функцией

G(s) = К 1+(1+Л)7^+(1+Л)Г252 41+ (2С/ш„)5+ (1/0),У] 7

где А = 2q( - q),q — отношение угла поворота задних колес у углу поворота передних колёс. Будем считать, что Т, = Т2 = 1с и юи = 4. Синтезируйте систему с единичной обратной связью, выбрав надлежащую совокупность параметров (А. К, Q, при которой реакция системы будет обладать достаточной скоростью нарастания и в тоже время имсгь умеренное перерегулирова­ние. Параметр q изменяется в диапазоне от 0 до 1.

С-7.10. На рис. 7.10(C), (а) изображена тележка подъёмного крана, перемещаемая силой F(t). Управлению подлежат переменные x(t) и ф(/). Модель системы управления представлена на рис. 7.10(C). (б). Считая, что передаточная функция регулятора Gc(s) = К, выберите значение К, обеспечивающее эффективное управление указанными переменными.

С-7.11. На рис. 7.11 (С), (а) изображён самоходный аппарат, который может использоваться для ис­следования планет и их спутников. Система управления движением аппарата изображена на рис. 7.11(C), (б), где

(а) Полагая Gc(s) = К. изобразите вид корневого годографа при 0 < К < 1000. Определите поло­жение корней при значениях К, равных 100, 300 и 600. (б) Имея в виду доминирующие корни, предскажите величину перерегулирования, время установления (по критерию 2%) и устано­вившуюся ошибку при отработке системой ступенчатого входного сигнала, (в) Получите дей­ствительную переходную характеристику для трёх указанных значений К и сравните показате­ли качества с предсказанными.

{s'+ 10)

б)

Рис. 7.11 (С)

(а) Самоходный аппарат для исследования планет.

(б) Система управления движением

С-7.12. В настоящее время электронные системы, применяемые в автомобиле, составляют около 6% его стоимости. В будущем эта цифра вырастет до 20% за счет оснащения автомобиля компьютерными системами управления тормозами, активной подвеской и другими устройст­вами. Применение компьютеров позволит также создать интеллектуальные системы автомо­биль/дорога, что очень важно для скоростных магистралей. Подобные системы включают в себя большое количество электронных средств, которые в реальном времени предоставляют водителям и регулировщикам движения информацию об авариях, пробках, дорожных услови­ях и службах автосервиса. Интеллектуальные системы позволят также придать автомобилю большую автономность: они смогут помочь избежать столкновений, предупреждая водителя об опасном сближении, и даже дадут возможность автомобилю двигаться в полностью автома­тическом режиме.

а)

Контроллер сети дорог

б)

На рис. 7.12(C). (а) приведён пример автоматизированной системы управления дорожным движением, а на рис. 7.12(C). (б) изображена система, позволяющая поддерживать заданную дистанцию между автомобилями. Выберите значения Ка и К, так, чтобы при линейном вход­ном сигнале R(s) = A/s установившееся ошибка не превосходила 25% от скорости А изменения этого сигнала. При ступенчатом входном сигнале реакция системы должна иметь перерегули­рование не более 3% и время установления (по критерию 2%) не более 1.5 с.

С-7.13. Система автоматического управления самолётом является типичным примером, когда испо­льзуется обратная связь по нескольким переменным. В такой системе положение самолёта в воздухе изменяется с помощью элеронов, рулей высоты и руля направления, как показано на рис. 7.13(C), (а). Манипулируя этими органами управления, пилот устанавливает желаемую траекторию полёта.

Автопилот, который мы рассмотрим в данной задаче, представляет собой систему автоматиче­ского управления, изменяющую угол крена <р путём отклонения элеронов. Отклонение элеро­нов на угол 0 приводит к возникновению вращающего момента благодаря давлению воздуха на их поверхность. За счёт этого момента происходит вращение самолёта относительно гори­зонтальной оси. Элероны отклоняются с помощью гидравлического исполнительного меха­низма с передаточной функцией l/s.

Действительный угол крена измеряется и сравнивается с его заданным значением <р(/. Разность между <prf и ф усиливается и подаётся на вход исполнительного механизма, который управляет отклонением элеронов.

На рис. 7.13(C), (б) приведена упрощенная модель, в которой вращение самолёта относитель­но горизонтальной оси рассматривается независимо от движений в других направлениях. Предположим, что К = 1, а скорость изменения угла ф измеряется гироскопическим датчиком и используется как дополнительный сигнал обратной связи. Выберите параметры Ка и К2 так. чтобы переходная характеристика имела перерегулирование не более 10% и время установле­ния (по критерию 2%) не более 9 с.

Рис. 7.13 (С)

(а) Самолет и его

[1] Введение в MATLAB — см. приложение А

[2] Полужирные строчные буквы обозначают векторы, а полужирные прописные — матрицы. Введение в матрицы и элементарные матричные операции см. на Web-сайте MCS.

[3] В отечественной литературе коэффициенты ошибки определяются несколько иначе. — Прим перев.

[4] 60 Гц — стандарт США (прим. перев.)