СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

Приблизительный вид корневого годографа можно получить с помощью последовательно­сти операций, приведённых в табл. 7.2. Альтернативным методом является точное постро­ение корневого годографа с помощью MATLAB. Однако не стоит полагаться только на MATLAB и пренебрегать ручными операциями, определяющими приблизительный вид корневого годографа. Основные принципы корневого годографа воплощены именно в этих ручных операциях, и это особенно важно для полного понимания их смысла.

Этот раздел мы начнём с обсуждения того, как с помощью MATLAB строится корне­вой годограф. Затем установим связь между разложением на простые дроби, доминирую­щими полюсами и реакцией замкнутой системы. В заключение рассмотрим применение MATLAB для оценки чувствительности корней.

В данном разделе будут рассмотрены функции rlocus, rlocfind и residue. Функции rlo - cus и rlocfind используются для построения корневого годографа, a residue позволяет по­лучить разложение дробно-рациональных функций на простые дроби.

Построение корневого годографа. Рассмотрим замкнутую систему управления, изображённую на рис. 7.10. Система имеет передаточную функцию

T(S) = *&= *(*+!)(*+3)

R(s) 5(5+2)(s+3)+A:(5+1)'

Характеристическое уравнение можно представить в виде:

1 + Я ----------------- =0. (7.122)

ф + 2)(5+3)

Именно в таком виде должно быть записано характеристическое уравнение, чтобы можно было воспользоваться функцией rlocus. Эта функция применяется к характеристическому уравнению общего вида

l+^G(5) = l+^^ = 0, (7.123)

Ф)

где К— варьируемый параметр, изменяемый в диапазоне 0 < К < со. Смысл функции rlocus поясняет рис. 7.37. Этапы построения корневого годографа по уравнению (7.122) приведе­ны на рис. 7.38. Вызов функции rlocus без указания аргументов в левой части автоматиче­ски приводит к графическому изображению корневого годографа. При задании аргументов в левой части функция rlocus возвращает матрицу положения корней и вектор соответству­ющих коэффициентов.

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

Рис. 7.37 Функция rlocus

г — положения

комплексных корней К — вектор коэффициентов

t

[r. K]=riocus(sys)

6

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

4

Нуль s = —1

/ т

х о<—е—* А А

о

kJ.

Полюсы s = 0. -2. —3

Рис. 7.38

Корневой годограф для характеристического уравнения (7.122)

-6

-6-4 -2 0 2 4 6

Действительная ось

»р=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p, q); rlocus(sys)

Корневой годограф: обычный метод

»р=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p, q); [r, K]=rlocus(sys); plot(r,’x’)

Корневой годограф: альтернативный метод

Этапы построения корневого годографа с помощью MATLAB таковы:

1. Записать характеристическое уравнение в форме (7.123), где К — варьируемый па­раметр.

2. Использовать функцию rlocus для построения корневого годографа.

Обратившись к рис. 7.38, мы можем видеть, что при увеличении К две ветви корневого годографа отрываются от действительной оси. Это значит, что при некоторых значениях К характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь два комплексных корня. Предположим, что мы хотим найти значение К, соответствующее этой паре комплексных корней. Для этого можно воспользоваться функцией rlocfind, но только после того, как с по­мощью функции rlocus будет построен сам корневой годограф. Вызов функции rlocfind при­ведёт к появлению на корневом годографе маркера в виде черты, пересекающей траекто­рию. Вы подводите маркер к интересующему вас положению на корневом годографе и на­жимаете клавишу Enter. На дисплей будет выведено значение параметра К и координаты выбранной точки. Применение функции rlocfind проиллюстрировано на рис. 7.39.

Продолжая наш пример с построением корневого годографа системы третьего по­рядка, мы находим, что при К = 20, 5775 передаточная функция замкнутой системы имеет три полюса и два нуля:

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

"-2,0505+./4,3227" полюсы: s= -2,0505- /4,3227 ; нули: s =

-0,8989

Если принять во внимание только положение полюсов замкнутой системы, то, казалось бы, доминирующую роль должен играть полюс s = - 0,8989. Чтобы проверить это, имеет смысл исследовать реакцию системы на ступенчатый сигнал, R(s) = 1 Is.

В этом случае мы имеем:

20,5775(5+1)(5+3) 1

5 s(s+2)(s+3)+ 20,5775(5+1) 5

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

Рис. 7.39

Применение функции rlocfind

Действительная ось

»|

»р=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p, q); rlocus(sys) rlocfind(sys)< і фуНКЦИЯ rlocfind, следующая за функцией rlocus Отметьте точку в графическом окне

selected_point = -2.0332 + 4.3416І

ans = і------

20.7453

Значение К для выбранной точки

Рис. 7.40

Разложение выражения (7.24) на простые дроби

Первый этап вычисления y(t) состоит в разложении (7.124) на простые дроби. Для этой цели используется функция residue, как показано на рис. 7.40. Смысл этой функции поясня­ет рис. 7.41.

»К=20.5775; num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+К К 0]; »[r, p,k]=residue(num, den)

г =

num

den

У(і) =

-1.3786- 1.7010І -1.3786 + 1.7010І -0.2429 3.0000

r(4)

r( 1)

+ k(s)

Y(s) =

s-p(l) s-p(2) s-p{ 3) s-p( 4)

К2) , к3)

Р =

-2.0505 + 4.3228І -2.0505 - 4.3228І -0.8989 0

r — вычеты.

p — ПОЛЮСЫ,

к — постоянный член

k =

D

Рис. 7.41 Функция residue

г — вычеты, р — полюсы, к — постоянный член

Y(s) =

den

г

[r, p,k]=residue(num, den)

км г{1) і г(2) і

і ф) ,

г

ад

*-р(1) s-p{ 2)

s-p(n)

Разложение (7.124) на простые дроби выглядит так:

-1,3786+Д7010 -1,3786-Д7010 -0,2429 3

5 ~~ 5 + 2,0505 + >4,3228 + 5 + 2,0505->4,3228 + s+ 0,8989 + 5

Сравнивая значения вычетов, мы видим, что коэффициент при члене, соответствую­щем полюсу s = - 0,8989, значительно меньше коэффициентов при членах, соответствую­щих комплексно-сопряженным полюсам s = - 2,0505 ± >4,3228. Следовательно, можно ожидать, что влияние полюса s = - 0,8989 на реакцию системы _у(/) не будет доминирую­щим. Тогда время установления следует оценивать по комплексно-сопряженным полю­сам. Полюсам s = - 2,0505 ±>4,3228 соответствует коэффициент затухания £ = 0,4286 и собственная частота ю„ = 4,7844. Таким образом, ожидаемое время установления

7>-^—= 1,95с.

Переходная характеристика, построенная с помощью функции step, изображена на рис. 7.42, откуда видно, что Ts ~ 1,6 с. Следовательно, предсказанное значение Тх и 1,95 с яв­ляется довольно хорошей аппроксимацией. Относительное перерегулирование можно оце­нить с помощью рис. 5.13, т. к. на вид переходной характеристики будет оказывать влияние и нуль передаточной функции Is), s = - 3. Согласно рис. 5.13, этот показатель равен 60%. В действительности, как показывает рис. 7.42, перерегулирование составляет 50%.

Построение корневого годографа с помощью MATLAB

d

Ь

К

Ч

С

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Время (е)

Рис. 7.42

Переходная характеристика замкнутой системы на рис. 7.10 при К = 20,5775

»К=20.5775; num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+К К]; sys=tf(num. den); »step(sys)

В этом примере мы проиллюстрировали влияние нулей передаточной функции на пе­реходную характеристику системы. Близость нуля л = - 1 к полюсу s = - 0,8989 уменьша­ет влияние этого полюса, а основной вклад в переходную характеристику вносят комп­лексно-сопряжённые полюсы s = 2,0505 ± /4,3228 и нуль s = - 3.

Сделаем ещё одно замечание в отношении функции residue. Вы можете с её помо­щью перейти обратно от разложения на сумму простых дробей к дробно-рациональному выражению, задав вычеты (г), положение полюсов (р) и постоянный член (А), как это про­иллюстрировано на рис. 7.43.

Рис. 7.43

Переход от разложения на простые дроби к дробно-рациональной функции

[num, den]=residuefr, p,k)

Чувствительность и корневой годограф. Корни характеристического уравнения играют важную роль при определении реакции замкнутой системы на входной сигнал. Поэтому крайне полезно иметь оценку чувствительности этих корней к изменению пара­метров системы. Чувствительность корня г, определяется как

дг,

(7.125)

дК/К

Если параметру К придать малое конечное приращение АК и определить новое значение корня г і + Аг,-, то чувствительность будет равна

Sr' =-^~ . (7.126)

к АК/К

Чувствительность S £ — это комплексное число. Вернёмся ещё раз к системе третьего порядка на рис. 7.10 и уравнению 7.122. Если изменить параметр К на 5%, то один из комплексно-со­пряжённых полюсов, s = — 2,0505 + /4,3228 получит приращение Аг, = - 0,0025 —/0,1168. Так как параметр К изменился от К = 20,5775 до К - 21,6064, то согласно (7.126) чувствительность будет равна

-0,0025-/0,1168 1,0289/ 20,5775

Эту чувствительность можно представить и в иной форме:

S'; =2,34е/268Л9

Модуль и аргумент являются показателями чувствительности корня. Программа с помощью которой вычисляется эта чувствительность, приведена на рис. 7.44.

Показатель может оказаться очень полезным для сравнения чувствительности по отношению к различным параметрам системы при разных положениях корней.

г — вычеты.

р — положение полюсов, к — постоянный член

num

den

Y(s) = T(sP(s) =

І

Sk = = _0,0494- /2,3355.

Рис. 7.44

Вычисление

чувствительности

корня

при изменении параметра

Изменение К на 5%

Формула для чувствительности

% Вычисление чуствительности системы % к изменению параметра %

К=20.5775; den=[1 5 6+КК]; r1=roots(den);

%

dK=1.0289; ч - %

Km=K+dK; denm=[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm); dr=r1-r2; <----- 1

%

S=dr/(dK/K);

Аг

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.