СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Метод частотных характеристик

Обзор

В предыдущих главах мы имели дело со ступенчатым и линейным тестовыми сигналами. В данной главе мы рассмотрим реакцию системы в установившемся режиме на синусоидаль­ный тестовый сигнал. Мы покажем, что в этом случае выходной сигнал также является си­нусоидальным той же частоты, что и входной, однако отличается от него по амплитуде и по фазе, причём эти отличия зависят от частоты входного сигнала. Поэтому нас будет интере­совать реакция системы на синусоидальный сигнал, частота которого изменяется во всём возможном диапазоне.

С помощью замены s =у'со мы перейдём от передаточной функции G(s) к G(/co) и рас­смотрим способы графического представления комплексного выражения G(/co) в зависи­мости от частоты со. Один из наиболее эффективных методов анализа и синтеза систем управления связан с применением диаграмм Боде, поэтому мы уделим данному вопросу серьёзное внимание. Мы рассмотрим также способы изображения частотных характери­стик в полярных координатах (на комплексной плоскости) и в логарифмическом масшта­бе. Мы покажем, как некоторые показатели качества системы во временной области мож­но оценить по её частотным характеристикам, а также введём понятие полосы пропуска­ния системы. Главу мы завершим примером синтеза с продолжением, в котором проил­люстрируем применение частотных характеристик к анализу системы чтения информации с диска.

В предыдущих главах суждение о качестве системы и её реакции на внешние воздействия основывалось на расположении на комплексной плоскости переменной s полюсов и нулей передаточной функции. Альтернативным методом анализа и синтеза систем управления, имеющим важное практическое значение, является метод частотных характеристик.

Частотная характеристика определяется как реакция системы в установив­шемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сиг­нал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются си­нусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и по фазе.

Рассмотрим выражение для выходного сигнала системы Y(s) = T(s)R(s) в случае, ког­да r(t) = Лбіпсо/. Запишем

ад- Аа

m(s) _ m(s)

Ф)

Yl^+P^

i=i

где все полюсыр, предполагаются различными. Тогда, раскладывая Y(s) на простые дроби, получим:

as + p

s+ Р s+ Рп s' + со" Обратное преобразование Лапласа от этого выражения даёт:

y(t) = kхе +...+кпе р"' +L

s' + to-

где ос и р — константы. Если система устойчива, т. е. все р, имеют отрицательные ненуле­вые действительные части, то

_i Г as + p

lim y(t) = lim L

s' + co"

поскольку все экспоненциальные составляющие вида kt е стремятся к нулю при 7 —> °о.

В пределе при / —> оо, т. е. в установившемся режиме, мы получим:

где Ф = argr(/co).

Таким образом, выходной сигнал в установившемся режиме при определённом зна­чении частоты со зависит только от модуля и аргумента Г(/со). Подчеркнём, что выраже­ние (8.1) справедливо только в случае, когда система является устойчивой.

Важным преимуществом метода частотных характеристик является то, что он может применяться при тестовых синусоидальных сигналах всех возможных частот и амплитуд. Так, например, легко могут быть экспериментально получены частотные характеристики системы, и это наиболее простой и надёжный способ анализа её свойств. Как будет пока­зано в разделе 8.4, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно определить передаточную функцию системы. Кроме того, при синтезе системы в частот­ной области инженер получает ценную информацию о полосе пропускания системы и мо­жет оценить её реакцию на нежелательные шумы и возмущения.

Ещё одно преимущество метода частотных характеристик заключается в том, что по­ведение системы в установившемся режиме при синусоидальном входном сигнале можно описать путём замены s =/со в передаточной функции T(s). В результате мы получаем комп­лексную функцию 71/со), модуль и аргумент которой, будучи представлены графически, дают полезную информацию, необходимую для анализа и синтеза систем управления.

Недостаток метода частотных характеристик заключается в том, что отсутствует прямая связь между свойствами системы во временной и частотной областях. Такая связь

прослеживается лишь частично, и на практике вид частотных характеристик обычно под­бирается так, чтобы они в какой-то степени удовлетворяли требуемому поведению систе­мы во временной области.

В разделе 2.4 были введены прямое и обратное преобразования Лапласа, имею­щие следующий вид:

(8.2)

И

. 1 _а+ /<о

Д/) = Г1 [F(s)] = - і - f F(s)e* ds ,

2nj q-/0)

где s есть комплексная переменная, s = a+jсо. Аналогично, прямое и обратное преобразо­вания Фурье записываются как

(8.4)

И

1 1 л+0°

f(t) = і/-1 [F(yco)] = ~ f F(jb)e>m) do. 2n

Преобразование Фурье существует для функций, удовлетворяющих условию

f [f(t)dt <«>.

—со

Сравнивая выражения (8.2) и (8.4), можно видеть, что преобразования Фурье и Лап­ласа очень тесно связаны. Если функция^/) определена только для / > 0, как это часто бы­вает, то нижние пределы интегралов совпадают. В этом случае мы видим, что два выраже­ния отличаются только комплексной переменной. Поэтому, если F{(s) есть преобразова­ние Лапласа функции f(t), то преобразование Фурье той же самой функции, Fy{j(o), мож­но получить простой заменой s = yen в выражении F(s).

Зададим себе вопрос: если преобразования Фурье и Лапласа так тесно связаны, поче­му же мы не пользуемся всегда только преобразованием Лапласа? И почему мы вообще пользуемся преобразованием Фурье? С помощью преобразования Лапласа мы можем определить положение на 5-плоскости полюсов и нулей передаточной функции T(s), как это было рассмотрено в гл. 7. Однако с помощью частотных характеристик, и конкретно с помощью функции 7’(/'со), мы можем определить амплитудные и фазовые характеристики системы и тем самым получить сведения, полезные при анализе системы управления.

Если речь идёт о частотных характеристиках замкнутой системы, то мы можем испо­льзовать преобразование Фурье входного сигнала /-(/) в виде:

Тогда для одноконтурной системы управления выходной сигнал можно получить простой заменой s = jiо в выражении У(і) = T(s)R(s), т. е.

(8.6)

Применяя обратное преобразование Фурье, получим выражение для выходного сиг­нала:

1 Г+°°

y(t) = У [У(./со)] = — Г Y(ju)eja'du. (8.7)

271 ■'-ю

К сожалению, этот интеграл, за исключением простейших случаев, с трудом под­даётся вычислению, поэтому можно воспользоваться графическим методом интегрирова­ния. Но, как мы увидим в дальнейшем, о некоторых показателях качества во временной области можно судить по частотным характеристикам и использовать эту зависимость при синтезе систем управления.