СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Графики частотных характеристик

Передаточную функцию системы G(s) можно представить в частотной области с помощью соотношения

G(yco) = С(л-)|,=,(11 = R( со) + jX (со), (8.8)

где R(со) = Re[G(/co)] и Л"(со) = Im[G(/co)].

Иным способом то же выражение можно представить как

С(/со) = |G(/to)|ew"n), (8.9)

где

ф(со) = aictg и |G(/co)|2 = R2(со) + X2(co).

R( со)

Для графического изображения частотных ха­рактеристик можно воспользоваться выражени­ями (8.8) или (8.9). Выражение (8.8) позволяет представить частотные характеристики в поляр­ных координатах (на комплексной плоскости), где изображаются действительная и мнимая части G(ju>), как показано на рис. 8.1. Проиллюстрируем

сказанное на простом примере. Рис - 81 ■ Комплексная плоскость

Пример 8.1. Частотные характеристики RC-фильтра

+ °------------ 1— ■ - і--------------------------- ° + На рис. 8.2 изображён простейший ЛС-фильтр. Пере-

^ даточная функция фильтра имеет вид

Vfc) С_,_ V2(s) _ V3(S) 1

Рис. 8.2. RC-фильтр

Сначала определим R{со) иХ(со) при двух частотах, со = 0 и ш = оо. При со = 0 мы имеем R(со) = 1 иДш) = 0, а при со = то У?(со) = 0 иХ(о>) = 0. Эти две точки показаны на рис. 8.3. Г одограф векто-

Рис. 8.3

Частотная характеристика RC-фильтра в полярных координатах

-R( со)

pa G(Jсо) также изображён на рис. 8.3 и легко можно показать, что он представляет собой полу­окружность с центром в точке (1/2,0 ). При to = ш, действительная и мнимая части (/(/со) рав­ны и угол ф(со) = — 45°. Функцию G(/co) можно представить в виде

G(/co) = |G(/co)| еМш (8.13)

где

1

и ф(со) = - arctg (со/со,).

д/і+ (со / со,)2

Таким образом, при со = со, |G(jco,)| = 1/V2 и ф(со,) = - 45°. Кроме того, при со —> оо мы имеем | G(/co) | -» 0 и ф(со) = - 90°. Аналогично, при со = 0 |G(/co)| = 1 и ф(со) = 0.

Пример 8.2. Изображение передаточной функции в полярных координатах

Представление передаточной функции в полярных координатах полезно при анализе устойчи­вости систем, как это будет рассмотрено в главе 9. Поэтому здесь уместно привести ещё один пример. Рассмотрим передаточную функцию

К К

(8.14)

G(i’)L«=/m = G(jco) =

усо(JCOT +1) Jсо - со т

Тогда выражения для её модуля и аргумента будут иметь вид:

К

и ф(со) = - arctg

л/со2 + coV

По этим выражениям легко вычислить аргумент и модуль функции G(/co) при частотах со = 0, со = 1/т и со = оо. Эти значения приведены в табл. 8.1, а график G(/co) в полярных координатах изображен на рис. 8.4.

Альтернативным способом является использование действительной и мнимой частей функции GO'co):

где /<’(со) = - К со"т/А/(со) и ATto) = — со К / М((о), при обозначении М(со) = со" + to4 т". Тогда при со =0 мы имеем Л(со) = - Ат иТ(о) = —оо, а при со = оэ соответственно Л(со) = 0 иДи) = 0. Если о = 1/т, то А(ю) = Дев) = - Ат/2, как показано на рис. 8.4.

Другой метод предполагает графическое определение вектора G(/co) при разных частотах ы. т. е. фактически при изменении переменной s вдоль мнимой оси. s =ja>. Рассмотрим функцию

К/т

G(*) =

s(s+ 1/т)

и отметим на ^-плоскости два её полюса, как это показано нарис. 8.5. Тогда при s =7 со мы полу­чим

К/х

С (./со) =

гдер= 1/т. Модуль и аргумент С(/со) при частоте со, можно определить с помощью рис. 8.5:

|С(>.)1=7Т-Т ------------ ,

|jco,||;co, + p|

и argG(/co,) = cp(coj) = - aigO'co,) - arg(/co, + p) = - 90е - arctg(co,/p).

Частотные характеристики системы могут быть графически изображены в разных координатах. Как только что было показано, это можно сделать в полярных координатах (на комплексной плоскости) с использованием выражения (8.8). Однако сразу же обнару­живается недостаток этого метода. При добавлении в передаточную функцию полюсов или нулей частотные характеристики системы надо вычислять заново, как нетрудно ви­деть из примеров 8.1 и 8.2 (см. табл. 8.1). К тому же вычисление частотных характеристик подобным методом представляет собой трудоёмкую процедуру и не позволяет оценить влияние на их вид отдельных полюсов или нулей.

Решение задачи существенно упрощается при использовании логарифмических ча­стотных характеристик, часто называемых диаграммами Боде. Последнее название обязано своим происхождением X. У. Боде, который широко использовал логарифмиче­ские характеристики при исследовании усилителей с обратной связью. Передаточная функция системы в частотной области имеет вид:

СО) = |G(/co)| е^ (8.16)

Усиление системы обычно характеризуется десятичным логарифмом модуля G(j со) и измеряется в децибелах (дБ):

Коэффициент усиления = 20 lg |G(yco)| . (8.17)

Амплитудно-частотную характеристику, выраженную в децибелах, и фазовую час­тотную характеристику ф(со) обычно изображают на отдельных графиках, как показано на рис. 8.6.

В качестве иллюстрации построим диаграмму Боде, соответствующую передаточной функции из примера 8.1.

Пример 8.3. Диаграмма Боде для /?С-фильтра

Напомним передаточную функцию из примера 8.1:

1 1

С(» =

jwRC + 1 j'cot + Г

При больших частотах, т. е. при to » 1/т получим

20 lg|G(/co)| к - 20 lg сот, со » 1/т. а на частоте со = 1/т

20 lg|G(/co)| = - 10 lg 2 = - 3,01 дБ.

Амплитудная характеристика фильтра изображена на рис. 8.6(a). Фазовая характеристика фи­льтра определяется выражением

ф(ю) = - arctg сот (8.22)

и изображена на рис. 8.6(6). Частоту со = 1/т принято называть частотой излома или сопряга­ющей частотой.

Линейный масштаб для частоты является не слишком удобным, поэтому предпочти­тельнее использовать логарифмический масштаб. О его преимуществе можно судить по выражению (8.21), которое при со » 1/т выглядит как

20 lg|G(/co)| = - 201g сот = - 20 lgx - 20 lgco. (8.23)

Тогда, если по оси абсцисс откладывать lgco, то при со » 1/т асимптотой амплитудной характеристики будет прямая линия, как показано на рис. 8.7. Наклон этой прямой линии можно установить по выражению (8.21). Расстояние между двумя частотами, отличаю­щимися в 10 раз, например, между со, и со2, где со2 = 10 со,, называется декадой. При часто­тах со » 1/т изменение амплитудной характеристики при изменении частоты на декаду со­ставляет

201g|G(y'co, )| -201g|G(y'co2 )| =-201gco1T-(-201gco2x) =

= -201g^=-201gfi - со2т V10

Таким образом, для данной передаточной функции первого порядка наклон высоко­частотной асимптоты амплитудной характери­стики равен - 20 дБ/дек, как показано на рис. 8.7.

Вместо использования прямоугольной сетки ко-

lgco, проще изображать амплитудную характери­стику в полулогарифмическом масштабе с равно­мерной разметкой оси ординат в децибелах и ло­гарифмической разметкой оси со. Можно было бы также использовать логарифмическую раз - метку оси ординат, избегая тем самым необходи­мости вычисления lg |G(/co)|.

Иногда используют интервал частот, при ко­тором крайние частоты отличаются в 2 раза, т. е.

со2 = 2со,. Такой интервал называют октавой. При частотах со » 1/т изменение амплитуд­ной характеристики при изменении частоты на октаву составит

201g|GOco, )| - 201g|G(yco, )| = -20lg ^ = -201g( -

со, т V 2

что эквивалентно наклону асимптоты, равному - 20 дБ/дек.

Основное преимущество логарифмических частотных характеристик состоит в том, что сомножители вида (/ют + 1), входящие в передаточную функцию, при построении учитываются в виде суммы членов 201g Ij'Cot + 1|. Это легко проиллюстрировать, если рас­смотреть передаточную функцию общего вида:

х4П(1+/“т|)

/=1

G(» = -

м

)2]

0'Ш)Л П(1+/-га)П[1+ (2^/fl4 )>+ (jafi

т=1 А=1

Эта передаточная функция имеет g нулей, N полюсов в начале координат, М полю­сов на действительной оси и R пар комплексно-сопряжённых полюсов. Для такой функ­ции построение частотных характеристик в полярных координатах было бы чрезвычайно затруднительным. В логарифмическом же масштабе для амплитудной характеристики мы получим:

и

201g|G(/o>)| = 201g*4 +£201g|l + 7COT(|-201g|(»w |-

/= 1

и диаграмма Боде легко получается путём сложения характеристик, соответствующих каждому отдельному сомножителю. Аналогичным образом, фазовая частотная характери­стика получается сложением соответствующих характеристик отдельных сомножителей:

Итак, передаточная функция может содержать четыре разного вида сомножители:

1. Постоянный коэффициент усиления Кь.

2. Полюсы (или нули) в начале координат (/со).

3. Полюсы (или нули) на действительной оси (/ют +1).

4. Комплексно-сопряжённые полюсы (или нули) [1 + (2£/ю„) у'ео + (/to/co,,)2].

Для каждого из этих сомножителей можно найти вид амплитудной и фазовой частот­ных характеристик и затем использовать их для построения диаграммы Боде, соответст­вующей передаточной функции общего вида. Эти характеристики, вообще говоря, явля­ются криволинейными, однако процедуру построения диаграммы Боде можно упростить, если воспользоваться их аппроксимацией асимптотами, а точные значения получать толь­ко при отдельных частотах, представляюших особый интерес.

Постоянный коэффициент усиления Кь. Логарифмическая амплитудная характе­ристика определяется выражением

201g Кь = const, дБ,

а фазовая характеристика

ф(со) = 0.

На диаграмме Боде амплитудная характеристика изображается просто в виде гори­зонтальной линии.

Если коэффициент усиления является отрицательным, т. е. - Кь, то логарифмическая амплитудная характеристика по-прежнему равна 201gKh, а знак минус учитывается сдви­гом по фазе на — 180°.

Полюсы (или нули) в начале координат (/со). Полюсу в начале координат соответ­ствует логарифмическая амплитудная характеристика

а фазовая характеристика

ф(ш) = - 90°.

Как видно из (8.29), амплитудная характеристика имеет вид прямой линии с накло­ном-20 дБ/дек. Аналогично, если в начале координат находится полюс кратности N, то

ф(ш) = - N ■ 90°.

В этом случае наклон логарифмической амплитудной характеристики равен -20 N дБ/дек. Если в начале координат находится нуль передаточной функции, то мы имеем:

20 lg|/co| = + 20 lgco,

что соответствует уравнению прямой с наклоном + 20 дБ/дек. Фазовая характеристика

ф(со) = + 90°.

Диаграммы Боде, соответствующие функции (/со)1 N, изображены на рис. 8.8 для N = 1 и N=2.

Рис. 8.8. Диаграммы Боде для (/w)±/v

Полюсы или нули на действительной оси. Наличие полюса на действительной

оси обусловлено сомножителем вида ( 1 + у'сот)-1, и этот случай уже был нами рассмотрен. Напомним, что амплитудная характеристика определяется уравнением

Прямолинейные асимптоты имеют следующие уравнения: при со <к 1/т 201gl = 0 дБ и при ю » 1/т -201g сот, что соответствует наклону -20 дБ/дек. Две асимптоты пересекаются в точке, определяемой уравнением

20 lg 1 = 0 дБ = -20 lgcoT, т. е. при со = 1/т, называемой частотой излома. Точное значение амплитудной характери­стики при со = 1/т равно -3 дБ. Фазовая характеристика имеет уравнение ф(со) = - arctg сот, а диаграмма Боде для сомножителя (1 + усот)- представлена на рис. 8.9.

Диаграмма Боде, соответствующая нулю передаточной функции, т. е. сомножителю (1 + усот), получается аналогичным образом с той лишь разницей, что наклон высокочас­тотной асимптоты амплитудной характеристики равен + 20 дБ/дек, а ф(со) = + arctg сот.

На рис. 8.9 приведена также линейная аппроксимация фазовой частотной характери­стики, которая совпадает с точной характеристикой на частоте излома, а при всех осталь­ных частотах отличается о неё не более, чем на 6°. Подобная аппроксимация может оказа­ться полезной для предварительного суждения о фазовой характеристике системы с пере­даточной функцией G(s). Однако часто необходимо иметь точный вид фазовой характе­ристики, поэтому для сомножителей первого порядка соответствующие кривые можно вычислить на компьютере, скажем, с помощью простой программы MATLAB. В табл. 8.2 приведены точные значения частотных характеристик, соответствующих полюсу переда­точной функции, т. е. члену (1 + уют)-1, а также для сравнения даны значения, полученные при аппроксимации характеристик прямолинейными отрезками.

о)

Комплексно-сопряжённые полюсы или нули [1 + (2£/юп) 7'со + (/ю/ю„)-]. Квадратичный член, соответствующий паре комплексно-сопряжённых полюсов, можно представить в виде

[1 +у2С и - и2]~ (8.33)

где и = ю/юп. Тогда для пары комплексно-сопряжённых полюсов логарифмическую амп­литудную характеристику можно представить в виде

10 lg [(1 - и2)2 + 4CV] ,

а фазовую характеристику в виде

cp(co) = - arctg

Если и<к 1, то

201g |G(/co)| = - 10 lgl = 0 дБ,

а фазовая частотная характеристика близка к 0°. Если и »1, то логарифмическая амплитуд­ная характеристика

20 lg |G(/to)| « - 10 lgM4 = - 40 lgw, что соответствует наклону - 40 дБ/дек. При и »1 фазовая характеристика стремится к значе­нию -180°. Асимптоты амплитудной характеристики пересекаются при значении 0 дБ, если и = ю/ш„ = 1. Однако расхождение между точной амплитудной характеристикой и её аппрок­симацией зависит от коэффициента затухания и принципиально должно учитываться при С, < 0,707. Диаграмма Боде, соответствующая квадратичному члену в передаточной функ­ции, изображена на рис. 8.10. Максимальное значение амплитудной характеристики, имеет место на резонансной частоте юг Если коэффициент затухания стремится к нулю, то сог—> со„, что соответствует частоте колебаний при отсутствии затухания. Резонансная часто­та определяется путём приравнивания нулю производной от выражения (8.33) по нормиро­ванной частоте и. Таким образом, резонансная частота определяется выражением

С, < 0,707,

= «Jl-2C2.

а максимальное значение | G(/co) | равно

в случае пары комплексно-сопряженных полюсов. На рис. 8.11 приведена зависимость максимума амплитудно-частотной характеристики и резонансной частоты шг от коэффи­циента затухания С,, соответствующего паре комплексно-сопряженных полюсов. В предпо­ложении, что пара комплексно-сопряженных полюсов является доминирующей для зам­кнутой системы, эти кривые могут служить средством оценки качества системы по её час­тотным характеристикам, определённым в результате эксперимента.

Частотные характеристики можно получить также из геометрических соображений путём определения модулей и аргументов векторов, проведенных на s-плоскости из по­люсов передаточной функции в точку на мнимой оси s=ja, при изменении со от 0 до со.

Рассмотрим, например, передаточную функцию второго порядка с комплексно-со­

пряжёнными полюсами

G(s) =----------- —!--------------- =- ^(8.38)

(.s/ «ал) + 2<^/ oj„ +1 s + 2 С, а„ s + ш„

Полюсы располагаются на окружности радиуса со„; в частном случае, при опре­делённом значении £ их положение указано на рис. 8.12 (я). Произведя замену s = у'ю, за­пишем передаточную функцию в виде

С(» = -

(S-Sl )(s-s, )

где Sj и — комплексно-сопряжённые полюсы. На рис. 8.12(g) показаны также векторы (/о - s'i) и (J co-s,), проведённые из полюсов в точкуу'ю. Тогда, задавая различные значения частоты, можно определить модуль и аргумент функции G(/co):

со:

|С(»|=-

І7С0-5, Ц/ш-Sj |

<p(co) = - arg(/ow, )-arg(/M-s1 ).

На рис. 8.12 (б, в, г) соответственно показано, как определяются эти характеристики для трёх конкретных значений частоты: со = 0, со = сог и со = со^. Соответствующие этим ча­стотам значения амплитудной и фазовой характеристик показаны на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Частотные характеристики, соответствующие паре комплексно-сопряженных полюсов

90”

0.0

Пример 8.4. Диаграмма Боде двойного Т-образного фильтра

В качестве примера определения частотных характеристик, основанного на расположении по­люсов и нулей передаточной функции и использовании векторов, направленных к точке /со, рассмотрим двойной Т-образный фильтр, изображённый на рис. 8.14. Передаточная функция этого фильтра имеет вид:

-2-V3 -2

90"

-90

а)

Рис. 8.15. Двойной Т-образный фильтр: (а) расположение полюсов и нулей и (б) частотные характеристики

Таблица 8.3. Асимптотические частотные характеристики

для основных сомножителей передаточных функций

Амплитудная характеристика, 20 lg |(7) Фазовая характеристика, ф((о)

нули которой расположены в левой полуплоскости, называется минимально-фазовой. В свою очередь, передаточная функция G2(s), удовлетворяющая условию | С,(/ы)| = |d7,(/co)f, но все нули которой расположены в правой полуплоскости симметрично нулям G^s) от­носительно мнимой оси, называется неминимально-фазовой.

Передаточная функция называется минимально-фазовой, если все её нули рас­положены в левой половине s-плоскости. Если передаточная функция имеет нули в правой полуплоскости, то она называется неминимально-фазовой.

На рис. 8.16 (а) и (б) показаны расположения полюса и нуля, которым соответствует одинаковая амплитудная характеристика, что совершенно очевидно из анализа длины векторов. Однако фазовые характеристики, соответствующие рис. 8.16(a) и (б), совер­шенно отличны. На рис. 8.17 изображены минимально-фазовая характеристика для полю­са и нуля на рис. 8.16 (о) и неминимально-фазовая характеристика для полюса и нуля на рис. 8.16 (б). Ясно, что передаточной функции

.9 4- 2

<?,(*)=—

5+ р

соответствует изменение фазового сдвига в пределах 80°, тогда как для передаточной фун­кции

s— Z

G2(s) =

S+ р

фазовый сдвиг изменяется в пределах 180°. Таким образом, рис. 8.17 иллюстрирует смысл понятия минимальный фазовый сдвиг. При одинаковых амплитудно-частотных харак­теристиках минимально-фазовой передаточной функции соответствует наименьший воз­можный фазовый сдвиг, тогда как для неминимально-фазовой передаточной функции фа­зовый сдвиг всегда больше первого.

Весьма интересной неминимально-фазовой, схемой является четырёхполюсник, про­пускающий все частоты, изображённый на рис. 8.18 (в). Нули его передаточной функции расположены симметрично полюсам относительно мнимой оси, как показано на рис. 8.18 (а). Ещё раз можно убедиться, что |G(/co)| является постоянным и в данном слу­чае он равен единице. Однако фазовая характеристика изменяется от 0° до -360°. Поско-

Рис. 8.16. Расположения полюса и нуля, соответствующие одинаковым амплитудным и

разным фазовым характеристикам Рис. 8.17 180“

Фазовые характеристики для минимально-фазовой и неминимально-фазовой

передаточных функций 9QO

о°

N

льку 02 = 180° — 0j и 0* =180° — 0j, то фазовая характеристика определяется уравнением ф(ю) = -2(01 + 0[ ). Амплитудная и фазовая частотные характеристики данного че­тырёхполюсника изображены на рис. 8.18 (б).