Механика гидро - и пневмоприводов

Уравнение энергии и уравнение притока тепла для рабочих сред

Уравнение энергии устанавливает связь между полной энергией выделенного объема среды с работой внешних сил и дополнительным притоком энергии извне. Полная энергия выделенного объема среды равна сумме внутренней энергии и кинетической энергии движущейся среды. Внутренняя энер­гия среды, заключенной в объеме V, равна

Евк = 1Ри<1У, (2.28)

V

Где 11 — приходящаяся на единицу массы среды ее внутренняя энергия.

Кинетическая энергия массы среды, частицы которой в том же объеме имеют скорость и, определяется соотношением

Бк = 1^<1у (2.29)

V

Работа внешних сил равна сумме работ массовых и по­верхностных сил. За время <И работа массовых сил составит

ЙАт - J р(Рт и)вУ <И, (2.30)

V

А работа сил, приложенных к ограничивающей объем поверх­ности 5,составит

<1А3 — У(Рп и)й5Л, (2.31)

5

Где рп — вектор напряжения, действующий на площадку с ортом п нормали.

Дополнительный приток энергии к выделенному объему среды извне за время Л представим в виде

С= J рдт(1У Л, (2.32)

V

Где дх — приходящееся на единицу массы среды количество энергии, подводимой в единицу времени к какой-либо точке внутри объема V Обычно соотношение (2.32) описывает при­ток или отвод тепла.

В соответствии с законом сохранения энергии имеем

<1(ЕВК + Як) = &Ат + <1А3 + (К^Т. (2.33)

Подставив в уравнение (2.33) величины, определяемые со­отношениями (2.28)-(2.32), и затем разделив все члены на получим

,2>

Г/'("+т)^ =

V

/"р т и йУ + J рп и <25 + J рдъ&У (2.34)

V 5 V

Левую часть уравнения (2.34) в отсутствие в выделенном объеме источников и стоков можно преобразовать следующим образом:

Г/'(*+т)л,-/'г(1'+т)л,+

V V

+Ки+Ш{^)=

V

14{и+Т)йу (2-з5)

V

Подставив в левую часть уравнения (2.34) интеграл, по­лученный в результате преобразования (2.35), и одновременно

Заменив в правой части этого уравнения интеграл по поверх­ности интегралом по объему, получим

Где тензор (pik) связан с рп соотношением рп = n(Pijfc).

Уравнение (2.36) справедливо для любого V что позволя­ет перейти к дифференциальной форме уравнения энергии:

(2.37)

Из уравнения (2.37) можно исключить скорости и массо­вые силы, если воспользоваться уравнением, описывающим из­менение кинетической энергии выделенного объема среды. Это уравнение имеет вид

Где д, — приходящееся на единицу массы количество энергии, которое затрачивается в единицу времени на работу внутрен­них сил.

После замены в правой части уравнения (2.38) интеграла по поверхности интегралом по объему закон об изменении ки­нетической энергии можно представить в дифференциальной форме

(2.39)

Вычитая из уравнения (2.37) уравнение (2.39), получаем уравнение притока тепла

(2.40)

Переменные [/, дх и д; связаны с переменными, которые входят в рассмотренные выше уравнения движения и нераз­
рывности среды. Конкретный вид уравнений, устанавливаю­щих эти связи, зависит от принятой физической модели среды. Например, внутреннюю энергию совершенного газа определя­ет соотношение

И - су<д,

Где су — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме;

0 — температура газа.

Приток дх тепла для многих изотропных сред подчиняется закону теплопроводности Фурье

= сИу^^гасЮ),

Где кт — коэффициент теплопроводности среды, зависящий от температуры 0 и динамической вязкости /л среды; часто ис­пользуют соотношение кт = Ср/х/Рт (Рг — число Прандтля, ср

— удельная теплоемкость газа при постоянном давлении).

Величину в механике жидкости и газа определяют с по­мощью уравнений (2.19) и (2.39). Полученное при этом урав­нение кроме содержит члены, из которых один учитывает мощность, затрачиваемую на обратимый процесс деформации среды, а два других — диссипацию механической энергии из-за вязкости среды.