Механика гидро - и пневмоприводов

Гидравлические модели течений рабочих сред

В общем виде движения рабочих сред подчинены рассмо­тренным выше фундаментальным законам механики жидко­сти и газа. Однако непосредственно применяя выражающие эти законы уравнения в технических расчетах, далеко не все­гда можно получить необходимые для практики результаты. Такое положение объясняется тем, что для решения уравне­ний необходимо сформулировать граничные условия, описыва­ющие взаимодействие рабочих сред с помещенными в них или их ограждающими телами. Граничные условия могут быть

Причиной гидродинамической неустойчивости движения сре­ды, вследствие которой ламинарное течение переходит в тур­булентное. Сложность процессов, происходящих в турбулент­ных потоках, не позволяет в полной мере воспользоваться об­щими уравнениями гидродинамики несмотря на то, что они остаются справедливыми. В связи с этим для учета дисси­пации механической энергии в турбулентных потоках обычно используют экспериментальные данные. Кроме того, при сни­жении давления до значений, близких к давлению насыщенных паров, в потоке жидкости возникает кавитация, вследствие ко­торой нарушается условие неразрывности течения. Сложные процессы сопровождают течения газов со скоростями, превы­шающими скорость звука. Перечисленные и другие явления создают значительные трудности при математическом моде­лировании течений рабочих сред в реальных устройствах.

Эти трудности можно преодолеть, как развивая на основе общих уравнений механики жидкости и газа численные методы моделирования процессов в устройствах гидро - и пневмопри­водов, так и достаточно широко применяя издавна известные методы гидравлических расчетов. При таких расчетах рас­сматривают уравнения и соотношения, записанные в усреднен­ных по пространственным координатам скоростях, давлениях и температурах рабочих сред. Реальную структуру течений в гидравлических моделях отражают посредством коэффици­ентов, связывающих характеристики потоков с усредненными величинами и характеристики действительных потоков. Ко­эффициенты находят в результате решения предварительно упрощенных фундаментальных уравнений, обобщения экспе­риментальных данных и полуэмпирическим путем, используя совместно результаты расчетов и экспериментов.

В гидравлических моделях при выборе границ потока вы­деляют живые сечения, к которым ортогональны местные ско­рости, и вводят параметр, называемый гидравлическим ради­усом

Где 5 — площадь живого сечения; X — смоченный средой пе­риметр канала.

При напорном движении среды в круглой цилиндрической трубе гидравлический радиус равен половине радиуса проход­ного сечения трубы. Усредненную по живому сечению ско­рость V течения находят по соотношению

V = I и, (2.42)

5

Где и — местная скорость среды.

Чтобы величины, вычисленные по скорости г;, совпада­ли с величинами, полученными для реального распределения местных скоростей в живом сечении потока, вводят коэффици­енты кинетической энергии (коэффициент Кориолиса) а и ко­эффициент количества движения (коэффициент Буссинеска) /3. Коэффициент а равен отношению кинетической энергии сре­ды, протекающей через данное живое сечение, к кинетической энергии, рассчитанной по усредненному значению скорости у:

Коэффициент /3 равен отношению количества движения среды с реальным распределением местных скоростей в живом сечении потока к количеству движения среды с усредненной скоростью у:

0=1^^ <2-44)

5

С помощью соотношения

И = (1 + 6щ) V формулы (2.43) и (2.44) можно представить в виде

А = 11(I + Зёи + Зё2и + ё3и) <1Б, (2.45)

5

0 = | У (1 + 2би + «2) <*5. (2.46)

5

Учитывая, что

|У^„<*5 = 0, (2.47)

5

По формуле (2.46) находим

| У 62и <1Б = 0 - 1. (2.48)

5

Используя формулы (2.47) и (2.48), выразим зависимость

(2.45) следующим образом:

А = 1 +3(0-1)(2.49) 5

Если ограничить возможные значения 6и пределами от —1 до +1, то по формуле (2.49) получим следующую приближен­ную зависимость коэффициента кинетической энергии от ко­эффициента количества движения:

А = 3(3-2. (2.50)

Например, при ламинарном установившемся течении ньюто­новской жидкости в круглой цилиндрической трубе распреде­

Ление местных скоростей по живому сечению потока описывает уравнение

И — ^шах^1 “ (2.51)

Где г*тах — местная скорость среды на оси трубы; г — ко­ордината, измеренная по радиусу сечения трубы до точки, в которой местная скорость и.

При этом течении по формулам (2.43) и (2.44) а 2, (3 1,33, а по формуле (2.50) а = 1,99, т. е. ошибка при­

Ближенного вычисления не превышает 0,5%. В случае турбу­лентного течения в трубе а = 1,05... 1,12, /3 = 1,04. Из-за влияния различных устройств, расположенных перед входом в трубу, неравномерность распределения скоростей может воз­расти, что приведет к увеличению значений а и /3.

Рассмотренное без учета сжимаемости среды условие ба­ланса мощностей потока в двух сечениях канала (рис. 2.9) по­зволяет записать уравнение

Гу , , «1 ръ гу, , «2^2 ,

Р9% 1 + Р1 Н 2— ~ М 2 + Р2 Н--------------- 2------ ^

I

(252)

О

Где (^ = = 52^2 — объемный расход среды, протекающей

В канале.

В уравнении (2.52) индексами “1” и “2” отмечены вели­чины, взятые соответственно для сечений 1 и 2. Величина рс определяет потери давления вследствие гидравлического со­противления канала. Последний член этого уравнения учи­тывает изменение давления, вызванное инерцией среды при неустановившемся течении. Уравнение вида (2.52) часто на­зывают уравнением Бернулли для неустановившегося потока вязкой несжимаемой среды. Однако такое название не соответ­ствует строгому выводу уравнения Бернулли, которое являет­ся по сути первым интегралом уравнения Эйлера, описываю­щего установившееся движение невязкой среды.

Уравнение (2.52) содержит коэффициенты «ь а2 и /?, ко­торые обычно находят по экспериментальным данным, полу­ченным при установившихся течениях. Для таких же течений определяют коэффициент гидравлического сопротивления, ис­пользуемый при вычислении потери давления по формуле

2

Рс = сф (2-53)

Где С, — коэффициент гидравлического сопротивления, отне­сенный к сечению канала, в котором усредненное по сечению канала значение скорости среды равно г;,*.

Коэффициент £,• зависит от формы канала и числа Рей­нольдса, вычисляемого по соотношению

11е = (2.54)

Где Д, — гидравлический радиус или другой размер, характе­ризующий данный канал.

В случае установившегося движения среды последний

Член уравнения (2.52) обращается в нуль. Сложнее будет ситу­

Ация, когда движение среды является неу становившимся. При гидравлических расчетах обычно принимают квазистационар - ные значения коэффициентов, получая их для установившихся течений среды с разными скоростями. Такой подход основан на замене реального нестационарного потока среды сменяющи­мися во времени потоками с установившимися распределени­ями местных скоростей по живому сечению. Выполненные с использованием квазистационарных значений коэффициентов расчеты неустановившихся процессов в ряде случаев с доста­точной для практики точностью подтверждаются результата­ми экспериментов. Однако, согласно теоретическим и экспе­риментальным исследованям, распределения местных скоро­стей могут существенно изменяться в нестационарных пото­ках. Вызванные этими изменениями расхождения в нестацио­нарной и квазистационарной моделях течения нетрудно заме­тить, рассматривая неустановившееся движение вязкой несжи­маемой среды в круглой цилиндрической трубе длиной I. Для горизонтально расположенной трубы уравнение (2.52) прини­мает вид

Л1 dv рЬ (1в, ^ .

Р1 + ~2^ Ц + Рс = Р1 ~ Р2' ^ ^

По уравнению (2.11), пренебрегая массовыми силами, для той же трубы в проекциях на ее ось получаем

I

— J рих дУ = J PldS - J p2dS - J 27гготон (2.56)

V 50 50 О

Где тон — касательное напряжение на стенке трубы в нестацио­нарном потоке среды; 5о = — площадь проходного сечения

Трубы.

Вычислив интегралы в уравнении (2.56) с учетом того, что, давления в пределах одного сечения имеют одинаковые значения, находим

Р1 ^ = (Р1 - Р2) 5о - 2ТГГ0/Т0Н, (2.57)

Где <2о = Зоу — объемный расход среды, протекающей в трубе.

После деления на 5о уравнение (2.57) принимает вид

А» 21т0н ( ,

Р1~П+------ — Р — Р2- (2.58)

Аъ г о

При установившемся течении из уравнений (2.55) и (2.58) следует, что

Рс = (2.59)

ГО

Где тоу — касательное напряжение на стенке трубы в устано­вившемся потоке среды.

Если движение среды будет неустановившимся, то, как показывает сравнение уравнений (2.55) и (2.58), соотношение (2.59) можно применять только при /3 = 1,0. Однако это усло­вие не соблюдается; в частности, при ламинарном потоке с ква - зистационарным распределением местных скоростей по живо­му сечению (3 = 1,33. Расчеты и результаты измерений мест­ных скоростей также подтверждают существенное отличие не­стационарного распределения скоростей от квазистационарно - го. Вследствие этого нестационарные касательные напряже­ния тон в принципе не должны совпадать с квазистационарны - ми значениями тоу.

Наряду с трубами, шлангами и другими каналами, дли­на которых значительно больше размеров, определяющих их проходные сечения, в гидро - и пневмоприводах широко при­меняют устройства с короткими каналами. Такие проточные элементы имеют постоянные или изменяемые во времени про­ходные сечения. Характеристики различных проточных эле­ментов при установившихся течениях жидкостей и газов до­статочно подробно изучены. Более ограничены сведения о вли­янии на эти характеристики неустановившихся течений рабо­чих сред, что объясняется сложностью нестационарных гидро­динамических процессов, которые могут в значительной мере зависеть от вида возмущений и предыстории самого процесса. При отмеченной неопределенности закономерностей неустано­вившихся течений необходимо определять границы, в пределах которых допустимо в расчетах использовать характеристики, полученные в случае установившихся течений. При колебани­ях среды в коротком канале поток можно считать квазистаци - онарным, если

БЬ < 0,1(1 + 0,

Где С — коэффициент гидравлического сопротивления корот­кого канала; БЬ — число Струхаля:

БЬ = 4 и>д — . Ь

Здесь ид — угловая частота колебаний потока среды; Д — гидравлический радиус отверстия; уу — установившаяся ско­рость истечения среды из отверстия.

Коэффициент гидравлического сопротивления короткого канала при установившемся течении зависит от числа Рей­нольдса, поэтому указанное выше условие является косвенной оценкой совместного влияния вязкости и инерции среды на про­цесс истечения из короткого канала. Подобные оценки позво­ляют приближенно определить границы применимости ква- зистационарных коэффициентов гидравлических сопротивле­ний в расчетах динамических характеристик регулирующих и управляющих устройств приводов. Большое количество экс­периментальных и теоретических характеристик различных аппаратов, рассчитанных с помощью квазистационарных ко­эффициентов, обычно подтверждают их хорошее соответствие друг другу.

Обобщая различные случаи механики нестационарных по­токов рабочих сред, можно предложить следующий подход к использованию гидравлических моделей при расчетах и иссле­дованиях устройств гидро - и пневмоприводов. Динамические характеристики устройств, имеющих короткие каналы с мест­ными гидравлическими сопротивлениями, определяются при квазистационарных коэффициентах истечения. Волновые про­цессы в трубопроводах, шлангах и других длинных гидро - и пневмолиниях во избежание ошибок при расчете максималь­ных изменений давлений целесообразно рассматривать с уче­том нестационарности коэффициентов сопротивления трения. Предлагаемый подход применен в дальнейшем при изложении вопросов математического моделирования и динамики гидро - и пневмоприводов.