Механика гидро - и пневмоприводов

Общий вид математических моделей с сосредоточенными и распределенными параметрами

В различных областях человеческой деятельности с дав­них пор используют моделирование как средство получения информации о поведении тех или иных объектов. При мо­делировании реальный объект заменяют его физическим или абстрактным прообразом. Если в последнем случае описание происходящих в объекте процессов выполнено в математиче­ской форме, то модель называют математической. Благодаря интенсивному развитию вычислительной техники математиче­ское моделирование в настоящее время играет ведущую роль при решении разнообразных научных проблем, при создании и эксплуатации новых сооружений, устройств, систем, а также при управлении производством, решении экономических, соци­альных и других задач.

Чтобы избежать излишне сложных, а также чрезмерно упрощенных и не адекватных реальным объектам моделей, не­обходимо не только достаточно глубоко знать сущность моде­лируемых процессов, но и владеть методами оценок допуще­ний, принимаемых при составлении математических моделей. При математическом моделировании гидро - и пневмоприводов эти общие положения не менее важны, чем при моделировании других, часто более сложных, технических систем.

Как отмечалось в предыдущих главах, математическое описание процессов в гидро - и пневмоприводах основано на фундаментальных уравнениях механики твердого тела, меха­ники жидкости и газа, электротехники и электроники. Если переменные в этих уравнениях не зависят от времени, при си­стемном анализе их называют уравнениями статики, а если зависят от времени — уравнениями динамики. Оба понятия несколько шире, чем принятые в теоретической механике, так как, во-первых, переменными могут быть как механические, так и другие физические величины, и, во-вторых, к равновес­ным относят такие состояния систем, при которых перемен­ные не изменяются во времени, хотя отдельные части системы находятся в движении. Примерами равновесных состояний, в указанном здесь смысле, могут служить вращение вала дви­гателя с постоянной угловой скоростью или поступательное движение выходного звена привода с постоянной скоростью. Уравнения статики получают либо непосредственно исходя из условий, определяющих равновесные состояния системы, ли­бо с помощью уравнений динамики, полагая в них равными нулю производные по времени от переменных, описывающих мгновенные состояния системы.

На сложность математических моделей гидро - и пневмо­приводов в значительной мере влияет форма описания процес­сов в рабочих средах и их взаимодействия с элементами при­водов. Использование уравнений механики жидкости и газа в гидравлической форме (см. гл. 2 и 3) позволяет упростить ма­тематические модели рассматриваемых устройств и привлечь для расчетов экспериментальные значения тех параметров, ко­торые нельзя вычислить. Если в этих моделях допустимо не учитывать изменение гидротермодинамических величин в за­висимости от геометрических координат, то описание процес­сов можно представить в сосредоточенных параметрах. При наличии гидравлических и пневматических линий, протяжен­ность которых превышает 1/4 длины волны колебаний среды вдоль линии, может возникнуть необходимость перехода к бо­лее сложным моделям с распределенными параметрами.

Величины, полностью описывающие в данный момент времени состояние какой-либо системы при известных внеш­них на нее воздействиях, называют переменными состояния.

Такие переменные являются своего рода координатами про­странства физических величин, в котором состояние системы, в частности гидро - или пневмопривода, определяет вектор - столбец, имеющий после транспонирования следующий вид:

Х(хь Z2, х3, ..., хп)т,

Где XI, Z2, жз, ., хп — переменные состояния.

В том же пространстве внешние воздействия на систему можно представить после транспонирования в виде

И(«ь«2, т, -,иг)т

Компонентами этого вектора служат управляющие и возму­щающие воздействия, приложенные в разных местах системы.

Из числа переменных состояния выделяют наблюдаемые, или, как их еще называют, контролируемые величины

У{У1,У2,УЗ, Ут)Т

В перечисленных переменных основу математической мо­дели гидро - или пневмопривода составляет векторное диффе­ренциальное уравнение состояния

^ = f(x, u, t) (4.1)

И векторное алгебраическое уравнение наблюдаемых перемен­ных

У = g(x, u, t). (4.2)

Правые части уравнений (4.1) и (4.2) в общем случае явля­ются нелинейными функциями векторных переменных X, и и времени <, наличие которого в указанных функциях связано с возможным изменением (нестационарностью) параметров си­стемы, характеризующих ее свойства.

К уравнениям (4.1) и (4.2) необходимо добавить функции, описывающие изменения во времени управляющих и возму­щающих воздействий на систему, а также указать началь­

Ные условия для системы. Все переменные зависят только от времени, поэтому уравнения вместе с начальными условиями
описывают гидро - или пневмопривод как систему с сосредо­точенными параметрами. При наличии в системе физических величин, которые кроме времени зависят еще от геометриче­ских координат, в математическую модель войдут уравнения в частных производных. Такая модель будет соответствовать системе с распределенными параметрами.

Для более подробного изложения процедуры получения математической модели системы с распределенными параме­трами предположим, что процессы в гидроприводе необходимо описать с учетом изменения в одном из трубопроводов давле­ния и скорости жидкости не только во времени, но и по дли­не трубопровода. Кинематическую вязкость жидкости при­мем постоянной, объемную — равной нулю. Трубопровод бу­дем считать цилиндрическим с круглым проходным сечением диаметром (/о = 2го. При составлении уравнений воспользу­емся цилиндрической системой координат, ось х которых на­правлена по оси трубопровода, а координата г — по радиусу его проходного сечения. В случае неустановившегося осесим­метричного течения жидкости уравнения Навье-Стокса (см. гл. 2) при перечисленных условиях можно привести к следую­щим двум уравнениям:

Дих дих дих 1 др

~^Г + их— + ит— = — — + V дt ох от р ох

Дит диг диг 1 др ’4 д2их д2их^

3 дх2 дг2

(тг + -)1

дг г )

4 /д2иг 3 дг2

Иг д (1 дих диг

Г2/ дх 3 дг дх)

Дг ' дх

Где их, иг — проекции скорости и на оси цилиндрических ко­ординат.

В цилиндрических координатах уравнение неразрывности записывают в виде

Др дит ит дих др др, л

■Ш + '-а7 + >’7 + /’-^ + '‘'/г + и*Тг=0 (4'5)

Уравнения (4.3)-(4.5) можно упростить, если в них прене­бречь членами, порядок которых значительно ниже сохраняе­мых членов. Примем длину I трубопровода линейным масшта­бом, среднюю по проходному сечению трубопровода скорость у жидкости — масштабом скорости, отношение I к скорости со звука в жидкости — масштабом времени исследуемого процес­са. При таких масштабах порядок членов в уравнениях можно определить так:

°Ш = Т <«>

°(£) = т - ™

Где символ О, как и в гл. 3, обозначает порядок величины.

Согласно выражениям (4.6) и (4.7) член их(дих/дх) допу­стимо считать малым по сравнению с дих! д1, если V С со - Это условие, например, будет выполнено при достаточно распро­страненных значениях V = 6...7м/си со = 800... 1000м/с. Проведя аналогичные оценки других членов при г < /, пред­ставим уравнения (4.3) и (4.5) в усеченном виде:

Дих 1 др

= — -5- + V

Дг2 г дг

Р дх

<«>

!+'£+'т+'£=о-

Значения плотности р вследствие ее малого изменения можно принять постоянными при вычислении коэффициентов урав­нений (4.8) и (4.9). Уравнение (4.4) при их » иг можно ис­ключить из рассматриваемой системы уравнений.

Для математического описания неустановившегося тече­ния вязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе в гидравли­ческой форме умножим все члены уравнений (4.8) и (4.9) на
2жгйг и затем проинтегрируем их в пределах от г = 0 до г = го-

В результате получим

Го го г0 , -

Д [п, 1 д [п , [п {& их 1 дих

Ш Гхп**г = —ра; }2жгр*г+" }2жт-д*+-г-а7)'1т+

О 0 0

+§£/Ч£+тЬ (410)

О

^ 12тггрЛг + р^тг (^ + у) <1г+

О о

Го

О [

+/9— / 2кгих <1г = 0. (4.11) о

Интеграл в левой части уравнения (4.10) равен объемному расходу ф жидкости, протекающей в данный момент времени через рассматриваемое сечение трубопровода

ГО

1 2кгих(1г = (д. (412)

О

Первый интеграл в правой части того же уравнения равен Го

! 2'кгрйг = 7ГГоР, (4-13)

О

Так как давление р можно считать независимым от г.

Второй интеграл в правой части уравнения (4.10) пред­ставим следующим образом:

27ГГ°Г0н-, (4.14)

Г=г0 Р*

Где нестационарное касательное напряжение на стенке трубо-

Провода определяется соотношением

Дих

Тон = - ри

Наконец, вычислим третий интеграл в правой части урав­нения (4.10):

J 2жг dr = 2ж J г dr + 2ж J ит dr =

0 0 0

Го го

Du 0 / du

R-^-dr + 2житг — 2ж I гdr = 2жгourQ. (4.16)

0 0 0

Учитывая упругую деформацию стенок трубопровода, имеем

Дго

Ит0 ~ at •

Приращение го связано с приращением Ар давления в тру­бопроводе соотношением

Г0

Дг = —— (г0Ар + рАг0),

О J^ct

Где Ест — модуль упругости материала стенки; 6 — толщина стенки.

Второй член в правой части этого выражения при малых деформациях стенки будет пренебрежимо мал по сравнению с первым членом. В этом случае

<417)

Подставив интегралы, определяемые соотношениями (4.12)-(4.17), в уравнение (4.10) и разделив результат на жг2, получим

— - _1 — ( _ 2f>vr° _ 2г°н (4 ig)

Dt р dx Z6ECT dt) pro

Здесь v = Q/(жгц) — средняя по сечению трубопровода ско­рость жидкости в данный момент времени.

При принятом масштабе времени I/со вторым членом в скобках в уравнении (4.18) допустимо пренебречь, если

Ш«[1]- <[2]

С учетом условия (4.17) после вычисления интегралов и деления на ttt-q уравнение (4.11) можно привести к виду

Dp 2pro dp dv. „ Л/чЧ

1н + dt+Pdx~ (4'20)

Применив соотношение (см. гл. 1)

*='% <[3]-21)

Представим уравнение (4.20) в виде

(L + ^^l + ^l = 0 (422)

в 6Ecr) dt дх [ ]

Таким образом, при рассмотренных допущениях уравне­ние (4.18) движения вязкой сжимаемой жидкости и уравнение

(4.22) неразрывности можно привести к следующим двум урав­нениям соответственно:

<4-2з>

£=-£!• (424)

Где Втр — приведенный модуль объемной упругости жидкости, находящейся в трубопроводе с упругими стенками:

Найти по известной в гидромеханике формуле

Т0у = (4.26)

Здесь А — коэффициент гидравлического сопротивления тре­ния трубопровода; уу — средняя по сечению трубопровода ско­рость установившегося течения жидкости.

Значения А зависят от числа Рейнольдса

Йе = . (4.27)

V

При установившемся ламинарном течении (Ле < 2300) ко­эффициент гидравлического сопротивления трения и касатель­ное напряжение на стенке трубопровода можно вычислить до­статочно просто, так как распределение местных скоростей по сечению трубопровода является параболическим (течение на­зывают Гагена — Пуазейля). В этом случае А = 64/Ле и

Т0у = ^Ч. (4.28)

Принимая в каждый момент времени V = г;у, т. е. рас­сматривая нестационарное течение как сменяющиеся стаци­онарные течения, которые происходят без изменения закона распределения местных скоростей, величину т0н в уравнении

(4.23) часто принимают квазистационарной и вычисляют ее по формуле (4.28). Однако такое приближенное представле­ние закона трения при неустановившемся движении среды (см. гл. 2) не соответствует реальному течению. Согласно экспе­риментальным и теоретическим исследованиям, при неуста­новившемся движении вязкой среды изменяется распределение местных скоростей по сечению трубопровода и, следовательно, гидравлическое сопротивление трения трубопровода также из­меняется. В связи с этим реальные значения тон отличаются от квазистационарных, причем различие может быть значитель­ным. Чтобы учесть данную особенность нестационарных те­чений, величину тон следует представить функцией, в которой будет отражена для рассматриваемого процесса предыстория изменения структуры течения.

При высокочастотных колебаниях рабочих сред в тру­бопроводах характеристики нестационарного сопротивления трения ламинарных и турбулентных потоков сближаются, что позволяет использовать в расчетах формулу (4.28), предвари­тельно умноженную на коэффициент, который зависит от ча­стоты колебаний рабочей среды. После корректирования фор­мула принимает вид

Г„„ = *^2, (4.29)

ГО

Где

Ае а = — + 0,4.

В соотношение для определения Гон входит безразмерная ча­стота

О

(4'30)

Здесь и — угловая частота колебаний рабочей среды в трубо­проводе.

По формуле (4.29) можно оценить, как возрастет сопро­тивление трения трубопровода вследствие нестационарности течения, вызванной колебаниями рабочей среды. Например, если диаметр проходного сечения трубопровода <1о = 2го равен 20 мм, а вязкость рабочей среды равна 12,5*10“[4] м2/с, то при частоте колебаний / = 16 Гц

2тг/г2

Ъ = —^ = 100.

81/

При таком значении безразмерной частоты аеа = 5,4, соответ­ственно во столько раз увеличится сопротивление трения тру­бопровода по сравнению с рассчитанным на основе предполо­жения о квазистационар ной структуре ламинарного течения.

Уравнение (4.23) при тон = 0 вместе с уравнением (4.24) составляет систему уравнений, впервые опубликованную

Н. Е. Жуковским в 1899 г. В таком виде уравнения описыва­ют неустановившееся движение невязкой сжимаемой жидкости
в упругом трубопроводе. Расчеты колебательных процессов в трубопроводах гидроприводов без учета вязкости жидкости в некоторых случаях позволяют получить близкие к действи­тельным наибольшие значения давлений в концевых сечениях трубопровода, но не позволяют определить интенсивность за­тухания колебаний по длине трубопровода и времени. При вве­дении в расчет квазистационарного сопротивления трения тру­бопровода обеспечивается только приближенная оценка вли­яния вязкости среды на затухание колебательных процессов, причем при резонансных частотах значения амплитуд давле­ния, вычисленные как без учета вязкости среды, так и с уче­том квазистационарного сопротивления трения трубопровода, могут оказаться значительно больше рассчитанных с учетом реального увеличения сопротивления трения.

Уравнения (4.23) и (4.24) во всех рассмотренных выше случаях описывают неустановившееся течение сжимаемой ра­бочей среды при распределенных по длине трубопровода па­раметрах. Эти уравнения при ограниченных изменениях да­влений и скоростей среды могут быть также применены в ма­тематических моделях пневмоприводов. Уравнения (4.1), (4.2) и (4.23), (4.24) образуют математическую модель гидро - или пневмопривода с распределенными параметрами, которая от­личается от модели с сосредоточенными параметрами тем, что в нее кроме обыкновенных дифференциальных уравнений вхо­дят уравнения в частных производных. Системы, математи­ческие модели которых должны быть представлены в распре­деленных параметрах, обладают рядом особенностей, не про­являющихся в системах, описание которых может быть дано в сосредоточенных параметрах. Например, системы с распреде­ленными параметрами теоретически имеют бесконечное число резонансных частот. У таких систем могут быть перемежаю­щиеся области устойчивых и неустойчивых режимов работы, а также вследствие возникновения гидравлических ударов могут разрушаться трубопроводы и подключенные к ним устройства гидроприводов.