Механика гидро - и пневмоприводов

Линеаризация уравнений и структурные схемы математических моделей

Математическое описание процессов в гидро - и пневмо­приводах, а также в источниках энергопитания приводов, как показано в предыдущих главах, связано с использованием не­линейных функций. Вследствие этого основу математических моделей составляют нелинейные дифференциальные уравне­ния (4.1) и (4.2), с помощью которых исследование систем в большинстве случаев можно выполнить численными метода­ми, так как аналитические методы применимы при ряде огра­ничений на порядок дифференциальных уравнений и вид со­держащихся в них нелинейностей. Возможности численных методов в современных исследованиях любых систем несоиз­меримо выросли по сравнению с аналитическими методами. Однако результаты численных исследований часто оказывают­ся недостаточными при выводе общих закономерностей, опре­деляющих важные для практики свойства систем. В то же время аналитические методы исследования линейных матема­тических моделей позволяют получать вполне обобщенные ре­зультаты, они подробно разработаны в математике и в тех дис­циплинах, которые используют при решении различных задач механики гидро - и пневмоприводов.

Понятие линейная математическая модель означает на­личие пропорциональности между внешними воздействиями на систему и вызванными ими изменениями переменных со­стояния. Важное свойство линейных систем состоит в том, что рассчитанные при отдельных воздействиях процессы по­сле суммирования определяют процесс, возникающий в резуль­тате всех этих воздействий. Данное свойство является одним из примеров принципа суперпозиции решений линейных диф­ференциальных уравнений, заменяющих в математической мо­дели нелинейные дифференциальные уравнения. Такая замена исходной нелинейной математической модели реальной систе­мы приближенной линейной моделью может быть выполнена в ограниченной области переменных состояния и при ограни­ченных внешних воздействиях. Кроме того, необходимо, что­бы характеристики элементов и системы в целом позволяли

Осуществить линеаризацию нелинейных уравнений без суще­ственного искажения описываемых ими процессов. Для линеаризации уравнений (4.1) и (4.2) предварительно определяют состояние системы при и = ио, Затем Принимают, что переменные состояния и возмущения имеют отклонения от соответствующих этому состоянию значений: Х' = X — х0; у' = у - Уо; и' = и - и0, Где х', у', и' — отклонения величин ОТ Хо, Уо, и0. С учетом приведенных равенств уравнения (4.1) и (4.2) записывают в виде

(4.33)

И

8 (х0 + х', и0 + и', <) = g(X0, и0, *)+

Х0,и0 дп

Входящие в функции (4.33) и (4.34) якобианы определяют по следующим формулам:

	Одг Од Ди Дщ Ддг Дд2 Дщ Ди2 Ддт Ддт Ди ди2	Дд Дит Д92 Диг Ддт ДиТ
Д% Ди

Из уравнений (4.31) и (4.32) выделяют уравнения, описываю­щие изменение исходного состояния системы в малых откло­нениях:

^- = А(<)х' + В(<)и' (4.35)

У' = С(<) х' + Б(<) и', (4.36)

Где А(*), В(*), С(*) и Б(<) — матрицы, элементы которых являются заданными функциями времени.

При зависящих от времени коэффициентах (матрицах) уравнений (4.35) и (4.36) системы, соответствующие тако­му математическому описанию, называют нестационарными. Если коэффициенты постоянные, то системы называют стаци­онарными. Для таких систем эти уравнения имеют вид:

И-х1

— = Ах' + Ви' (4.37)

А%

И

У' = Сх' + Би' (4.38)

Здесь А, В, С и Ю — матрицы с постоянными элементами.

Рассмотренный метод линеаризации дифференциальных уравнений нельзя применять в случае, когда нелинейные функ­ции не могут быть разложены в ряд Тейлора из-за наличия

Разрывов в окрестности исходного состояния системы. В та­ких случаях функции называют существенно нелинейными и для линеаризации либо, если это возможно, выбирают другие исходные состояния системы, либо применяют другие методы исследования, два из которых кратко изложены в главе 6 при анализе причин возникновения автоколебаний в гидроприво­дах. Линеаризованные математические модели систем полу­чают также путем предварительной аппроксимации нелиней­ных функций, принимая те или иные допущения относительно свойств и характеристик систем.

Математическую модель исследуемой системы можно представить не только уравнениями, но и в виде схемы, пока­зывающей вид вычислительных операций в модели, связи меж­ду ее блоками и приложенные к системе внешние воздействия. Такие схемы называют структурными. Линейной математи­ческой модели системы с векторно-матричными уравнениями

(4.35) и (4.36) соответствует структурная схема, изображенная на рис. 4.1.

Щ

Моприводов. Стрелки, обозначенные на схеме двойными ли­ниями, соответствуют каналам, передающим сигналы с ин­формацией о значениях векторных переменных. Внутри пря­моугольников, которыми показаны основные блоки, записаны матрицы-коэффициенты уравнений и символ интегрирования для вычисления векторной переменной х. В тех местах схе­мы, где должно происходить алгебраическое суммирование не­скольких сигналов, введены кружки с указанными в них знака­ми сложения или вычитания сигналов. Разветвление стрелок означает, что сигналы без изменения своих значений переда­ются нескольким блокам.

Чтобы выделить характерные свойства отдельных зве­ньев, участвующих в формировании и передаче сигналов в си­стеме, применяют математические модели, основой которых являются уравнения типа вход-выход. При этом широко ис­пользуют линейные дифференциальные уравнения с постоян­ными коэффициентами:

Dny dn~^y

And^ + an~1di^ + +аоУ =

Dmu dm~1u

= 6m—+ 6m_ i^r+ +b0u. (4.39)

Вводя символ дифференцирования pt = d/dt, уравнение (4.39) записывают в символической форме

D(pt)y = M(pt)u, (4.40)

Где и — входная величина (входной сигнал); у — выходная величина (выходной сигнал);

D{Pi) = QnPt + On-ip"-1 + + «о; (4.41)

M(Pt) = Ьтр? + 1 + + bo. (4.42)

Выражения (4.41) и (4.42) называют собственным оператором системы или звена и оператором воздействия на систему или на ее звено соответственно.

Уравнение (4.40) можно представить также в виде

У = У(рг)и. (4.43)

В уравнении (4.43) связь между зависящими от време­ни входной и выходной величинами определяет передаточная функция

= Ш' (4'44)

Которая показывает, какие математические операции необхо­димо выполнить с функцией и = и(/), чтобы найти функцию

У = з/(/). Так как операторы (4.41) и (4.42) непосредственно

Следуют из дифференциального уравнения (4.39), описываю­щего динамические состояния системы или какого-либо из ее звеньев, передаточная функция отражает присущие реальным устройствам свойства, учитываемые при составлении матема­тических моделей этих устройств.

С помощью передаточной функции (4.44) получают алго­ритмы для расчетов на аналоговых и цифровых вычислитель­ных машинах. При аналитических исследованиях указывае­мые передаточной функцией математические действия выпол­няются проще, если применить методы операционного исчисле­ния. Эти методы основаны на интегральном преобразовании Лапласа:

Оо

^(5) = I е~3*/{г)(Н. (4.45)

О

Преобразование (4.45) переводит функцию-оригинал /(/) дей­ствительного переменного в функцию-изображение ^(з) ком­плексного переменного 5. Соответствие между оригиналами и изображениями обозначают по-разному, часто для этого ис­пользуют выражение

Применив преобразование Лапласа и его свойства, диффе­ренциальное уравнение (4.39) при нулевых начальных услови­ях можно представить в виде

(ая5п + ая_15п 1 + -|-ао)У(5) =

= (Ьтзгп + Ьт-1зт-1+ +Ьо)и{з), (4.47)

Где у(<) ==’ У ($), и(<) = II (з). Отношение У (а) к II (й) определяет передаточную функцию в изображениях:

= *т»та + + ■ - + *0 (4 48)

Апзп + ап_15п_1 + + а0

Сравнивая формулы (4.44) и (4.48), легко заметить, что пе­редаточную функцию (4.48) формально можно получить непо­средственно из уравнения (4.39), подставив в него 5 = <1/<И. Основанием для такой замены служит изоморфизм поля опе­раторов в пространстве действительных переменных и в про­странстве изображений по Лапласу.

Вычисляя для заданной функции и(£) изображение и (в) и используя передаточную функцию И^з), изображение выход­ной величины можно найти по соотношению

У(з) = ]У(зЩз). (4.49)

Для вычисления функции-оригинала по известному изо­бражению применяют теоремы Хевисайда или таблицы соот­ветствия оригиналов и изображений. Функция у(ї) описывает отклик (реакцию) звена или системы на входное воздействие «(<).

Если входная величина изменяется в соответствии с гар­моническим законом, то необходимость в обратном преобра­зовании изображения выходной величины отпадает. В этом случае в передаточную функцию подставляют 5 = У а;, У = = у/— Полученную в результате такой подстановки ком­плексную функцию ¥(3и) называют амплитудно-фазовой ча­стотной характеристикой (АФЧХ) системы или звена. Она определяет отношение амплитуд выходной аВЫх и входной аъх

Величин, а также смещение ір по фазе между этими величина­ми в зависимости от частоты и. Для вычисления используют формулу

УУЦи) = А(ы)е^И5 (4.50)

Где А(и) = авых(и>)/авх(и;) — относительная амплитуда.

Из формулы (4.50) следует, что А(и) = тосі ¥^и) — модуль и у>(и>) = — аргумент комплексной функ­ции Графики А(и) и <р(и) называют амплитудной и

Фазовой частотными характеристиками звена или системы. Эти характеристики обычно строят в логарифмических коор­динатах, измеряя 20^ А(и) = Ь(и) в децибелах, (р(и) в радиа­нах в секунду, и называют их логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой характе­ристикой (ЛФХ) соответственно. Частотные характеристики широко применяют при исследованиях и проектировании раз­нообразных систем, представленных структурными схемами, звенья которых могут быть соединены последовательно, па­раллельно и в виде контуров с обратными связями.

При последовательном соединении звеньев выходная вели­чина (сигнал) предыдущего звена служит входной величиной (сигналом) для последующего звена (рис. 4.2, а). Передаточ­ную функцию У(в) двух последовательно включенных звеньев можно получить с помощью передаточных функций этих зве­ньев

ИМ*) = У^/и^з) и 1У2(*) = У2(*)/ад> где Е/г(5) = Уі(5)- Из приведенных соотношений следует, что

У(а) = иадиэд-

Если последовательно соединено п звеньев, то

П

И^а) = Ц И'ї(а). (4.51)

1=1

Амплитудно-фазовая частотная характеристика ¥^и) цепи, составленной из п последовательно включенных звеньев, опре­деляется согласно формуле (4.51) путем перемножения АФЧХ отдельных звеньев, поэтому

П

АИ = ПАіМі (4.52)

1=1 п

У’Н = Л Ч>& (4-53)

І=1

Где А(и) и ц>(и) — амплитудная и фазовая частотные харак­теристики цепи последовательно включенных звеньев.

L{u) = ^Li{u), (4.54)

T=l

Где L{u) = 201gA(w), Li(u) = 201gA;(o>).

Логарифмическую фазовую характеристику цепи по-прежнему определяет формула (4.53), только в логарифмическом мас­штабе следует брать значения частоты и.

При параллельном соединении звеньев входные величины (сигналы) имеют одинаковые значения, а выходные величины (сигналы) суммируются. В случае двух звеньев (рис. 4.2, б):

Y(*) = Yi(e) + Y2(*); Y1(S) = W1(S)U(Sy,

Y2(s) = W2(s)U(s)] W(s) = щ = Wi(s) + W2(a).

Откуда следует, что передаточная функция п параллельно соединенных звеньев является суммой передаточных функций этих звеньев, т. е.

П

W(a) = ^(s)- (4-55)

1=1

Амплитудно-фазовую частотную характеристику парал­лельно соединенных звеньев можно вычислить по правилу сло­жения комплексных величин:

П п

W(ju) = £ + j Y, Qi(v), (4.56)

1=1 »'=1

Где Pi(u>) и jQi(u) — вещественная и мнимая части АФЧХ каждого звена.

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные ха­рактеристики параллельно соединенных звеньев вычисляют с учетом того, что А(и>) = mod W(ju), <р{и) = ^TgW(ju).

Замкнутый обратной связью контур состоит из прямой це­пи звеньев и цепи звеньев в обратной связи, которая чаще всего бывает отрицательной, но может быть и положительной. При­веденная на рис. 4.2,в структурная схема показывает, что

E(S)=U(s)^U0.c(s), (4.57)

Uo. c(s) = W0.c(s)Y(s), (4.58)

Y(s) = W(s)E(s). (4.59)

Используя соотношения (4.57)-(4.59), нетрудно получить пе­редаточную функцию контура с обратной связью

Фм. т____________ ш________________ (4 ев)

И(з) ~ 1 ± И'(»)И'„.с(5) • ( Щ

В передаточной функции (4.60) знак соответствует отри­цательной обратной связи, при положительной обратной связи следует принять знак

Соотношения (4.57)-(4.59) позволяют найти также пере­даточную функцию для вычисления ошибки, изображение ко­торой £(з):

= ОД = 1 + ^(а)^0.с(а)' (4'61)

Амплитудно-фазовую частотную характеристику конту­ра с обратной связью можно рассчитать по формуле (4.60) по­сле подстановки в нее в = Зи>. При этом используют правила вычислений комплексных величин и программы для расчетов систем управления.

Рассмотренные преобразования передаточных функций позволяют упростить приведение исходной структурной схе­мы к более удобному для расчета виду. С той же целью мо­гут быть выполнены преобразования участков структурных

Схем путем переноса узлов суммирования и разветвления сиг­налов, причем преобразования структурных схем не должны влиять на результаты расчета процессов в системе. Приме­ры таких эквивалентных преобразований участков структур­ных схем даны на рис. 4.3, в левой половине которого показаны первоначальные расположения узлов, в правой — после их пе­реноса.

Заметим, что структурные схемы, построенные по переда­точным функциям, которые были получены в изображениях по Лапласу, применимы только для расчетов и исследований ли­нейных систем. Если математическая модель системы содер­жит нелинейности, которые нельзя устранить описанными вы­ше методами, то при построении структурной схемы системы следует рассматривать передаточные функции в форме (4.44) и, соответственно, расчеты выполнять с учетом того, что ука­занные на схеме переменные являются функциями времени, а не их изображениями.

Ф)

*(*)

*к) Ф)

*(*)

Ф) *(*) УМ^ И(г).

ФК

УЩ

М(5)

М(ь)

"и

Рис. 4.3. Примеры эквивалентных преобразований участков структурных схем