ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ЭЛЕКТРОННЫЙ ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ПОПЕРЕК НЕОДНОРОДНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

А. В. ЗВОНКОВ, А. В. ТИМОФЕЕВ Введение

Для электронных циклотронных колебаний, т. е. электромагнитных колебаний с частотой <о, примерно равной электронной циклотронной ю,, характерно, что их свойства существенно зависят от угла 0 между маг­нитным полем Н0 и волновым вектором колебаний к. Если магнитное поле неоднородно, то возникает также зависимость от угла ^ между Н0 и УН0.

Электронные циклотронные колебания в неоднородном магнитном поле при рассматривались в [4]. Колебания, распространяющие­

Ся под произвольным (однако отличным от л/2) углом 0 к Н0, были про­анализированы в работах [2 3], причем в [2] предполагалось, что ф=0, и в [3], что

В настоящей работе рассматриваются колебания, распространяющиеся поперек магнитного поля (0*=л/2). Угол 0=л/2 особенно удобен для вве­дения ВЧ-мощности в тороидальные системы, а также для наблюдения спонтанного излучения из таких систем. Поэтому анализу случая 0=я/2 было посвящено большое число работ (см., например, [4~12]). При учете неоднородности магнитного поля, если такое производилось, угол ф при­нимался равным я/2, что соответствует геометрии магнитного поля торои­дальных систем. Отметим, что влияние неоднородности магнитного ПОЛЯ На резонансное взаимодействие циклотронных колебаний с электронами, как правило, учитывалось параметрически. А именно, колебания характе­ризовались коэффициентом поглощения, полученным для случая однород­ного магнитного поля, в котором величина поля считалась медленно ме­няющимся параметром.

Естественно, что вопрос об отражении колебаний от резонансной зоны, где ©«©.(г), выходит за рамки такого подхода. Этот вопрос для случая 0=г|)=я/2 был поставлен в работе [*], в которой найдено, что коэффици­ент отражения обыкновенных колебаний, падающих на резонансную об­ласть со стороны большего поля, равен нулю. Однако утверждалось, что обыкновенные колебания, распространяющиеся в противоположном на­правлении, частично отражаются, причем если выполнено условие Г>1, То отражение оказывается практически полным. Здесь Г=(я/4)д(1— —ДУ'*(Ь(д1с) (и./с)*, £=(й)р./й).У , юр* — плазменная электронная частота, Ь — характерный масштаб изменения магнитного поля, Ив*=(Тв/тв)'к. Из результата, полученного в [•], следует, в частности, что при нагреве плаз­мы в токамаке ВЧ-мощность нельзя вводить с внешней стороны тора.

Недостатком работы [в] является игнорирование релятивистской зави­симости циклотронной частоты от энергии электронов. Между тем при распространении поперек магнитного поля (0=я/2) именно эффекты, обусловленные такой зависимостью, и определяют структуру колебаний в
области резонансного взаимодействия. Нами показано, что влияние реля­тивизма приводит к значительному снижению коэффициента отражения. В результате при любых значениях Г коэффициент отражения оказыва­ется существенно меньше коэффициента поглощения.

В настоящей работе также определен коэффициент поглощения не­обыкновенных колебаний при прохождении через зону резонансного взаи­модействия. Из-за учета релятивизма он отличается от полученного в [9]. Что касается отражения необыкновенных колебаний, то оно, как и в слу­чае обыкновенных, оказывается несущественным.

1. Обыкновенные колебания

А. Адиабатическое волновое уравнение

Обыкновенные колебания, распространяющиеся поперек магнитного поля, описываются следующим волновым уравнением:

^-(i+*¥{х))17е‘+(т) (D

Здесь использована декартова система координат, ось ОХ которой направ­лена вдоль Vtf0, ось OZ — вдоль Н0; плазма предполагается однородной; 7(x)«=‘/tfv,(g(x)); G(x)={c/v. y(ь>-Ш.(х))/ш; ш#(х)=еЯ0(х)/т, с,

«-Y.

Те — масса покоя электрона; F,(g) = ^ (—g)p(s — P—2)l/(s—l)!+

Р —О

+*л(—g)e“W((—g)v,)/(s—1)!; W — интеграл вероятности от комплексного аргумента. В дальнейшем нас будут интересовать явления, происходящие в окрестности «резонансной» точки я,((о=(о.(:гв)). В этой области можно принять, что магнитное поле меняется по линейному закону Н0(х) = =Я0(1—X/L). Поскольку считается, что D(oJdxx~x,<0 и точка Х, явля­ется точкой ветвления функции V(x), последняя, в соответствии с прави­лом обхода Ландау, однозначно определена лишь в верхней полуплоско­сти комплексного переменного X.

В (1) учтены эффекты, обусловленные конечностью ларморовского ра­диуса электронов и зависимостью электронной циклотронной частоты от энергии. При выводе (1) использовались предположения (уе/с)2<1 и | (uj(d)d/dx <1, распределение электронов по скоростям предполагалось максвелловским с температурой Тв^твивг. В случае однородного поля уравнение (1) принимает хорошо известный вид:

-(т)'

Где Ггх определено в [4*5].

На достаточно больших расстояниях от резонансной точки Х„ в обла­сти, где выполняется условие I (О—й).(х) | >й) (уе/с)2, (1) можно заменить следующим приближенным уравнением:

Т~(1+49—^Тг(—)*)гЕ' + (—)г и-з)5’“0- (2>

Дх 2 со—со» (х) с / Iдх с /

В последнее уравнение не включены эффекты резонансного циклотронно­го взаимодействия, а неоднородность магнитного поля учитывается в нем

Параметрически. Подобные волновые уравнения принято называть адиаба -

Г

Р

Тнческими. Заменяя Ег(х) на ДлЕг(х) И смещая начало отсчета
иа х,—/д/2, приводим уравнение (2) к виду

+ <з,

Где 1=Ь(ив/с)г. Посредством замены х-»-2«:((о/с) (1—д)[59]'[60] уравнение (3) приводится к уравнению Уиттекера.

Для определения коэффициентов поглощения и отражения колебаний необходимо установить правила соответствия между асимптотиками реше­ний, заданными по разные стороны от начала координат (резонансной области). Такие правила наиболее просто найти, обходя начало координат на достаточно большом расстоянии в верхней полуплоскости комплекс­ного переменного Х. Используя свойства решений уравнения Уиттекера [[61]], находим, что колебания, падаюшие-^на резонансную область со сто­роны большего магнитного поля (х<0), проходят через нее без отраже­ния, а их коэффициент поглощения по мощности равен 1

TOC o "1-5" h z Т1=1-ехр(-2Г). (4)

Велнчпна Г была определена во Введении. Колебания, падающие со сторо­ны меньшего поля (д:>0), отражаются с коэффициентом

5—(1—ехр (—2Г)):. (5)

Коэффициент поглощения таких колебаний отличается от (4):

Л=ехр(-2Г)(1-ехр(-2Г)). (6)

Отметим, что коэффициент прохождения £=1—г]—^ не зависит от на­правления распространения колебаний

£=ехр (—2Г).. (7)

Выражения (4) —(6) были получены в [•], они имеют тот же вид, что и найденные ранее в [’], отличаясь от последних лишь значением пока­зателя экспоненты Г. Напомним, что в [*] рассматривались необыкновен­ные колебания при 0=-ф=О.

Б. Квазнклассическое приближение

Предположим, что параметр квазиклассичности х=(/ю/с) (1—д)' опре­деляемый как отношение характерного пространственного масштаба функ­ции V (х) — I к характерной длине волны колебаний —А:”"1, значительно превышает единицу. Здесь К-'(со/с) (1—д)7*. В этом случае пространствен­ная зависимость колебаний, описываемая (1), всюду имеет квазикласси - ческий вид, а коэффициент отражения должен быть экспоненциально мал по параметру* х. Этот результат находится в явном противоречии с полу­ченным в [•] (см. также предыдущий раздел), где на основании анализа адиабатического волнового уравнения, аналогичного (2), утверждалось, что при выполнении условия Г=ядх/4>1 колебания, распространяющиеся со стороны меньшего магнитного поля, практически полностью отра­жаются.

Однако адиабатическое волновое уравнение, строго говоря, справедливо лишь в том случае, если резонансное условие для всех электронов выпол­няется в одной точке. При распространении поперек магнитного поля к размытию резонансной зоны приводит релятивистская зависимость электронной циклотронной частоты от энергии, что не учитывалось в [9].

Отметим, что если колебания распространяются под острым углом к маг­нитному полю, то к размытию резонансной зоны приводит также и эффект Доплера. Анализируя этот случай, авторы работы [9], так же как и мы, пришли к выводу, что если размер резонансной зоны достаточно велик, то - коэффициент отражения должен быть экспоненциально мал.

Выясним, почему использование адиабатического волнового уравнения: привело к ошибке. Для этого вспомним, что в квазиклассическом прибли­жении возникновение отраженной волны выглядит как явление Стокса (изменение I асимптотического представления решения

| на линиях мнимой фазы — линиях Стокса)

(см., например, [|4]). В данном случае асимптотика решений уравнения (2) имеет вид

Ег(х) «я±|Г/я exp (±Ikx), (8)

А линия Стокса направлена вертикально вверх (пунктир на рис. 1). На этом рисун­ке заштрихована область, в которой непри­менимо упрощенное адиабатическое вол­новое уравнение (2).

Из (8) следует, что решение, описы­вающее волну, бегущую влево, на линии Стокса экспоненциально нарастает. К нему„ вообще говоря, может быть добавлено спа­дающее решение, соответствующее волне, бегущей направо, т. е. отраженной. Ампли­туда отраженной волны может быть опре­делена только с помощью точного волно­вого уравнения (1). Действительно, в адиа­батическом уравнении (2) учтен лишь, первый член асимптотического разложения функции Fi/X(G) по большому аргументу. Любой из следующих членов, будучи по­множен на экспоненциально растущую часть решения, превысит экспоненциально спадающую часть, которая соответствует отраженной волне. Поэтому не удивительно, что коэффи­циент отражения был определен с помощью (2) неправильно.

В то же время уравнение (2) пригодно для определения коэффициента прохождения колебаний £. В самом деле, при переходе с левой действи­тельной полуоси на правую argx уменьшается на л. Поэтому решение (8), описывающее волну, бегущую влево, увеличивает свою амплитуду при таком переходе на ехр(Г), и, следовательно, коэффициент прохождения £ совпадает с (7).

Совершенно аналогично доказывается, что коэффициент прохождения колебаний, бегущих в противоположную сторону, также равен (7). Отме­тим, что в этом случае решение адиабатического волнового уравнения (8) позволяет установить и отсутствие отраженной волны. Действительно, интересующее нас решение спадает в верхней полуплоскости, и, следова­тельно, при переходе через линию Стокса его асимптотика не меняется.

В. Метод последовательных приближений

Если коэффициенты поглощения и отражения малы, их можно найти аналитически, используя метод последовательных приближений. При вы­полнении условия Г<1 решение уравнения (1) всюду, в том числе и в ре­зонансной зоне, будет слабо отличаться от плоской волны £*0)(х)*= «ехр (—Ikx). (Мы рассматриваем более интересное решение, описываю-

Щее волну, падающую со стороны меньшего магнитного поля.) Поправка к решению, учитывающая влияние резонансного взаимодействия, имеет вид

I *

(*) = - — gj Ac'(exp(г*(*'-*))-

- TOC o "1-5" h z exp(-ik(x'—x)))~~r V(x')Exp(-ikx ). (9)

OX

Из (9) находим, что при единичной амплитуде прошедшей волны ампли­туды падающей и отраженной даются выражениями:

Л„..=1+у*д $Dx’V(X'), (Ю)

Оо

00

Лотр = -^-А:д| Dx' V(X')Exv(-2Ikx'). (11)

— оо

При вычислении интегралов в (10) —(11) выражение для V (х') удобно записать, используя интегральное представление Fyt(G(X')) (см. [5]):

О

V(x') = —L— j Dt(i+it)-v*exp(~ig(x')t),

— 00

Где при линейном изменении магнитного поля с координатой G(X') — = (C/Ve)2(X'—Xa)/L. В (10) поменяем порядок интегрирования. Интеграл

•

По Х' дает б(T). Тогда, полагая JЛ6(0/(0"*/(0)/2, получим: Лпая=

-оо

=1+Г. Аналогичным образом вычисляя интегралы в (11), получим

4отр=2Г(1-2;х)-т/«ехр (-2Ikx,).

Эти выражения дают коэффициент поглощения по мощности, совпадаю­щей с (6): Г~ |<4пад|2— |-4отр|*—1»2Г<1. Для коэффициента отражения имеем:

£«|4отр|2=4Г2(1+4х2)-7/*. (12)

При х<1 этот результат совпадает* с (5). Это вполне понятно, так как длинноволновые колебания «не чувствуют» тонкой структуры резонанс­ной зоны, где проявляется различие между точным волновым уравнением и адиабатическим. С другой стороны, коэффициент отражения коротко­волновых колебаний (х»1) значительно меньше, чем следует из (5). Это подтверждает вывод предыдущего раздела о непригодности адиабатиче­ского волнового уравнения для описания коротковолновых колебаний.

Для колебаний, падающих со стороны большего магнитного поля, ана­логичные вычисления дают т]«2Г, |=0.

Заметим, что коэффициент отражения коротковолновых колебании (х»1) можно найти при произвольных значениях Q, не накладывая усло­вия Г<1, которое использовалось выше. Отражение таких колебаний обус­ловлено главным образом наличием точки ветвления Х, у функции V(X), Причем поскольку особенность функции V(х) в точке Х, является довольно «слабой» (V’(z)x_*f«C,1+C,2(x—Х, У/г), то коэффициент отражения может быть определен по методу последовательных приближений. Вычисления дают в этом случае

1~я*2-у х“5(1+д/5),/». (13)

Нетрудно видеть, что при 1, х>1 выражения (12) и (13) совпадают.

Аналитически нам удалось рассмотреть колебания, для которых выпол­няется одно из двух условий: х>1 (коротковолновые) или Г<1. Расчеты, выполненные с помощью ЭВМ, позволили исследовать и область значений Г^1 при х<1. В этой области длина волны колебаний по порядку вели­чины равна размеру резонансной зоны и отражение обусловлено «плавной» неоднородностью функции У(х). При переходе к большим значениям

5.« Ю

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения по амплитуде % для обыкновенных ко­лебаний, падающих со стороны меньшего магнитного поля, от параметра квазиклас­сичности х. Пунктир — коэффициент отражения, рассчитанный по (12)

Рис. 3. Зависимость максимального коэффициента отражения £тах=£ (*т*х) (кри­вая 1) и коэффициента поглощения т) (х«.,) (кривая 2) от Д

Х (х>1) область отражения стягивается к точке которая является особой для функции V (х).

Нами решалась задача Коши для уравнения, полученного интегриро­ванием (1):

+ (-^-)г (1-*)*-0, (14)

*

Где Р — J <1хЕг(х). Для ^ ставились «начальные» условия, соответствую­щие волне, прошедшей через резонансную зону. Путем численного интег­рирования уравнения находилось решение перед резонансной зоной. Из него выделялись падающая и отраженная волны, и по их амплитудам определялись коэффициент прохождения колебаний 5 и коэффициент от­ражения |. Интегрирование проводилось по схеме Руйге — Кутта с авто­матическим выбором шага.

Как следует из предыдущего рассмотрения, коэффициент прохождения дается формулой (7) при произвольных значениях параметров д и х и вне зависимости от направления распространения колебаний. Этот результат удобно использовать для контроля точности вычислений. Нами найдено, что рассчитанные значения коэффициента прохождения согласуются с определенными по формуле (7) с точностью не хуже, чем 10“

Результаты расчетов иллюстрируют рис. 2, 3. На рис. 2 представлена типичная зависимость коэффициента отражения колебаний, падающих

Со стороны меньшего магнитного поля, Ъ(Ъ=Аог»/А п*я | от параметра

Квазиклассичности х при фиксированном значении д (д=0,5). При значе­ниях х<хта*(хтах~0,3) зависимость £ от х приближенно описывается формулой 6=2Г=ядх/2. При х>хтах коэффициент отражения падает с ростом х, как это и следует из предыдущего рассмотрения. Закон спада приближается с ростом х к определяемому (12), (13). Отметим, что хотя принятое нами значение д=0,5 не слишком мало, рассчитанная зависи­мость |(х) во всей области изменения х близка к определяемой из (12) (см. рис. 2). Напомним, что выражение (12) было получено в предполо­жении д<1.

Что касается колебаний, падающих на резонансную область со стороны большего поля, то для них в пределах точности вычислений коэффициент отражения оказывается равным нулю.

При изменении Д Положение максимума кривой £(х) меняется слабо, так что всегда Хтах^ОД Величина максимума растет с увеличением Д. На рис. 3 показана зависимость коэффициента отражения в максимуме 6тах= -6(х них) И Коэффициента ПОГЛОЩеНИЯ Т| (Хцщх) ОТ ВеЛИЧИНЫ д. При Х'^Хтах

Для приближенного определения ^ и т) можно использовать формулы (5),

(6) , откуда получаем 5«4Г[62], т]«2Г и, следовательно, 5<т]. При х>хтах коэффициент отражения падает, а коэффициент поглощения с хорошей точностью дается формулой т^=1—£—£«1—ехр (—2Г). Значит, максимум отношения £/т] достигается вблизи Хщ** и, как следует из рис. 3, он не превышает 7в.

Таким образом, коэффициент отражения колебаний, распространяю­щихся со стороны меньшего магнитного поля, значительно меньше коэф­фициента поглощения при произвольных значениях х. Что касается коле­баний, распространяющихся в противоположном направлении, то они проходят через резонансную область без отражения (см. выше). Учитывая соотношение 14=1—£ и (7), находим, что коэффициент поглощения в первом случае приближенно, а во втором точно дается формулой (4).

2. Необыкновенные колебания

Как известно, необыкновенные колебания, распространяющиеся попе­рек магнитного поля, при ©«со, взаимодействуют с электронами гораздо слабее обыкновенных. Параметр Г« (см. ниже), характеризующий интен­сивность резонансного взаимодействия, практически всегда оказывается значительно меньше единицы (Г«~(1>«/с)2Г). Выше мы видели, что при Г«1 влияние резонансного взаимодействия на распространение колебаний может быть учтено по методу последовательных приближений. В настоя­щем разделе мы также будем использовать этот метод. Он позволяет опре­делить коэффициенты поглощения и отражения колебаний с помощью упрощенного адиабатического волнового уравнения.

Волновый вектор необыкновенных колебаний, как известно, опреде­ляется дисперсионным уравнением

Кхг ** (е,*+е**в/е«).

Компоненты тензора е* при к-!_Н0 были определены в [[63]* [64]]. Возьмем их. асимптотические значения при | со—ю, | (и,/с)2. Заменим в дисперсионном

<1

Уравнении К на —*—. Полученный дифференциальный оператор следует

В соответствии с [[65]] применить к компоненте электрического поля колеба­ний, перпендикулярной основному магнитному полю и вращающейся в ионную сторону Е+=ЕХЛ-1ЕУ. В результате получаем следующее адиаба-

^г£* + (т)'(2-,,"+ш’,,£*-0' <*5>

Г., -4(I)' (, +(2-г)-,_Л_}.

2Q к © 2 с / ы)—(Oe(x) J

Уравнение (15) пригодно при не слишком низкой плотности плазмы, когда выполняется условие (Ue/c)z<.q. Оно отличается от использованного в [•] учетом эффектов, обусловленных релятивистской зависимостью электрон­ной циклотронной частоты от энергии.

Рассмотрим сначала колебания, падающие со стороны меньшего маг­нитного поля. Учитывая в (15) член, пропорциональный U(x), как малую поправку, при единичной амплитуде прошедшей волны для Лпад и Лотр

Получаем выражения (10), (11) с заменой У(х) на------------- U(x). При вы-

9.

Числении Лпад деформируем контур интегрирования в (10) таким образом, чтобы он имел вид полуокружности бесконечного радиуса, расположенной в верхней полуплоскости. При этом получаем Лаад—1+Ге*, что дает коэф­фициент поглощения по мощности, равный я«Л|ад —1«2Г«, где Тех= = (я/8д) (2—Q)’L‘(Ve/C)K(UL/C) (1+(2—Q)*). Чтобы найти Лотр, контур ин­тегрирования в (11) также удобно сместить в верхнюю полуплоскость, замкнув его полуокружностью бесконечного радиуса, лежащей в нижней полуплоскости. Это возможно в силу того, что экспонента ехр (—2Ikx) Спадает при 1тх<0. Вычисляя вычет в точке я*=0, получаем Л01р=2Г«е, и, следовательно, £«4Г«Л Отметим, что это выражение для £ справедливо лишь при x«=ss((щL/c) (ve/c)2(2—Т. е. для длинноволновых колеба­ний. В обратном предельном случае х.*>1 учет тонкой структуры резо­нансной области должен привести к спаданию по закону ~х«Г3 (ср. с (12), (13)).

Для колебаний, распространяющихся в противоположном направлении,, при произвольных значениях х,* получим я«2Г«, 5=0.

В заключение остановимся на условиях применимости результатов, полученных в настоящей работе. В ней считалось, что угол 0 между к и Н0 равен я/2. Однако полученные результаты справедливы и при 0^я/2, если выполнено условие я/2—0<у,/с. В том случае, когда отличен от я/2 угол Я между Н0 и УЯо, а колебания распространяются под некоторым углом ф к проекции V#o на плоскость, перпендикулярную Н0, в выраже­ниях для коэффициентов 5, Tj, З, найденных нами, следует L заменить на L/cos ф sin Последнее утверждение справедливо при cos i|)<Ј<i)z;,3/c4.

Авторы выражают благодарность Г. Н. Чулкову за полезные обсуж­дения.

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 12 февраля 1980 г.