ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ОБРАЗОВАНИЕ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ЭЦР НАГРЕВЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ВВОДОМ СВЧ МОЩНОСТИ

Приведены результаты экспериментального изучения популяции го­рячих ллехтронов. образующейся при ЛДР нагреве плазмы в установке

О ГР А-*. Разработана теоретическая модель, согласованным образом опи­сывающая динамику горячих электронов и распространение электромаг­нитных колебании по плазме. Результаты, получаемые на основе модели, согласуются с экспериментальными.

Введение

Практически любой эксперимент по ЭЦР нагреву плазмы сопровож­дается образованием горячих (энергия существенно больше средней энер­гии основной компоненты плазмы) электронов. В открытых ловушках такие электроны могут определять основное энергосодержание ([}) плазмы.

Несмотря на длительную историю экспериментального и теоретическо­го исследования ЭЦР нагрева плазмы, лишь в последнее время начал вы­ясняться механизм образования популяции горячих электронов. Предла­гаемые объяснения этого явления должны ответить на основной вопрос — каким образом поддерживается резонанс между циклотронным враще­нием, частота которого в процессе ускорения до релятивистских энергий меняется весьма существенно, и электромагнитными колебаниями с очень малой шириной спектральной линии, характерной для современных гене­раторов, например гиротронов. Естественно надеяться, что, решив эту проблему, мы одновременно поймем, какие факторы определяют энергию горячих электронов, их плотность, распределение в пространстве.

Уже первые эксперименты по ЭЦР нагреву плазмы в открытых ло­вушках [1—3] показали возможность получения плазмы с [}^0,5 за счет образования группы электронов с энергией свыше 1 МэВ. На этом этапе исследований основное внимание уделялось проблеме МГД устойчивости полученной плазмы. Интерес к механизму образования горячих электро­нов существенно повысился после возникновения идеи термобарьеров в амбнполярных ловушках и с началом поисков стабилизирующих элемен­тов для акснально-симметричных систем. Так, для успешного функциони­рования термобарьеров необходимо, чтобы горячие электроны перекры­вали все сечение ловушки. Между тем в ряде случаев, как, например, в известных экспериментах на Bumpy-torй [4], горячие электроны обра­зовывали довольно узкие кольпа.

При использовании горячих электронов в стабилизирующих элементах чрезмерный «перегрев» может привести к нежелательным последствиям. Действительно, скорость дрейфа в неоднородном магнитном поле растет с энергией электрона и, если ее величина существенно превышает харак­терную фазовую скорость желобковых колебаний, то взаимодействие горя­чих электронов с желобковыми колебаниями ослабляется [5]. В результа­те стабилизирующий элемент перестает выполнять свою функцию. Именно с такой неприятностью столкнулись в экспериментах на установке TARA [6].

В ходе многолетних исследований был выявлен ряд факторов, сущест­венно влияющих на процесс формирования популяции горячих электро­нов.

А. Амплитуда электромагнитных колебаний. Установлено (см., наари - мер, [7]), что взаимодействие отдельного электрона, удержизаемого в ло­вушке, с монохроматической электромагнитной волной принимает хаоти­ческий характер (при этом ансамбль электронов будет диффундировать по энергии с известным квазилинейным коэффициентом диффузии), если амплитуда электрического поля превышает некоторое критическое значе­ние Есг~ь*± , где е± —энергия циклотронного вращения электрона. При меньших амплитудах энергия электрона под действием волны испыты­вает регулярные колебания (движение электрона суперадиабатично и на­грева нет). Из приведенного условия следует, что в электромагнитном поле фиксированной амплитуды энергия электрона не может превысить максимального значения Втах~Е*''- Однако данное ограничение справедли­во лишь в идеальной ситуации, когда колебания, используемые для нагре­ва, действительно монохроматичны, заряженные частицы не сталкиваются друг с другом, плазма спокойна — в ней не возбуждены какие бы то ни было колебания. В реальных экспериментах ни одно из этих условий не выполняется, поэтому нагрев происходит и в области суперадиабатично - сти, а ограничения энергии не наблюдается [8].

При дальнейшем увеличении Е появляется второе критическое значе­ние амплитуды электромагнитной волны. При превышении этого значения коэффициент диффузии электронов по энергии снижается [9]. В этой области значений Е на процессе ЭЦР взаимодействия начинает сказывать­ся релятивистская зависимость циклотронной частоты от энергии электро­на. При ЭЦР в однородном магнитном поле влияние данного фактора при­водит к тому, что монотонный рост энергии сменяется осцилляциями око­ло некоторого среднего значения. Осцилляции той же самой природы огра­ничивают ускорение заряженных частиц в циклотроне. Возможно, что указанному эффекту обязано снижение эффективности нагрева с ростом Е, наблюдавшееся в экспериментах [8].

Б. Движение электронов поперек неоднородного магнитного поля_ В том случае, когда частота релятивистских осцилляций превышает ха­рактерную частоту изменения магнитного поля на траектории движения электрона в неоднородном магнитном поле, возникает новый адиабатиче­ский инвариант, заменяющий магнитный момент [9—11]. При этом мед­ленные изменения магнитного поля приводят к таким изменениям энергии электрона, что для среднего значения энергии выполняется условие цикло­тронного резонанса Ы=еВс1&, где & — полная энергия электрона с учетом энергии покоя. На этом явлении основан принцип действия синхротронов, где магнитное поле возрастает со временем. В теории ускорителей оно на­зывается автофазировкой. В теории плазмы чаще используется термин релятивистский авторезонанс. В адиабатических ловушках данное явление - может проявляться при циклотронном резонансе с электронами, удержи­ваемыми вблизи минимума магнитного поля на соответствующих силовых линиях. Если такие электроны смещаются в направлении поперек магнит­ного поля в сторону его увеличения, то их энергия будет возрастать в со­ответствии с условием релятивистского авторезонанса (см. выше) [9]. Поперечные смещения электронов могут вызываться НЧ шумовыми коле­баниями, постоянными спутниками экспериментов с горячей плазмой. Данный механизм может приводить к образованию колец или дисков го­рячих электронов, привязанных к медианной плоскости ловушки [4, 12].

В. Ограниченность поперечных размеров СВЧ луча. Этот фактор стано­

Вится существенным при выполнении двух условий: ввод СВЧ мощности осуществляется под достаточно большим углом к магнитному полю, и рас­сеянные СВЧ поля отсутствуют. Предположим, например, что СВЧ луч перпендикулярен силовым линиям магнитного поля и полностью погло­щается за одно прохождение через плазму. Если в пределах СВЧ луча магнитное поле меняется в пределах то в соответствии с усло­

Вием циклотронного резонанса максимальная энергия, которую может на­брать электрон, равна Етах—шсг(В21В1—[). Фактор ограниченности СВЧ луча сказался в экспериментах [13, 14], где средняя энергия горячих электронов соответствовала приведенному выражению для максимальной энергии. Однако в экспериментах [13] наблюдались н электроны с Е>8те». Их появление объяснялось влиянием кулоновских соударений II Отклонением СВЧ луча от перпендикуляра к силовым линиям магнитного поля. Последнее обстоятельство делает необходимым учет эффекта Допле­ра, видоизменяющего условие циклотронного резонанса с СВЧ колеба­ниями

Ы=П(йе+к\и\. (1)

Г. Влияние СВЧ фона. Рассеяние увеличивает объем, занятый СВЧ из­лучением, и тем самым способствует росту етех (см. выше). Если в преде­лах данного объема величина магнитного поля меняется более чем вдвое, то становится возможным одновременный резонанс на нескольких гармо­никах циклотронной частоты, тем самым создаются предпосылки для не­ограниченного разогрева электронов. Роль фона (рассеянного СВЧ излу* чения) продемонстрирована в эксперименте [8]. Заметим, что наличие большого уровня фона было характерно для большинства экспериментов, и только в последнее время проведены эксперименты в условиях малого фона [12—14].

Д. Эффект Доплера. При ЭЦР взаимодействии с колебаниями, у кото­рых Лтц=/с|,с/о)=0, меняется только поперечная энергия электрона. В ре­зультате в процессе ускорения траектория электрона стягивается в об­ласть меньших значений магнитного поля. По достижении энергии етях~У2ЕцоТпсг, где 8Ц0 — начальная энергия продольного движения, траекто­рия полностью оказывается в области, где (о«<(о, и резонансное взаимо­действие прекращается [15]. Ситуация кардинально меняется при N^1, Когда изменение продольной энергии в результате ЭЦР взаимодействия оказывается достаточно большим [16]. В случае Л^=1 ЭЦР взаимодейст­вие проходит в условиях так называемого доплеровского авторезонанса [17, 18] (не путать с релятивистским авторезонансом, см. выше). При доплеровском авторезонансе изменения ех и 8Ц согласованы таким образом, что положение резонансной точки, определяемой условием (1), не меняет­ся с ростом энергии. При этом размах колебаний электрона вдоль ловушки возрастает и ускорение прекращается, когда электрон переваливает через пробку. Нагрев происходит с квазилинейным коэффициентом диффузии по энергии и максимальная энергия, до которой может быть ускорен электрон, равна

Етах=2тс'-(Втах/В-), (2)

Где ВТ — резонансное магнитное поле. То же самое выражение для етв* остается справедливым и при Лгц> 1 [16].

Для электромагнитных колебаний с частотой со^о)«. условие ^Уц>1 вы­полняется при их распространении вдоль магнитного поля. Продольный ввод СВЧ мощности использовался в экспериментах на установке ОГРА-4. аналнзу которых посвящена данная работа. В настоящих экспериментах энергетический спектр электронов простирался от нескольких десятков эВ до нескольких сотен кэВ. При этом как совсем холодные, так и горя­чие электроны обнаруживались во всем объеме ловушки от пробки до пробки. Интересно, что холодные электроны не меняли своей энергии лаже в том случае, когда онн проходили через точку ЭЦР. Эти экспери­ментальные факты послужили основой при формулировке теоретической модели нагрева.

Распределение горячих электронов по всей ловушке, по нашему мне­нию. свидетельствует о том. что в соответствии с [16] на процесс ускоре­ния определяющее влияние оказывает эффект Доплера (см. выше). Из-за эффекта Доплера точка резонансного взаимодействия горячих электронов сдвигается относительно точки ЭЦР для холодных электронов. Возможна ситуация, при которой большая часть СВЧ энергии, подводимой к плазме, поглощается горячими электронами и не доходит до точки ЭЦР для холод­ных электронов. В этом случае холодные электроны «выключаются» из

Рис. 2. Зависимости резонансного значения циклотронной частоты а)е0г н циклотрон­ной частоты в точке остановки от энергии электрона для трех значений пока­зателя преломления: 7 — Лгц> 1; 2 - УУц = 1; ^-Агц<1. - максимальное значение

Циклотронной частоты в пробке

Резонансного взаимодействия. На данную возможность указывалось, на­пример, в [19]. Развивая эти идеи, мы в настоящей работе, теоретическая часть которой близка к [20], нашли согласованные распределения горя­чих электронов по энергии и пространственное распределение электромаг­нитного поля. Характерно, что в стационарном состоянии ни функция рас­пределения электронов, ни полное энергосодержание плазмы не зависят от вводимой СВЧ мощности. Объясняется это тем, что как нагрев элект­ронов, так и их потери из ловушки есть следствия одного и того же физи­ческого явления — СВЧ диффузии по энергин при ЭЦР нагреве.

В первом разделе приведем характеристики установки ОГРА-4 п основ­ные экспериментальные результаты, обосновывающие теоретическую мо­дель. Теоретический анализ приведен во втором разделе, обсуждение ре­зультатов экспериментов на основе теоретической модели проводится в третьем. В Заключении сформулированы основные выводы.

1. ЭЦР в установке ОГРА-4

Установка ОГРА-4 представляет собой сверхпроводящую магнитную систему типа бейсбол (одиночная открытая ловушка с минимумом маг­нитного поля) с пробочным отношением (продольным и поперечным) ~2 [21]. Величина поля была такой, что в ловушке осуществлялся ЭЦР для излучения гиротрона с длнной волны 8 мм. Мощность гиротрона до­стигала 200 кВт при длительности работы 50 мс.

При СВЧ пробое водорода при давлении (1—5) • 10_в мм рт. ст. образо­вывалась электронно-горячая плазма с (^10% [21—23]. Изучение этой плазмы показало наличие трех групп электронов: холодные, теплые и го­рячие. Будет обозначать их плотность П1’Ю, Л и среднюю энергию.

Холодные электроны возникают в результате ионизации нейтрального газа. Поскольку до точки ЭЦР доходит лишь малая часть СВЧ мощности, то холодные электроны весьма слабо взаимодействуют с электромагнитны­ми колебаниями. Более существенно на их поведение влияют амбпполяр - ный потенциал [21] и кулоновские соударения. Под действием соударе­ний холодные электроны выбрасываются из ловушки. В то же время их небольшая часть попадает в область фазового пространства, где влияние СВЧ диффузии преобладает над соударениями. Эти электроны вовлекают­ся в процесс ускорения, образуя высокоэнергичный «хвост» функции рас-

Чае. Поскольку в описываемом эксперименте холодные электроны прохо­дили через всю ловушку, то электромагнитное поле должно практически полностью поглощаться на горячих электронах, не доходя до точки ЭЦР холодных. Измерение большого коэффициента поглощения на горячих электронах, проведенное методом СВЧ просвечивания после выключения гиротрона, когда в ловушке удерживаются только горячие электроны, под­тверждает сделанное объяснение.

Измерения, проведенные с использованием болометров [24], показали, что большой коэффициент поглощения за один проход обеспечил малый уровень СВЧ фона в камере при работе гпротрона.

2. Теоретическая модель

Опыт показывает, что процесс ЭЦР нагрева плазмы определяется горя­чими электронами. Что касается популяций холодных и теплых электронов, то они играют роль резервуара, из которого черпаются электроны, вовле­каемые в процесс ускорения. Цель настоящего раздела — теоретическое описание динамики горячих электронов. Для того чтобы получить замкну­тую картину ЭЦР нагрева, необходимо также рассмотреть распростране­

Ние электромагнитных колебаний по плазме.

При ЭЦР взаимодействии с монохроматическими электромагнитными колебаниями остается постоянной величина

Г—|i(D=const, (3)

Где ^.=6^/(1)*, Const=e|[0 Определяется начальной (до ускорения) продоль­ной энергией теплых (холодных) электронов. Это соотношение позволяет проследить за смещением точки отражения (остановки) электрона от маг­нитной пробки Z« в процессе нагрева

Соео* — е|,о/ц+й)4-цй)2/2тс (4)

Здесь и в дальнейшем Ь),0(z) — электронная циклотронная частота, рассчи­танная по массе покоя электрона, индекс 5 отмечает значения величин в точке остановки электрона, индекс г—в точке резонанса (см. (1)). Точ­ка нерелятивистского ЭЦР, определяемая условием (i)=coe0, Обозначается через Zro.

Из соотношения (4) следует, что до тех пор пока энергия поперечного движения электрона мало по сравнению с Тс2, рост ц сопровождается «подтягиванием» точки остановки электрона Z, К точке Zr0. При этом раз­брос в положениях точек остановки, связанный с разбросом в значениях Е (!о, сокращается. Этот процесс ведет к образованию популяции «плещу­щихся» электронов, (см., например. [7]). Однако при превышении энер­гией критического значения ЕГГ точка остановки 2, начинает удаляться от точки ZRО (рис. 2).

Что касается положения резонансной точки Zr, То оно изменяется по - разному в зависимости от значения N< (см. рис. 2). Если Л^<1 (такие значения N{] Характерны для ввода СВЧ луча под большими углами к магнитному полю), то траектории двух резонансных точек Sr, Соответст­вующих разным знакам Vy, При некотором значении энергии пересекают­ся. Эта энергия является максимальной, до которой могут быть ускорены электроны. При W„<1 Для £тах имеется простое выражение [15, 16]

Emix—e. cr=V2e;|0Mc2. (5)

При N,|=1 Ускорение определяется явлением доплеровского авторезонан­са [17, 18]. В этом случае е..( и при взаимодействии с волной меняются таким образом, что резонансная точка не сдвигается. Что касается точки остановки Z„ То по мере нагрева она сначала смещается к центру ловуш­ки. Однако, достигнув резонансной точки «г. точка начинает сдвигать­ся по направлении к пробке. Нагрей прекращается, когда точка остановки достигнет максимума магнитного поля в пробке и частица покинет ловуш­ку. Соответствующее значение максимальной энергии, как следует из (4), дается выражением (2) [16]. Это выражение для Em*x Остается справедли­вым и при Лц>1. Отметим, что в последнем случае резонансная точка в процессе нагрева не остается неподвижной (см. рис. 2).

Показатель преломления правополяризованных колебаний, распростра­няющихся вдоль магнитного поля, дается выражением

N2=N{[z2zi--(щp'C2/(щ (о)ео—аз). (6)

Здесь о)Р/ — электронная' плазменная частота, рассчитанная по плотности холодны.'; электронов Пес. Из приведенных на рис. 2 двух кривых для случая А >1 реальное значение в эксперименте имеет лишь верхняя, так как в область пространства, где должен был бы осуществляться резонанс, соответствующий нижней кривой, электромагнитная волна практически не доходит (точка Zr Находится ближе к центру ловушки, чем Zro). В силу того, что в экспериментальных условиях NЧ является функцией координа­ты Z. найти явный вид зависимости а)е0г от е в общем случае не представ­ляется возможным. В то же время сравнительно простой оказывается об­ратная зависимость е от циклотронной частоты о)<.0г н показателя прелом­ления N/=N:zr) В точке ЭЦР:

Е±=тс~ I (ь^oVь))— 1 Dh --- ----- V (ь)e0R/(i))2+l—2(ь)e07ы)) (l+e„0//nc2)l.

L }NTl-1 J

(7)

Здесь двум знакам отвечают два участка кривой (ое0г на рис. 2 при е> >есг( + ) и е<есг( —). При этом на участке ( + ) с волной взаимодействуют электроны, догоняющие волну, а на участке ( —) движущиеся навстречу волне. На рис. 2 видно, что существует энергия е*, ниже которой резонанс­ное условие выполняется в двух точках, тогда как при е>е* остается толь­ко одна. Величина энергии е* зависит от плотности холодных электронов и может быть легко определена пз уравнений (6), (7).

Рассмотрим установление функции распределения горячих электронов при ЭЦР. Воспользуемся тем указанным выше обстоятельством, что при ЭЦР диффузия на плоскости е. ц осуществляется вдоль линий (3). Каждо­му значению начальной энергии 8Ц0 соответствует своя линия. Естествен­но считать, что как средняя величина еь0, так и разброс в значениях Elie Совпадают со средней энергией ев”с теплых (холодных) электронов. При рассмотрении энергетических интервалов, значительно превышающих ее" можно приближенно считать, что все электроны располагаются на одной линии. Это позволяет заменить двумерное уравнение Фоккера — Планка одномерным (см. рис. 1).

Будем считать, что амплитуда СВЧ поля в точке циклотронного резо­нанса ЕТ достаточно велика, так что эволюция функции распределения го­рячих электронов /(е) описывается квазилинейным уравнением диффузии

TOC o "1-5" h z Df Д Df

77-TD1T=4' (8)

Ot de de

Где D=e2C4/r2£г2Й){,/4^2|Ф''| — коэффициент диффузии (см. [7] ),

| ф " | =mc4P||(§r-21 Мм +<ыiV||'pii/Me—Ь)eo'N „цои/ер,, | Г, штрих обозначает производную по Z,

&’=е--пгс2, ыь=(с21Ь&’)Утцые0(0)

— Частота колебаний электрона вдоль магнитного поля при параболическом профиле магнитного поля с характерным масштабом Ь, рх, ц — поперечный и продольный импульсы электрона, величина Д характеризует источники частиц. В нашей модели величина Ц отлична от нуля и положительна в области низких энергий е~еЛс.

Справедливость квазилинейного уравнения (8) обсуждается в Прило­жении 1.

В стационарном режиме на участке, свободном от источников и стоков, имеем

ДЦд*= - кт, (9)

Где Л — поток частиц по оси энергии. Функция распределения горячих электронов может быть найдена прямым интегрированием соотношения (9). Однако коэффициент диффузии /) зависит от амплитуды волны в ре­зонансной точке, которую в силу (7) следует считать функцией энергии.

Определим зависимость Ег(гг{е)). Для того чтобы рассчитать затуха­ние волны на горячих электронах при распространении вдоль оси ловуш« ки, используем закон сохранения энергии в форме

С*5№= - Ие (Я*;)/2, 5=(сДГ/4л)£2. (10)

Здесь 5 — поток СВЧ энергии, / — ток, возбуждаемый волной в плазме. Рас­чет / по стандартной методике [7] приводит к следующему выражению для возмущения функции распределения горячих электронов [ под дейст­вием СВЧ колебаний:

^------- (——Г'{~т~ +сВ~1(^1-к»и<>/ы'>т-) •

((о—(*)<»—лц1?„) ' е Дг дц'

Как было указано выше, считаем, что для всех электронов постоянная в правой части (3) имеет одно значение е |]0 и поэтому для / в (11) справед­ливо выражение (см. Приложение 2)

/(е. ц, г)=/(е)б(ц - 8 (12)

' а) 7 яг;,,

Здесь б — дельта-функция. Используя (10)— (12), находим, с.,, - Е2Е, гр±шь2с‘ й}

ЙоНъ I V 2 4 1 У] (13)

Со | ^Уп— 11 <1г

Особенность в правой части (13) при Л^=1 обусловлена явлением до-

Плеровского авторезонанса (положение Ът не зависит от энергии и, следо­вательно, в этой точке должно сосредотачиваться все поглощение).

При е>е* мы имеем однозначную связь энергии е и 2 (7), что позволя­

Ет преобразовать (13) к виду

Й5/йе+= — Ш//с2е=/е. (14)

При е<е* резонанс происходит в двух точках (см. рис. 2) и выражение (14) принимает следующий вид (используется связь е+ и Г)

„и

Соотношения (14) —(15) соответствуют закону сохранения энергии. Уравнения (9), (14), (15) согласованным образом описывают стационар­ный режим нагрева горячих электронов и затуханпя электромагнитных ко­лебаний.

Из (14) можно оценить поток энергии, поглощаемый горячими элект­ронами 5,1=Уе(етвх—ев“с), где Сто* дается формулой (2). Эта велпчина не может превышать потока электромагнитной энергпп на выходе из СВЧ из­лучателя 5о. Предполагая, что холодным электронам передается малая доля А СВЧ мощности, получаем £*= (1—а)£„. На рпс. 3 показан пример расчета зависимости потока 5 от величины локального пробочного отно­шения 7?(г) =2?(г)/2?(0) для конкретных значений параметров п зависи­мостей. указанных в подппсп к рисунку н близких к нашнм эксперимен­тальным условиям. Сравнение рассчитанной функцпи распределения / с экспериментом приводится ниже.

В стационарном состоянип функция распределенпя горячих электронов оказывается независимой от амплитуды электромагнитного поля, падаю-

Рис. 3. Зависимость потока электромагнитной энергии S от локального пробочного отношения B(Z)/B(0). Стрелками отмечено положение ЭЦР для указанных энергий электронов. Значения параметров расчета: B(Z) =В(0) (1+ (Z/L)2), Nec(Z)—Ne0С(1,1— (Z/L)Z), В(0) = 1 Тл, Tieoc = 10'1 см-3, ецо=0,5 кэВ, а=0,01. Пробочное отношение ло­вушки В Max!В (0)=2

Рис. 4. Зависимости от координаты Z (без масштаба): 1 - магнитное поле (нормиро­вано на поле в пробке); 2 - плотность теплых электронов (нормирована на Птах= = 51012 см-3); 3, 4 - плотности горячих и холодных электронов (нормированы на Яшах); 5 - потенциал плазмы (нормирован на 1 кВ); 6 - мощность СВЧ (см. рис. 3). Стрелка - точка ЭЦР для холодных электронов

Рис. 5. Осциллограммы: А - линейная плотность Nl, Б — поток электронов на торец с энергией более 0,4 кэВ, В — мощность гиротрона

Рис. 6. Осциллограмма потока горячих электронов на торец: А — показания рентге­новского датчика, Б - мощность гиротрона

Щего на плазму. Можно рассчитать энергосодержание популяции горячих электронов (Ne)H, которое тоже не зависит от вводимой СВЧ мощности и дается выражением

TOC o "1-5" h z ЕТах е

(Ne)H= ™ С ” G, G= J Cfggj Didj/Dt, (16)

2л EzL

*110 e,10

Где чертой отмечены безразмерные величины е/гас2 и Fmcz, // — характер­ный размер изменения магнитного поля. Интеграл G По порядку величины близок к единице. Независимость стационарных значений функции рас­пределения и энергосодержания по Е отражает тот факт, что как ускоре­ние, так и потери горячих электронов определяются СВЧ диффузией.

Расчеты показывают, что G слабо зависит от плотности холодных элект­ронов Пес. Более существенна зависимость G от соотношения между часто­той колебаний а) и максимальной циклотронной частотой в пробке о)е,„ох (см. ниже).

3. Результаты экспериментов и их обсуждение

Многие экспериментальные результаты были использованы при по­строении теоретической модели и, естественно, согласуются с ней. Кратко суммируем их. Модель хорошо описывает следующие экспериментальные факты:

— Распределение горячих электронов вплоть до пробок;

— Поглощение основной части СВЧ мощности на горячих электронах и слабый нагрев холодных электронов;

— Образование трех групп электронов: холодные, теплые и горячие. Подробнее обсудим последнее заключение. Если причины появления и взаимодействия холодных и горячих электронов были обсуждены выше до­статочно подробно (см. рис. 1), то выделение специальной промежуточной группы требует пояснения.

Обратимся к фазовой плоскости переменных Р±0, рц0 (см. рис. 1). На ней тонкими линиями изображены траектории, по которым диффундируют электроны под действием СВЧ поля. В нерелятпвистской области они близ­ки к прямым, параллельным резонансному конусу (линия а), и пересе­кают конус потерь (линия Б) в области малых энергий. Если при всех зна­чениях энергии фазовая плотность электронов на линии Б обращается в нуль, то основным результатом СВЧ диффузии будет выброс электронов из ловушки. Для того чтобы возник поток электронов, направленный в сто­рону больших энергий, т. е. СВЧ диффузия приводила к нагреву, фазо­вая плотность электронов в области малых энергий должна поддерживать­ся немагнитным способом. На рис. 4 показаны продольные зависимости магнитного поля, потенциала, СВЧ мощности и плотностей трех групп электронов в эксперименте ОГРА-4. Видно, что холодные электроны, сла­бо взаимодействующие с СВЧ волной, удерживаются самосогласованным амбиполярным потенциалом и имеют максвелловскую функцию распреде­ления. Холодные электроны, «вытягиваемые» СВЧ полем, образуют на фазовой плоскости «струю», параллельную резонансному конусу (при не­релятивистских энергиях). В координатном пространстве ей соответствует популяция плещущихся электронов.

Кулоновские столкновения размывают «струю» в поперечном направ­лении. Электроны, попадающие внутрь резонансного конуса, образуют группу теплых. Основная часть теплых электронов непосредственно не взаимодействует с СВЧ полем, так как при своем движении вдоль ловуш­ки онп не доходят до точки ЭЦР (см. рис. 4). Энергетический баланс теп­лых электронов определяется нагревом на «струе» н охлаждением на хо­лодных электронах. Фазовый объем, занимаемый теплыми электронами, велик (см. рис. 1). Поэтому прп сравнимых фазовых плотностях электро* нов в областях 2 и 3 число теплых электронов в ловушке может сущест­венно превышать число холодных, что и имело место в эксперименте.

Кулоновское размытие «струп» происходит не только в резонансный конус, но и в другую сторону. Этот процесс приводит к попаданию элект­ронов на линии СВЧ диффузпп. пересекающие конус потерь, и, следова­тельно, к выбросу электронов из ловушки. Из рис. 1 видно, что энергия те­ряемых электронов может значительно превышать энергию холодных и быть значительно меньше энергии теплых. Вполне естественно, что поток из ловушки резко ослабевает в момент выключения гиротрона (рис. 5). После этого основной поток электронов из ловушки определяется кулонов - скпм распадом популяции теплых электронов.

Описанные качественные соображения объясняют ряд эксперимен­тально наблюдаемых фактов: резкий сброс потока теплых электронов прп выключении гпротрона прп отсутствии сброса их плотности (см. рис. 5); более нпзкая энергия теплых электропов в потоке из ловушкп по сравне­нию с измеряемой в центре плазмы методом томсоновского рассеяния; ха-

КЕ)

НЕ)

Рис. 7. Относительные изменения диамагнитного сигнала Б (сплошная линия) и циклотронного излучения (1 — регистрация в направлении, нормальном к магнит­ному полю; тип волны необыкновенный, длина волны 1,95 мм). Стрелка — момент

Выключения гиротрона

Рпс. 3. Энергетический спектр горячих электронов: расчет — сплошная линия (резо­нансное пробочное отношение 1.6, ецо=0,5 кэВ, а=0,01); эксперимент - линия с кружками (а — рентгеновский фотоэлектронный спектрометр, Б — рентгеновский ана­лизатор)

Рис. 9. Зависимость функции G/2 в формуле (16) от Втах1Вг (сплошная линия) и из­меренные величины диамагнитного сигнала (кружки) (отн. ед.). Штриховая линия -

(Втах/Вг—1)

Рис. 10. Расчет динамики изменения средней энергии (1) и плотности (2) горячих

Электронов

Рактерное время жизни теплых электронов близко к кулоновскому; сосре­доточенность теплых электронов внутри резонансной поверхности. Разу­меется, приведенные соображения станут доказательными лишь после под­тверждения численными расчетами, основанными на решении двумерного уравнениня Фоккера — Планка.

Модель предсказывает выброс горячих электронов вдоль осп ловушки через пробку, который существенно превышает классический столкновп-
тельный поток в конус потерь. Понятно, что при выключении гиротрона СВЧ выброс горячих электронов мгновенно прекращается (выключается СВЧ диффузия). На рис. 6 показана полученная рентгеновским датчиком, осциллограмма потока горячих электронов на торец, подтверждающая мо­дель. Сигнал диамагнитной катушки не имеет сброса в момент выключе­ния гиротрона (рис. 7), и плотность горячих электронов не изменяется в этот момент. Из рис. 6 видно, что включение гиротрона увеличивает торце­вой поток горячих электронов более чем в 20 раз.

Модель вполне удовлетворительно предсказывает энергетический спектр горячих электронов. На рис. 8 приведено сравнение расчета с экспериментом при использовании двух различных методик рентгеновских измерений в различных диапазонах энергии. Хорошо совпадает не только значение Етах, которое дается формулой (2), но и пологая форма спектра.

Рисунок 9 позволяет сравнить рассчитанную зависимость функции £ в формуле (16) от отношения Втах/Вг с экспериментально наблюдаемой за­висимостью диамагнитного сигнала. Видна правильная тенденция измене­ния, связанная, в частности, с уменьшением етах (2).

Оценим величину давления плазмы по формуле (16) в конкретных условиях эксперимента ОГРА-4. Используя значения £=25 см, а)=2,4- •1011 с"1, получим (пе)л—1017 см“3 эВ, что близко к экспериментально на­блюдаемым значениям (см. таблицу). Интересно, что формула (16), даю­щая предельно достижимое энергосодержание при ЭЦР нагреве, содержит лишь два экспериментальных параметра: характерный масштаб измене­ния магнитного поля и частоту. Из нее, в частности, следует, что с ростом величины магнитного поля возрастает предельное энергосодержание плаз­мы, но падает предельно достижимое значение р. Это объясняет, в частно­сти, тот факт, что большие во многпх экспериментах легко получались при малых магнитных полях. Рост предельного энергосодержания при уменьшении характерного размера изменения магнитного поля связан с уменьшением коэффициента диффузии /), см. (8), т. е. с уменьшением по­терь горячих электронов. Следует отметить, что характерный масштаб из­менения магнитного поля не совпадает с размером ловушки. Это обстоя­тельство позволяет менять длину ловушки без изменения предельной ве­личины энергосодержання.

На рис. 7 видна динамика нагрева горячих электронов. На нем пока­зано сравнение диамагнитного сигнала с сигналом циклотронного излуче­ния на высоких гармониках о)в. Известно, что интенсивность излучения пропорциональна (яе',) где v>l. Поэтому совпадение двух сигналов свиде­тельствует о преимущественном увеличении плотности горячих электро­нов. Эта тенденция следует из рассмотренной теоретической модели. Опре­деляя среднюю энергию горячих электронов из наклона логарифма функ­ции распределения и среднюю плотность горячих электронов из величины функции распределения при энергни е„,„/2, рассчитаем характер измене­ния этих величин (рис. 10). Из рисунка видно, что изменение плотности более медленное.

Можно оценнть время установления диамагнитного сигнала по порядку величины, воспользовавшись усредненным коэффициентом СВЧ диффу­зии (8):

Т~тО)Ета*/е£2Е||0. (17)

Видна наблюдаемая во всех экспериментах обратно пропорциональная за­висимость времени нарастания диамагннтного сигнала от мощности СВЧ. Используя параметры эксперимента на установке ОГРА-4 (£^1 кВ/см), оцениваем величину т в диапазоне 0.01—0,1 с. что находится в соответст­вии с экспериментом (см. рис. 6, 7).

Холодные и теплые электроны, появнвшпеся в результате ионизации газа, служат источником частиц в процессе ускорения до болыппх энер­гий. Из простых соотношений можпо оценнть. какая доля ионизационного потока частиц захватывается в процесс ускорения. Оказывается, что при

” «"ттподе при давлении 210~в мм рт. ст. в установке ОГРА-4

Захватывается меньше 1%. Такой малый источник холодных электронов, необходимый для поддержания процесса нагрева горячих электронов, су­ществует и после выключения гиротрона из-за ионизации на остаточном газе. Это объясняет, почему при повторном включении гпротрона через

0, 5 с после выключения подачи газа и первого импульса гпротрона наблю­дался нагрев (рост диамагнитного сигнала), а не быстрый распад плазмы из-за СВЧ диффузии.

Заключение

Проведенные теоретические и экспериментальные исследования пока­зывают, что образование горячих электронов при ЭЦР в неоднородном маг­нитном поле при продольном вводе СВЧ мощности может быть описано моделью, в которой учтены влияние эффекта Доплера на ЭЦР и изменение амплитуды электромагнитной волны из-за поглощения на горячих электро­нах. В модель вводятся два параметра: начальная энергия электронов е 0 И доля СВЧ мощности а, передаваемая холодным (теплым) электронам. Подбор на основе экспериментальных данных значений указанных пара­метров позволяет получить хорошее количественное соответствие теорети­ческих результатов с экспериментальными. Теоретический расчет е,0 и а возможен лишь в законченной теории ЭЦР нагрева, описывающей динами­ку всех трех групп электронов. Поскольку на поведение низкоэнергичных электронов (холодных и теплых) существенное воздействие оказывают ку - лоновские столкновения, такая теория требует решения двумерного урав­нения Фоккера — Планка.

Практически важными результатами настоящего исследования явля­ются определение максимальной энергии электронов и максимального энергосодержания плазмы в открытых ловушках, а также вывод о возмож­ности управления этими параметрами. Последнее особенно существенно при использовании ЭЦР нагрева в стабилизирующих элементах амбипо- лярных ловушек.

За обсуждения работы авторы благодарят А. В. Звонкова.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

О диффузионном уравнении. В отсутствие случайных воздействий диффузион­ное уравнение (8) непригодно для описания эволюции функции распределения элек­тронов в суперадиабатической области (см. Введение). В обсуждаемых эксперимен­тах граница этой области проходит при энергии порядка максимальной наблюдаемой (—100 кэВ). Однако справедливость диффузионного уравнения (8) восстанавливает­ся, если кулоновские столкновения или какие-то иные случайные воздействия «сби­вают» фазу ларморовского вращения электрона за время между двумя прохожде­ниями через резонансную зону. Оценки показывают, что в условиях обсуждаемых экспериментов интенсивность кулоновских столкновений близка к тому значению, которое достаточно для полной декорреляции фазы ларморовского вращения. Отме­тим, что частичное сохранение фазовой корреляции приводит не к прекращению диффузии, а лишь к уменьшению коэффициента диффузии [7]. В условиях обсуж­даемых экспериментов коэффициент диффузии если и снизился, то не слишком суще­ственно. Действительно, в них (см. разд. 1) наблюдалось полное поглощение право- иолярнзованных электромагнитных колебаний в заведомо суперадиабатическом ре­жиме - амплитуда колебаний была на четыре порядка меньше по сравнению с ис­пользованными для нагрева.

В приведенном в разд. 2 выражении для коэффициента диффузии баунс-частота является одним из сомножителей, а сам коэффициент диффузии входит в (8) под знак производной по энергии. В некоторых первоначальных работах (см., например. [25]) зависимость баунс-частоты от энергии не учитывалась и, соответственно сама пта величина выносилась из-под знака производной. Нетрудно показать [261, что последовательный учет такой зависимости приводит к диффузионному уравнению вида (8).

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

Функция распределения электронов в адиабатических ловушках. Состояние электрона в адиабатической ловушке удобно характеризовать поперечным и про­дольным адиабатическими инвариантами - ц, 7ц и соответствующими фазами - Ф^. Фн. (Дрейфовое движение поперек магнитного поля для интересующей нас пробле­мы несущественно.) Стационарная функция распределения не должна зависеть от фаз Ф_1_. Фп, поэтому число частиц в элементе фазового объема дается выражением

^дг=^(ц, /„М^/^Ф^Фн. (П.2.1)

Выразим в (П.2.1) величину /ц чср^з интегралы движения ц, є и перейдем от фазы Фн к координате г. Используя соотношение с? Фц/<іг=озь>ц, приводим (П2.1) к виду

СІУ—Л7(ц, е)^Ц^е^-и)б/.*11-|;,

Где N — полное число частиц, приходящееся на единичное поперечное сечение ло­вушки, функция /(ц, е) нормирована на единицу.