Механика гидро - и пневмоприводов

Устойчивость гидро — и пневмоприводов при малых отклонениях фазовых координат и во всем фазовом пространстве

Общие положения

Гидро - и пневмоприводы могут быть достаточно сложны­ми динамическими системами. Пригодность таких систем для практического использования, прежде всего, зависит от того, удовлетворяют ли они условиям устойчивости в смысле фунда­ментальных понятий, принятых в механике и теории управле­ния. Рассмотрим основные вопросы устойчивости, обратив­шись к математическим моделям (см. § 4.1) систем в перемен­ных состояния.

При реальном процессе В системе переменные XI у Х2, Яз, хп будут функциями времени, которые являются реше­ниями уравнения (4.1) при заданных начальных условиях и заданном изменении со временем вектора и. В пространстве, координатами которого служат переменные состояния, эти ре­шения определяют положение изображающей точки. С тече­нием времени изображающая точка перемещается по траек­тории, которую называют фазовой, а пространство, в число координат которого явно не входит время £ и компоненты век­тора и, называют фазовым пространством. Если переменные хч х2> 1 хп выбраны в виде отклонений от значений х^о,

£2.о > х3.о> 5 хп.0) полученных при равновесном состоянии си­

Стемы, то начало координат фазового пространства можно со­вместить с точкой, соответствующей их установившимся зна­чениям.

Способность системы, будучи отклоненной от равновес­ного состояния, возвращаться к нему с заданной точностью, характеризует систему как устойчивую. В тех случаях, ко­гда в фазовом пространстве существует только одна точка равновесия и система устойчива при любых изменениях пере­менных, она будет устойчива во всем фазовом пространстве. Таким свойством обладают только системы, процессы в ко­торых можно описать линейными дифференциальными урав­нениями без каких-либо ограничений на значения переменных состояния и вид возмущающих или управляющих воздействий. Однако для реальных систем данное условие не выполняется, так как их линейные математические модели получают толь­ко в результате аппроксимации нелинейных функций путем перехода к малым отклонениям переменных (см. § 4.2). Следо­вательно, по таким линеаризованным моделям устойчивость системы проверяется только при малых отклонениях фазовых координат. Определение практически допустимых отклонений переменных, при которых результаты исследования устойчи­вости системы по ее линеаризованной модели будут справед­ливы, требуют дополнительных расчетов или физических экс­периментов. Вследствие нелинейности характеристик отдель­ных элементов систем и нелинейности функций, описывающих взаимодействие элементов в системе, в фазовом пространстве может быть несколько особых точек. При этом в окрестно­сти одних точек система устойчива, а в окрестности других

— неустойчива. Вблизи последних точек фазовые траектории могут быть замкнутыми кривыми, указывающими на суще­ствование в системе предельных циклов (автоколебаний).

Наиболее общую постановку задачи устойчивости систем предложил в 1892 г. А. М. Ляпунов, выделив невозмущенное и возмущенное состояния системы, которую описывают диффе­ренциальными уравнениями

У2, • ,Уп,0> к = 1,2, . ,п. (6.1)

Где у к — координаты, определяющие состояние системы;

У2> , Уп, *) — нелинейные функции.

При известных для невозмущенного состояния системы функциях времени

У10 = Ую(0> У20 = У2о(0. УпО = Упо(<) можно ввести новые переменные

Хк = Ук - Ук о(0-

В новых переменных уравнения (6.1) принимают вид

= хк(х1, х2) ,£»»>*)> (6-2)

Где

, *п, <) = ^(УЬ »2, , Уп, 0-

-У*(У10> У2 О, , Уп0><)-

Дифференциальные уравнения (6.2) описывают возмущен­ное состояние системы. Отклонения Хк(Ц) координат в на­чальный момент времени являются возмущениями.

Каждое возмущенное состояние системы определяет свое решение уравнения (6.2). Невозмущенному состоянию соот­ветствует решение

Х1 = х2 = = Хп = 0.

При равновесии (установившемся движении) стационар­ной (параметры не зависят от времени) системы

^ь(ую, 2/2 0) УУп о) = 0.

Невозмущенное состояние системы устойчиво, если для любого положительного сколь угодно малого числа е можно выбрать такое положительное число //(б), при котором для всех возмущений я*(<о)> удовлетворяющих условию

Хк(*о) ^ *?(е)> будут выполняться неравенства

Если

То имеет место асимптотическая устойчивость.

При условии, что правые части уравнения (6.2) могут быть линеаризованы разложением в ряд Тейлора (см. § 4.2), эти уравнения заменяют уравнениями первого приближения

= ак 1Х1 + ак 2Х2 + + Чпхп,

Где а^2? ->акп — коэффициенты, получаемые при ли­неаризации фуНКЦИЙ Х*.(Х1, Х2> > хп, О*

В соответствии с теоремами, сформулированными и дока­занными Ляпуновым, невозмущенное состояние системы асим­птотически устойчиво, если вещественные части всех корней характеристического уравнения, полученного для уравнений

(6.3) первого приближения, отрицательны. Если среди корней будет хотя бы один с положительной вещественной частью, то система неустойчива, а при нулевом корне об устойчиво­сти системы нельзя судить по уравнению первого приближе­ния. Важно отметить, что указанные условия не зависят от того, какие члены высших порядков были отсечены при ли­неаризации функций в правых частях уравнения (6.2). Когда эти функции нельзя линеаризовать разложением в ряд Тейло­ра (методом малых отклонений), для проверки устойчивости применяют метод, который, наряду с другими методами ис­следования нелинейных систем, изложен в теории управления (второй метод Ляпунова).

Условие асимптотической устойчивости следует также непосредственно из решения линейного дифференциального уравнения, которое можно найти, сложив частное решение не­однородного уравнения и общее решение однородного уравне­ния (с правой частью, равной нулю). Первое решение опреде­ляет вынужденную составляющую рассматриваемого процес­са (невозмущенное состояние системы), второе — описывает переходную составляющую процесса (возмущенное состояние системы). Эту составляющую находят в виде суммы

Где Сь — постоянные величины, А*. — корни характеристиче­ского уравнения. В случае только отрицательных веществен­ных частей А*, при / —► оо переходная составляющая стремится к нулю и система приближается к невозмущенному состоянию. Такая связь между устойчивостью технических систем и зна­чениями корней характеристических уравнений была замечена даже несколько раньше появления общей теории Ляпунова. В 1875 г. Э. Раус предложил алгебраический критерий, позволя­ющий без решения характеристического уравнения проверить, все ли корни имеют отрицательные вещественные части, т. е. расположены на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Затем в 1895 г. А. Гурвиц разработал критерий, получивший широкое применение в приложениях. Согласно этому крите­рию, для устойчивости системы необходимо и достаточно, что­бы все коэффициенты характеристического уравнения и опре­делители Дп, Дп_1, , Д1 были положительными. Опреде­

Лители составляются из коэффициентов характеристического уравнения

ЯпАп + ап—хА71 * + ... аА + ао = О,

(6.4)

Начиная с определителя

	О
(6.5)

0 0 0 0 а0

Все последующие определители Дп_1, Дп-2) являют­ся минорами элементов определителя Дп, которые получают вычеркиванием столбцов и строк, начиная с правого столбца и нижней строки.

Таким образом, критерий Гурвица можно записать в виде следующих неравенств:

Ао >0, а > 0, ап > 0;

Д1 >0; Д2 > 0; Дп > 0.

Для характеристического уравнения п-й степени Дп = = аоДп-ь а так как в соответствии с (6.6) ао должно быть положительной величиной определители вычисляют, начиная
с определителя Дп_1. При п = 3 система устойчива, если все коэффициенты больше нуля и определитель Д2 > 0, поэтому условие устойчивости сводится к неравенству

А(12 > аоаз - (6-7)

Условие (6.7) показывает, что система, математическая модель которой представлена линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, будет устойчива, если все ко­эффициенты уравнения имеют одинаковые знаки (положитель­ные) и произведение коэффициентов при средних членах боль­ше произведения коэффициентов при крайних членах.

Устойчивость следящего гидропривода с дроссельным регулированием

Применим критерий для анализа устойчивости следяще­го гидромеханического с дроссельным регулированием, струк­турная схема которого дана на рис. 5.7, б. Передаточную функ­цию замкнутого контура привода с помощью формулы (4.60) представим в виде

Ф,1 ГштМ и'сМк. к

* />.хМ 1 + «,,(1)' ' 1

Из передаточной функции (6.8) следует, что

[1 + К0.с1Гс. ч(з)] Ушт(з) = №с. ч(з)Кхк?1вх(з). (6.9)

Однородному дифференциальному уравнению соответ­ствует левая часть уравнения (6.9), поэтому характеристиче­ское уравнение можно найти, приравняв нулю знаменатель пе­редаточной функции (6.8)

1 + ХоЖ. ч(*) = 0. (6.10)

Передаточную функцию И/С. ч(^) определим, используя структурную схему на рис. 5.3, а и формулу (4.60)

И/с’ч(5) = Тгз(Ту + 2(иТцз + 1) + Кн' (6-П)

После подстановки И^.ч^) из формулы (6.11) в уравнение (6.10) получим

ТгТцЗ^ + 2£цТ’гТ'цЗ^ + Тгз + Ки + К0Л = 0. (6.12)

Уравнение (6.12) является характеристическим уравнени­ем исследуемого следящего гидромеханического привода. Все коэффициенты уравнения положительные числа, поэтому, со­гласно (6.7), привод устойчив, если

2СцТг > (*н “Ь К0.с)Тп. (6.13)

У большинства реальных гидроприводов значение Кк ма­ло по сравнению с K0tC. Пренебрегая Кк и применяя формулы (5.26-5.30), условие устойчивости (6.13) представим в параме­трах привода:

(krр + > mDT. (6.14)

В это неравенство входит важная для оценки динамиче­ских свойств гидропривода величина, называемая добротно - стью гидропривода

D, = (6.15)

Которая характеризует его быстродействие.

Из неравенства (6.14) следует, что устойчивость гидро­привода в значительной мере зависит от значений коэффициен­тов А;тр и Kqp. Если в нагрузке на выходное звено отсутствует трение (А;тр = 0), то гидропривод может быть устойчив только при Kqp >0. В то же время формула (5.20) показывает, что с приближением к равновесному состоянию (х3 —► 0) значение Kqp —> 0, если в золотнике нет утечек и перетечек жидкости по зазорам (идеальный золотник). Кроме того, условие (6.14) ограничивает значение добротности DT гидропривода и тем самым ограничивает его быстродействие.

Аналогичный анализ устойчивости не трудно выполнить как в случае следящего пневмомеханического привода, так и для гидропривода с объемным регулированием. Для это­го можно использовать структурные схемы, показанные на рис. 5.3, б и рис. 5.5. Если математическая модель электроги - дравлического или электропневматического усилителя имеет вид, близкий к модели ЭГУ с механической обратной связью, структурная схема которого дана на рис. 5.10, то анализ устой­чивости ЭГУ также не будет сложнее рассмотренного.

Частотные методы проверки устойчивости управляемых систем

При наличии в структурной схеме нескольких динамиче­ских звеньев возрастает степень характеристического уравне­ния, что может усложнить получение обозримых данных о влиянии вида и параметров звеньев на устойчивость систе­мы с помощью критерия Гурвица. В таких случаях целесо­образнее применить частотный критерий, который предложил в 1932 г. Г,»Найквист. Физический смысл критерия состоит в следующем. Когда линейная система с отрицательной обрат­ной связью находится на границе устойчивости, в ней чаще всего возникают колебания, которые будут незатухающими, пока гармонический сигнал 1 (рис. 6.1) после узла суммирова­ния равен по амплитуде сигналу перед узлом суммирования и смещен от него по фазе на -180° Это смещение по фазе обу­словлено тем, что обратная связь является отрицательной (в узле знак “минус”). Отставание по фазе сигнала 2 от сигнала 1 могут создать звенья, динамические свойства которых описы­вает передаточная функция И^з). Таким образом, замкнутая отрицательной обратной связью система будет находиться на границе устойчивости, если при прохождении гармонического сигнала по ее разомкнутому контуру (место размыкания кон­тура показано на рис. 6.1 двумя штриховыми линиями перед узлом суммирования) смещение по фазе составит —180° при отношении амплитуд а^/ах — 1.

Для устойчивости системы (колебания затухают) при сме­щении по фазе —180° отношение амплитуд а2/ а должно быть меньше единицы.

Математической основой критерия Найквиста служит из­вестный из теории функций комплексного переменного прин­цип аргумента, согласно которому у многочлена

D(s) = ansn + on_isn_1 + +ois + a0

Все нули будут расположены на комплексной плоскости слева от мнимой оси, если приращения аргумента функции, полу­ченной после подстановки s = ju в многочлен, составит

Д aigD(ju) = 7Г ^ (6.16)

При изменении и от 0 до +00.

Как уже было сказано ранее, для устойчивости системы необходимо, чтобы вещественные части корней ее характе­ристического уравнения были отрицательными числами, т. е. корни располагались на комплексной плоскости слева от мни­мой оси. Характеристическое уравнение можно найти, при­равняв нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы. Для замкнутой системы, показанной на рис. 6.1, пе­редаточная функция имеет вид

W(s)

*« = Y

+ W(s)

Знаменатель Ф(з) содержит передаточную функцию разо­мкнутой системы

П*) ад

( > E(s) Dt(S) ’

Поэтому

1 + ИЧ») = 1 + (617)

В соотношении (6.17) числитель Dp(s) + Mp(s) и знаме­натель Dp(s) являются левыми частями характеристических уравнений замкнутой системы и ее разомкнутого контура со­ответственно. У реальных систем степень полинома Mp(s) равна или меньше степени полинома J9p(«s), которую примем равной 71, поэтому степень полинома Dp(s)+Mp(s) также будет равна 71.

В этом случае замкнутая система с неустойчивым разо­мкнутым контуром будет устойчива, если приращение аргу­мента функции 1 + W(ju) при изменении и от 0 до +оо соста­вит

Д arg[l + W(ju)] = ^[п — (п — к) + к] = 7гА:, (6.18)

Где к — число корней характеристического уравнения разо­мкнутого контура системы, расположенных на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

При устойчивом разомкнутом контуре системы к = 0, и формула (6.18) принимает вид

Д arg[l + W(ju) — 0. (6.19)

На комплексной плоскости 1 + W(ju) можно представить вектором, начало которого лежит в точке с координатами (-1; j0), а конец обегает АФЧХ W(ju) разомкнутого конту­ра системы (рис. 6.2). В соответствии с этим рисунком и условием (6.19) критерий Найквиста формулируется следую­щим образом: замкнутая система устойчива, если АФЧХ ее устойчивого разомкнутого контура при изменении и от О до +оо не охватывает точку с координатами ( — 1; j0).

Впоследствии на основе условия (6.18) формулировка кри­терия была расширена и дана в виде: замкнутая система

Устойчива, если АФЧХ ее неустойчивого разомкнутого конту­ра при изменении и от 0 до +оо проходит на комплексной плос­кости так, что приращение аргумента функции l + W(ju>) рав­но 7Г&, где к — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Характеристическое уравнение разомкнутого контура си­стемы с интегрирующим звеном имеет один нулевой корень. Такие разомкнутые контуры называют нейтрально устойчи­выми. Доказано, что для проверки замкнутых систем с ней­трально устойчивыми разомкнутыми контурами также можно применить частотный критерий Найквиста.

Условия, которым должны удовлетворять АФЧХ разо­мкнутых контуров систем, чтобы замкнутые системы были устойчивы, достаточно просто перенести на логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики. Для при­мера обратимся к следящему гидромеханическому приводу с дроссельным регулированием, анализ устойчивости которого был выполнен с помощью критерия Гурвица.

Передаточная функция разомкнутого контура системы в данном случае (см. рис. 5.7, б) имеет вид

№{з) = КМз)=-щ?^-—у (МО)

Из передаточной функции (6.20) следует, что разомкну­тый контур состоит из последовательно включенных трех ти­повых звеньев: пропорционального с коэффициентом усиления, равным К0'С, интегрирующего с постоянной времени Тг и коле­бательного (при (ц < 1) с постоянной времени Тц (рис. 6.3, а). Характеристическое уравнение разомкнутого контура системы определяет знаменатель передаточной функции (6.20), прирав­няв который нулю, нетрудно найти корни: один нулевой и два комплексных с отрицательной вещественной частью. Следова­тельно, разомкнутая система является нейтрально устойчивой.

А

Рис. 6.3. Разомкнутый контур (а), его АФЧХ (б), ЛАХ и ЛФХ (в) при проверке устойчивости следящего привода с помощью критерия Найквиста

Подставив в формулу (6.20) 5 = получим АФЧХ разомкну­того контура системы. Эта характеристика, построенная при К0,с = 1) дана на рис. 6.3, б. Согласно критерию Найквиста, замкнутая система устойчива, так как точка (—1; ^0) не охва­чена АФЧХ разомкнутого контура.

С увеличением коэффициента усиления К0,с АФЧХ будет приближаться к точке (—1; ^’0) и при каком-то его значении пройдет через эту точку, а при дальнейшем увеличении К0,с будет ее охватывать. Замкнутая система станет неустойчи­вой. Возникновение неустойчивости гидромеханического при­вода при увеличении К0'С соответствует неравенству (6.13), полученному с помощью критерия Гурвица, что вполне законо­мерно, так как исследование устойчивости выполнено по оди­наковым математическим моделям привода.

Построим теперь ЛАХ и ЛФХ разомкнутого контура ис­следуемой системы, принимая К0,с = 1, Тг > Тп и 0 < Сц < 1-

Поскольку составляющие систему звенья соединены последо­вательно, просуммируем при одинаковых частотах ордина­ты ЛАХ и ЛФХ интегрирующего (см. рис. 4.4, в, г) и колеба­тельного (см. рис. 4.9, в, г) звеньев. В результате получим характеристики, изображенные на рис. 6.3, в. Точкам 1 и 2 АФЧХ ¥{1и) на рис. 6.3, б соответствуют точки на ЛАХ и ЛФХ (рис. 6.3, в), для которых частоты равны и и2. Срав­нивая эти характеристики нетрудно заметить, что на тех и других можно указать величины, от значения которых зави­сит, будет ли устойчива замкнутая система. Такими величи­нами являются А*, </?зап и £зап, причем £зап = 20^(1/А7Г). Величину <^зап называют запасом по фазе, а величину £зап — запасом по амплитуде. Когда АФЧХ проходит через точку ( —1; ^0), значения </?зап и Хзап обращаются в нуль.

Многочисленные расчеты разнообразных линейных си­стем показали, что при излишне больших запасах по амплиту­де и по фазе системы имеют малое быстродействие, вследствие чего увеличивается продолжительность переходных процессов. При очень малых </?зап и Хзап возрастает колебательность пе­реходных процессов.

Наиболее приемлемые по продолжительности, колеба­тельности и максимальным отклонениям переменных переход­ные процессы обеспечивают запасы по фазе </?зап = 30 ... 40° и запасы по амплитуде Хзап = 6 ... 8 дБ.

Значения запасов по фазе и амплитуде можно изменить в определенных пределах увеличением или уменьшением коэф­фициента усиления разомкнутого контура системы (в рассмо­тренном следящем приводе — коэффициентом К о. с)• При уве­личении К0'С логарифмическая амплитудная характеристика разомкнутого контура следящего привода смещается вверх на 20 ^ К0.с (что равносильно перемещению на такую же величи­ну оси частот вниз). Логарифмическая фазовая характеристи­ка не изменяется. Вследствие такого смещения частота сре­за о;Ср, при которой ЛАХ пересекает ось частот, смещается вправо, что вызывает уменьшение Хзап и </?зап - Уменьшение К0'С позволяет увеличить Хзап и </?зап- Логарифмическая ам­плитудная характеристика показывает также, что на устойчи­вость системы существенно влияет коэффициент относитель­ного демпфирования, при уменьшении которого уменьшается ^зап-

Если изменить соотношение между постоянными времени так, что значение Тг станет меньше Тц, то частоты и и>2 поменяются местами и замкнутая система будет неустойчи­вой. Отмеченное влияние всех параметров следящего гидро­механического привода с дроссельным регулированием можно проследить и по неравенству (6.13).

Амплитудно-фазовые частотные характеристики разом­кнутых контуров систем с более сложными структурными схе­мами могут иметь несколько точек пересечения с отрицатель­ной частью действительной оси (рис. 6.4, а). Устойчивость таких систем проверяют по ЛАХ и АФХ (рис. 6.4, 6) разо­мкнутых контуров, руководствуясь следующим правилом. За - мкнутая система устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов фазовой характеристики разо­мкнутого контура через прямую “—к” равна к/2 в диапазоне частот, при которых Ь[и) > 0. Здесь положительный пе­реход означает пересечение фазовой характеристикой линии (—7г) снизу вверх, а отрицательный — сверху вниз. При не­устойчивом разомкнутом контуре системы, для которого к = 1, чтобы выполнялось условие устойчивости замкнутой системы, фазовая характеристика сначала должна находиться между значениями —7Г и —37Г/2, а затем иметь один положительный переход при Ь(и) > 0. Тогда разность числа переходов будет равна 1/2.

Чтобы исследовать устойчивость системы с несколькими замкнутыми контурами (см. рис. 5.12), в первую очередь про­веряют устойчивость внутренних контуров, начиная с того контура, который состоит из прямой цепи и обратной связи (см. рис. 5.12, контур 3). Если этот контур устойчив, то его за­меняют одним звеном, для которого с помощью формулы (4.60) после подстановки 5 = ]и вычисляют ЛАХ и ЛФХ. С таким звеном проверяют устойчивость следующего внутреннего кон­тура (см. рис. 5.12, контур 2), а затем, как и в предыдущем расчете, находят для него логарифмические частотные харак­теристики. Затем проверяют устойчивость основного конту­ра (см. рис. 5.12, контур 1), в котором внутренние контуры сведены к одному звену. Если будет обнаружена неустойчи­вость хотя бы одного внутреннего или основного контура, то

Ее необходимо устранить либо изменением его параметров, ли­бо включением корректирующих звеньев.

При корректировании системы следует учитывать, что устойчивость системы с неустойчивым разомкнутым контуром обеспечивается, если выполнено условие приведенного выше в расширенной формулировке критерия Найквиста. Способы корректирования следящих гидро - и пневмоприводов рассмо­трены далее в § 6.4.