Механика гидро - и пневмоприводов

Нелинейная математическая модель силовой части гидропривода с дроссельным регулированием

С помощью структурного представления математических моделей систем можно решать различные задачи динамики гидро - и пневмоприводов. Однако практически невозможно, да и вряд ли необходимо, пытаться рассмотреть даже основные задачи в приложении ко всем видам гидро - и пневмоприводов. Целесообразнее на примерах наиболее распространенных кон­струкций приводов освоить достаточно общую методику мате­матического моделирования и построения структурных схем такого класса управляемых систем, которые объединяет нали­чие в качестве рабочей среды жидкости или газа. При таком подходе к математическому моделированию приводов выделим в любом приводе силовую и управляющие части. К силовой части отнесем исполнительный гидро - или пневмодвигатель с регулирующим движение его выходного звена устройством. Воздействующие на это устройство аппараты, а также фор­мирующие сигналы управления датчики и приборы отнесем к управляющей части. Сначала рассмотрим гидроприводы, ра­бочей средой для которых служат малосжимаемые жидкости, а затем пневмоприводы, что позволяет показать, как влияет увеличение сжимаемости рабочей среды (воздуха или другого газа) на динамику приводов.

Для математического моделирования воспользуемся рас­четной схемой, изображенной на рис. 5.1. На схеме гидроци­линдр 1 с проходным штоком имеет внешнюю опору жестко­стью соп - Нагрузка на выходное звено (шток гидроцилиндра) принята инерционной, позиционной и в виде трения. Первую из перечисленных нагрузок создает перемещаемое выходным звеном тело массой га, вторая — условно представлена пружи­ной 2 с нулевым натяжением при среднем положении поршня гидроцилиндра. Нагрузку от действия вязкого трения имити­рует гидравлический демпфер 3, а от сухого трения — гра­ница 4 плоскости, по которой без смазки перемещается тело массой га.

Жесткость связи тела массой га со штоком гидроцилин­дра обозначена ссв. Положительным выбрано перемещение х3 золотника, соответствующее положительному перемеще­нию штока гидроцилиндра (на схеме — вправо).

Математическое описание динамических процессов в та­ком исполнительном гидродвигателе начнем с уравнения дви­жения тела массой га:

(5.1)

Где Рхр — сила, вызванная действием вязкого и сухого трения; в общем случае является нелинейной функцией скорости ит = = т. е.

Рт р = - Ртр('ит)• (5-2)

Уравнение движения выходного звена (штока гидроцилиндра) запишем в виде

Тп ^2 “ &1Р1 — *?2Р2 ~ ссв(Ушт — Ут) — ^тр. ц> (5*3)

Где тп — суммарная масса поршня и штока гидроцилиндра; 5^1 и £2 — площади поршня в левой и правой полостях гидроци­линдра, в которых давления жидкости равны р и р2 соответ­ственно; РТр. ц — сила трения в уплотнениях гидроцилиндра. При смешанном трении в уплотнениях

^тр. ц — - Ртр. ц(^шт> ^ц)> (5*4)

Где ишт = <1утт1<И уц = ([уц/вР, уц — перемещение гидроци­линдра на упругой опоре.

В свою очередь величина входит в уравнение

Тц ^2 “ ” &2Р2 ~ сопЗ/ц — Ргр. Ц) (5*5)

Где гац — масса гидроцилиндра.

При смещении золотника в направлении +х3 в левую по­лость гидроцилиндра поступает жидкость с массовым расхо­дом

£1=^31, (5-6)

Где р — плотность жидкости; — объемный расход жидко­сти, поступающей в левую полость гидроцилиндра.

Согласно условию неразрывности течения, имеем

<*(У1 + У1Л) , Уг + У^йр!

<5'7>

Где Всм 1 — модуль объемной упругости находящейся в левой полости гидроцилиндра смеси жидкости с воздухом; У — объ­ем левой полости гидроцилиндра; Ул — объем канала, соеди­няющего левую полость гидроцилиндра с золотником.

Уравнение (5.7) и используемое далее аналогичное урав­нение для правой полости гидроцилиндра записаны в предпо­ложении одновременного изменения давления во всех сечениях каналов (гидролиний), соединяющих гидроцилиндр с золот­ником, т. е. в сосредоточенных параметрах. При этом инерция жидкости не учитывается, а гидравлическое сопротивление ка­налов учтено в коэффициенте расхода золотника.

Вследствие перемещения поршня гидроцилиндра и пере­мещения самого гидроцилиндра, вызванного упругостью опо­ры, объем У будет переменной величиной, поэтому

^1 = *01 + + *^13/ц> (^-®)

Где Уо1 — объем левой полости гидроцилиндра при начальном положении поршня, от которого измерены значения ушт И Уц.

После подстановки величины У из уравнения (5.8) в урав­нение (5.7) и сокращения на р получаем

П - с шт I с

<1уп Уг + У1л <1р1 вэ1 = 1 ~лГ (5'9)

Аналогично находим уравнение объемного расхода жид­кости, вытекающей из правой полости гидроцилиндра

^ с ^3/шт, с ^3/ц ^2 + ^2л^Р2 /с 1ГЛ

Ц? з2 = *>2—^7“ + *>2 - т-------- Б----------- ЗГ’ V5-10)

Аь аь псм 2 их

Где У2 — объем правой полости гидроцилиндра, который уменьшается при движении поршня в направлении Н-2/шт; У2Л — объем канала, соединяющего правую полость гидро­цилиндра с ЗОЛОТНИКОМ; Всм2 — модуль объемной упругости смеси жидкости и воздуха, вытесняемой из правой полости ги­дроцилиндра.

Входящие в уравнения (5.9) и (5.10) модули объемной упругости можно определить по соотношению

= ,4..ВВ /В ' <5Л1>

1 I аВ1^Ж|/^В

Где г = 1 для полости с давлением р, г = 2 для полости с давлением р2-

Объемное ав,- = Уъ/Усм содержание воздуха в жидко­сти может быть различным в каждой полости гидроцилиндра вследствие разной продолжительности процессов растворения и выделения воздуха в жидкости.

Расходы жидкости фз1 и ф32 через окна, открытые кром­ками золотника, описываются функциями вида (3.83). Чтобы
связать изменения этих расходов с перемещениями золотника и давлениями в полостях гидроцилиндра, представим функции следующими выражениями:

<Эз1 = - pi|sign(pn - Pi); (5.12)

Q32 — кз2Х3л/р2 — Рсл| sign(p2 — Рсл)> (5.13)

Где к'з1 и А? з2 — удельные (отнесенные к единице перемеще­ния золотника) проводимости окон, открытых при смещении золотника от среднего положения.

В формулах (5.12) и (5.13) корни квадратные извлекаются из модулей разности давлений, что исключает появления мни­мых значений расходов, а возможное изменение направлений течений жидкости учитывается функцией sign (...)• Удельные проводимости окон определяются соотношениями

(5.14)

(5.15)

Где кп = Ьок/тг^з — коэффициент полноты использования пе­риметра втулки золотника при размещении в ней окон.

Согласно формулам (5.14) и (5.15), удельные проводи­мости окон, через которые жидкость поступает в гидроци­линдр, могут отличаться от удельных проводимостей окон, через которые жидкость вытекает из гидроцилиндра. Это вы­звано различными значениями коэффициентов /х31 и /х32, за­висящих от направления течения жидкости через окна золот­никового устройства. Коэффициенты расхода определяют экс­периментальным путем. Наиболее полное представление об удельных проводимостях золотникового устройства можно по­лучить, если результаты экспериментов обработаны в зави­симости от значений числа Рейнольдса, относительного пере­мещения золотника и относительных значений давления после окон, т. е. имеют вид

= хъ/хз шах — безразмерное смещение золотника от средне­го положения; хзтах — максимальное смещение золотника в одну сторону.

Все приведенные выше уравнения получены при хъ > О, Ушт >0. В случае х3 < 0 необходимо в уравнениях поме­нять местами давления р и р2, так как теперь правая по­лость гидроцилиндра будет соединена с каналом, в котором давление рП) а левая полость гидроцилиндра — с каналом, в котором давление рсл. С учетом этих перестановок членов, соответствующих смещению золотника в разные стороны от среднего положения, после несложных преобразований урав­нений (5.1)—(5.15) нелинейную математическую модель сило­вой части гидропривода с дроссельным регулированием можно описать следующей системой дифференциальных уравнений в форме Коши:

<1у1

ТП

БТ = ”т;

Ссв

Л - —Ушт <1ушт

*$1 $2 Ссв, Ссв 1 ту

~Т, — Р1 Р2 Ушт Н Утп ~ ^тр. ц!

(И 777 777 777 777 777

Ц *^1 $2 соп 1 т>

А+ “ ^ Р1 ~ Р2 ~ 3/ц “ ~ гр. ц!

777 777 777 777

I3 1 аг3/|Рп-Р1| з1§п(р„ - Р1)- п + Пл

■^1 -®см 1 ^1 - бсм 1

У! + У1лУшт~ Уг + У!/'

~<м ~ ~ у22+Хз^Р2 ~ Рсл^^Р2 ~ Рсл)+

. $2ВСм2 , ^Всмг

Т/ I т/ ^шт “Г ту, ту %,

^2 + л ^2 + ^2 л

При х3 < О

^ = ~'^1^1л 13 ^Р1 — ^сл I ®1бп(Р1 “ Рсл)+

, *$1 В СМ 1 , *^1 В см 1

^ Уа + ^л” У1+тО;

^Р2 ^з3^см2 А Г. / ч

Л-=угп^; 1,л/|!>л - и| 818п(р" - и)-

52£

См2 ■^2-Всм2

^2 + ^2л 1,ШТ ^2 + ^/“’

Где = ^з35 Лз2 = *з4-

Данную систему дифференциальных уравнений необходи­мо дополнить функциями (5.2) и (5.4), а также функциями, которые определяют проводимости окон, открываемых кром­ками золотника. Кроме того, следует указать минимальные допустимые давления р и р2> исключающие кавитацию в ги­дроприводе. Для изучения основных динамических свойств ги­дропривода с дроссельным регулированием эта модель слиш­ком сложна. С этой целью целесообразно применить более про­стую, но в то же время достаточно достоверную при ряде огра­ничений математическую модель гидропривода.