Неподвижные непрерывно действующие источники теплоты
Процесс нагрева тел непрерывно действующим неподвижным источником теплоты в соответствии с принципом наложения можно описать как последовательное действие серии мгновенных источников теплоты. Результирующее температурное поле определяется интегрированием полей от всех элементарных источников.
|
/*4 |
|||
|
= q(t')dt' |
|||
|
V |
dt |
t-V |
t |
|
t |
|
Рис. 6.4. Разбиение промежутка времени действия источника на малые интервалы |
Рассмотрим бесконечное теплопроводящее тело, имеющее начальную температуру Гн = 0. В момент времени t = 0 в точке О начинает выделяться теплота. Мощность непрерывно действующего точечного источника q(t) может изменяться с течением времени или оставаться постоянной. Промежуток времени действия источника разобьем на бесконечно малые интервалы (рис. 6.4).
Пусть в момент времени Ґ мгновенная мощность источника составляет
q(tr). Тогда за бесконечно малый интервал dt' источник выделит элементарное количество теплоты dQ = q(tf)dt', которое можно рассматривать как количество теплоты, выделенное мгновенным точечным источником, действующим в момент времени?. Теплота от этого источника распространяется в течение интервала t - Ґ ив соответствии с выражением (6.1) вызывает к моменту времени t элементарное приращение температуры
|
Rz 4 |
|
dQ |
|
(6.4) |
|
Г exp |
|
ср^[[4тш(і -1')]: |
|
dT(R, t-t') = |
|
209 |
8 — 2418
В соответствии с принципом наложения выполним интегрирование элементарных приращений температур по времени? в пределах от 0 до t и получим результирующее температурное поле от непрерывно действующего точечного источника:
|
R |
|
dt’. (6.5) |
|
г exp |
|
4a(t - t') |
|
О cp^j[4na(t -1’)]: |
|
qit') |
В частном случае q(tf) = const интеграл в выражении (6.5) сводится к табличному с помощью подстановки
|
R |
Rdt'
|
Z = |
г, dz =
^/4 a(t-t')' 2V4ait-t’)312
и выражается через функцию интеграла вероятности Ф(и) =
2 ~ггл С
= —j= в dz. С учетом этого получим выражение для темпера - V* о
турного поля, создаваемого в бесконечном теле непрерывно действующим точечным источником:
|
г z dz = |
|
= TU+- |
|
(6.6) |
|
cp(4naR) 7я д ^/4af Я Г, J R л -— 1-ф — 4лМ? yJ4at |
|
T(R, t) = T„ + |
Температура каждой точки тела во время действия источника возрастает (рис. 6.5, а), стремясь к предельному значению которое устанавливается при длительном действии источника. Если
t —> 00, то,—- = О, Ф(0) = 0 и j4at
Тпв = T{R, 00) = Гн + —. (6.7)
пр ' н 4nXR V 7
В предельном состоянии процесса нагрева бесконечного тела
непрерывно действующим точечным источником теплоты пос-
|
AT, К Ri < Rj ^ ^3 шр /Zl 400 |
|
тояннои мощности температурное поле становится стационарным, температура убывает обратно пропорционально расстоянию от источника. В стационарном состоянии тепловой поток через любую изотермическую сферическую поверхность одинаков и равен мощности источника q. В случае нагрева пластины без теплоотдачи непрерывно действующим линейным источником постоянной мощности q, проведя аналогичные выкладки с использованием выражения (6.2), получим |
|
z |
|
T |
|
|
|
-I------------- 1________ I________ L_ |
|
0 100 200 /, с a |
|
Рис. 6.5. Зависимость приращения температуры от времени при непрерывном действии неподвижного источника теплоты эффективной мощности 1500 Вт на расстояниях 0,7 см, 1 см и 1,5 см от источника: а - точечный источник теплоты на поверхности массивного стального тела; б - линейный источник теплоты в стальной пластине толщиной 5 = = 1,2 см; в - плоский источник теплоты в стальном стержне сечением F = 8 см |
|
і T(r, t) = TH + J - |
|
ср5[4а(7 -1')] |
|
dt' = |
|
xexp |
|
Aa(t-t') |
|
^ 2 Г 4at v J |
|
Ei |
|
= ru + |
|
(6.8) |
|
н 2яЯ5 |
|
где Ei(w) - интегральная показательная функция. Температурное поле при непрерывном действии неподвижного плоского источника постоянной мощности q в стержне сечением F без учета теплоотдачи с поверхности получим интегрированием приращения температуры в соответствии с выражением (6.3): |
|
і Т(х, t) = TH 4- J ~г— |
|
я яa(t - Ґ) |
|
dt' = |
|
exp |
|
4я(/-0 |
|
X exp---------- , 4 at v J |
|
TH+-LL-L - H 2nF |
|
1-Ф |
|
(6.9) |
|
4 at V / |
4af
В отличие от нагрева массивного тела, характеризуемого достижением предельного (стационарного) состояния, при непрерывном действии неподвижного источника в пластине или стержне (без теплоотдачи с поверхности) предельное состояние не достигается и температура возрастает беспредельно. Если есть теплоотдача с поверхности, предельное состояние в пластине и стержне достижимо. Температурное поле становится стационарным, когда поток теплоты с поверхности делается равным мощности q неподвижного непрерывно действующего источника.
