ТЕОРИЯ сварочных процессов

Конечные элементы для деформационной задачи

При моделировании деформации деталей применяют конечные элементы с тремя и более узлами, показанные на рис. 13.3. В плос­ком трехузловом конечном элементе перемещения и внутренних

точек выражаются через перемещения Uj узлов согласно линейной интерполяционной формуле

N;=4-

1 A

- функции формы, зависящие от расположения внутренней точки М (рис. 13.12); А[ - площадь одного из треугольников, на которые делят треугольный конечный элемент площадью А линии, соеди - I няющие точку М с узлами элемента. На

рис. 13.12 показан конечный элемент и заштрихован треугольник, площадь кото­рого А подставляется в (13.15) для опре­деления значения функции формы N в точке М. Из формулы (13.15) и рис. 13.12 следуют некоторые свойства функций формы. Когда точка М совпадает с узлом

/, значение функции N равно единице, а значения двух других функций формы равны нулю. При этом, независимо от пе­ремещений узлов 2 и 3, и = U. Сумма трех функций формы для любой точки М равна единице. Поэтому если перемещения всех трех узлов одина­ковы, то и = U = U2 = t/3.

С помощью функций формы легко определить компоненты деформации в точке Мпо формулам (11.6), например:

Перемещения узлов не зависят от координат, поэтому дифферен­цировать необходимо только функции формы. Если эти функции зависят от координат линейно, то их производные являются кон­стантами и не зависят от координат точки М. Поэтому в рассмот­ренном трехузловом конечном элементе компоненты деформации во всех точках одинаковы.

Применяя закон Гука, можно по деформациям рассчитать на­пряжения, используя формулы (11.18), (11.19) и (11.24). Напряже­ния также одинаковы во всех точках конечного элемента.

Упругая энергия в единице объема материала пропорциональна сумме произведений компонент деформации и напряжения. Чтобы найти упругую энергию для всей модели, необходимо сложить энергии, рассчитанные для всех конечных элементов. Она оказыва­ется квадратичной функцией перемещений всех узлов модели.