СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния
Если задана передаточная функция G(s), то, изобразив модель системы в виде сигнального графа, мы затем можем получить уравнения состояния. Теперь мы решим обратную задачу, т. е. покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом определить ее передаточную функцию. Напомним еще раз уравнения (3.16) и (3.17):
|
(3.67) (3.68) (3.69) |
х = Ах + Ви (3.66)
у = Сх.
Преобразуя эти уравнения по Лапласу, получим:
sX(s) = AX(s) + В U(s)
и
ад = cx(S),
где В — матрица размерности 77x1, поскольку и есть единственный вход. Заметим, что в преобразовании Лапласа мы не учитывали начальные условия, поскольку определению подлежит передаточная функция. Группируя члены в уравнении (3.68), получим:
(si - A)X(s) = B<7(s).
Так как (sI-A)‘1 = Ф(л), то
X(s) = <P(s)BU(s).
Подставляя X(s) в (3.69), получим:
Y(s) = СФ(і)В(У(5). (3.70)
|
(3.71) |
Поскольку передаточная функция G(s) = Y(s)/U(s), то окончательно имеем:
G(s) = СФ(5)В.
|
Пример 3.4. Передаточная функция RLC-цепи Определим передаточную функцию G(s) = Y(s)/L'(s) для RLC-цетш. изображенной на рис. 3.4. Для этой цепи ранее были получены уравнения (см. уравнения 3.18 и 3.19): |
|
0 |
-1/С' |
х + |
1/С' |
|
1/L |
-R/L |
0 |
|
у= [0 R]x. (si - А) = |
|
Следовательно, |
|
s 1/С IIL (s + RIL) |
|
Далее находим |
|
s+R/L -1/С l/L s |
|
Ф(ї)=(Л-А)1 = -|- Д(«) |
|
где |
|
А/Л 2 R 1 Д(г) = s+ — s +------- . L LC |
|
Тогда передаточная функция будет равна ' s+R/L -1 |
|
R/LC Ms) |
|
R/LC |
|
A(s) CA(s) 1 s |
|
G(s) = [О R] |
|
2 R 1 S + — S + --------- L LC |
|
LA(s) Д(ї) |
