СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пример построения диаграммы Боде

Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащий несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отде­льно взятому полюсу и нулю. Простоту и удобство данного метода мы проиллюстрируем на примере передаточной функции, включающей в себя все сомножители, рассмотренные в предыдущем разделе. Эта передаточная функция имеет следующий вид:

5(1 + у'ОДсо)

С(ую) = -

ую(1 + у'0,5юХ1 + у'0,6(со/50)+(ую/50)2]

Расположим эти сомножители в порядке начала их влияния с ростом частоты: 1- Постоянный коэффициент усиления К = 5;

2. Полюс в начале координат;

3. Полюс при са=2;

4- Нуль при со = 10;

5. Пара комплексно-сопряжённых полюсов при со = сои = 50.

Сначала мы изобразим амплитудные характеристики, соответствующие каждому по­люсу и нулю и постоянному коэффициенту усиления.

1. Коэффициенту усиления соответствует логарифмическая амплитудная характери­стика 20 lg5 = 14 дБ, как показано на рис. 8.19.

2. Амплитудная характеристика, соответствующая полюсу в начале координат, при всех частотах от 0 до оо имеет вид прямой с наклоном -20 дБ/дек, пересекающей уровень 0 дБ в точке со = 1, как показано на рис. 8.19.

3. Амплитудную характеристику, соответствующую полюсу при со = 2, аппроксими­руем двумя асимптотами. Высокочастотная асимптота справа от точки излома со = 2 имеет наклон — 20 дБ/дек, а низкочастотная (слева от точки излома ) проходит на уровне 0 дБ (см. рис. 8.19).

4. Нулю при со = 10 также сопоставим две асимптоты, из которых высокочастотная (правее точки излома) имеет наклон +20 дБ/дек (см. рис. 8.19).

5. Наконец, если воспользоваться асимптотами для построения амплитудной характе­ристики, соответствующей паре комплексных полюсов, то точка излома будет иметь место на частоте со = со„ = 50, а наклон высокочастотной асимптоты составит -40 дБ/дек в силу наличия в сомножителе квадратичного члена (см. рис. 8.19). Од­нако при коэффициенте затухания С, = 0,3 точная амплитудная характеристика су­щественно отличается от асимптотической, поэтому в построение необходимо внести поправки, как это сделано на рис. 8.20.

Таким образом, результирующая асимптотическая амплитудная характеристика изображается путём суммирования асимптот, соответствующих каждому сомножителю передаточной функции, как показано сплошной линией на рис. 8.20. Анализ рис. 8.20 по­казывает, что эта характеристика может быть получена непосредственно путём добавле­ния каждой асимптоты в порядке возрастания частоты. Так, прямая с наклоном -20 дБ/дек, соответствующая члену (/со)-1, пересекает уровень 14 дБ при (0=1. Далее, при со = 2 наклон изменяется до - 40 дБ/дек за счёт полюса и снова становится равным -20 дБ/дек за счёт нуля при со = 10. Наконец, при со = 50 наклон становится равным -60 дБ/дек из-за пары комплексных полюсов.

Рис. 8.20

Амплитудная

характеристика

Точную амплитудную характеристику можно получить, воспользовавшись данными табл. 8.2, где приведены расхождения между точной и асимптотической характеристи­кой, соответствующими единственному полюсу или нулю. Что касается точной ампли­тудной характеристики, соответствующей паре комплексных полюсов, то для её изобра­жения следует воспользоваться кривыми на рис. 8.10(a). Точная характеристика для фун­кции G(jiо) показана на рис. 8.20 пунктирной линией.

Фазовую частотную характеристику можно построить точно так же, суммируя соот­ветствующие кривые для каждого отдельного сомножителя. Для единственного полюса или нуля в качестве первого приближения обычно бывает достаточно линейной аппрок­симации фазовой характеристики. Такая аппроксимация изображена на рис. 8.21.

1- Для постоянного коэффициента усиления фазовая характеристика равна 0°.

2. Полюсу в начале координат соответствует фазовый сдвиг -90°.

3. Для полюса при ю = 2 на рис. 8.21 приведена соответствующая линейная аппрокси­мация фазовой характеристики, причём на частоте со = 2 фазовый сдвиг равен - 45°.

4. Для нуля при ю = 10 на рис. 8.21 также приведена линейная аппроксимация фазовой характеристики, и на частоте со = 10 фазовый сдвиг равен +45°.

5. Действительная фазовая характеристика, соответствующая паре комплексных по­люсов, заимствованная с рис. 8.10(6), также приведена на рис. 8.21.

Таким образом, результирующая фазовая характеристика ср(со) получается простым сложением характеристик, соответствующих каждому сомножителю передаточной функ­ции, как показано на рис. 8.21. Поскольку полученная зависимость является лишь аппрок­симацией истиной характеристики, её следует рассматривать только в качестве первого приближения. Например, как мы увидим ниже, особый интерес представляет частота, при которой ф(ю) = - 180°. Аппроксимация показывает, что ср(со) = - 180° на частоте со = 46. Попробуем вычислить действительный фазовый сдвиг при со = 46:

ILu

ф(со) = -90° - arctg(0T[ +arctg(ot2 - arctg , (8.43)

1- и"

где т, = 0,5 ; т2 = 0,1 ; и - со/ю„ = ю/50. Вычисления дают результат:

ф(46) = - 90° - arctg 23 + arctg 4,6 - arctg 3,55 = - 175°, (8.44)

т. е. аппроксимация фазовой характеристики при со = 46 даёт ошибку в 5°. Однако всегда имеется возможность, определив интересующую частоту по аппроксимирующей характе­ристике, уточнить её значение в окрестности найденной точки с помощью выражения (8.43). Этот метод обычно является предпочтительным при вычислении точного значения фазового сдвига в пределах нескольких декад. Наконец, с помощью линейной аппроксима­ции амплитудной и фазовой характеристик можно установить диапазон частот, представ­ляющий интерес для анализа свойств системы с передаточной функцией G(ja). После это­го в данном диапазоне всегда можно вычислить действительные значения частотных ха­рактеристик, пользуясь их точными уравнениями, такими как, например, (8.43).

Частотные характеристики, соответствующие функции С(/со), легко можно вычис­лить и изобразить графически с помощью компьютера, например, в среде MATLAB. Для примера, рассмотренного в данном разделе, построенная таким образом диаграмма Боде приведена на рис. 8.22. Диаграмма занимает 4 декады, на ней указаны уровни 0 дБ для ам­плитудной характеристики и -180° — для фазовой. Данные над диаграммой показывают, что при со = 0,1 амплитудная и фазовая характеристики соответственно равны 34 дБ и -92,36°. По выводимым табличным данным можно также найти, что 20 lg|G(/co)| = 0 дБ при со = 3, а ф(ю) = -180° при ю = 50.

Рис. 8.22

Диаграмма Боде для Gfja) вида (8.42)