СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Чувствительность системы и корневой годограф

Одной из основных причин использования отрицательной обратной связи в системах управления является её свойство уменьшать влияние изменения параметров системы. Как мы установили в разделе 4.2, это влияние можно оценить с помощью чувствительности характеристик системы к изменению её параметров. Мы также ввели понятие логарифми­ческой чувствительности в виде

„ т dlnT дТ/Т

S%=---------- =---------- , (7.85)

din К дК/К

где 7s) — передаточная функция системы, а К — параметр, подверженный изменению.

В последнее время, в связи с возросшим интересом к использованию плоскости для анализа свойств системы, возникла необходимость оценивать чувствительность системы по расположению корней её характеристического уравнения. Это связано с тем, что изме­нение параметров системы приводит к изменению положения корней характеристическо­го уравнения, а последние, в свою очередь, определяют вид переходной характеристики системы. Поэтому мы можем ввести понятие чувствительности корней характеристи­ческого уравнения системы с передаточной функцией T(s) как

Sr' =д '' =8- К

к din К дК/К

где гг есть i-й корень характеристического уравнения, и

m

m-о

/=і

а К — параметр системы. Эта чувствительность связывает изменение положения корня на s-плоскости с изменением параметра системы. Чувствительность корней связана с лога­рифмической чувствительностью соотношением

Sl L_, (7.88)

dlntf ІП'ЗІпЛ: (s+r,)

при условии, что нули Ts) не зависят от параметра К, т. е.

01п К

Логарифмическую чувствительность легко определить, взяв производную T{s) [выраже­ние (7.87)] по параметру К. В частном случае, когда коэффициент усиления системы не за­висит от параметра К, мы получим:

Sl =-Ysr' — , (7.89)

* tr А (s+n)

что даёт непосредственную связь между двумя чувствительностями.

Чувствительность корня характеристического уравнения системы довольно просто можно оценить, воспользовавшись методом корневого годографа. Для этого нам потребу­ются уже известные линии корней, соответствующие изменению параметра К. Мы можем придать параметру К малое конечное приращение АК и оценить новое положение корня г, + А г,. Затем, в соответствии с (7.86), мы получим

Sr‘ . (7.90)

к АК/К

Это выражение является аппроксимацией действительного значения чувствительности, которое может быть получено при АК —> 0. Оценку чувствительности корня мы проиллю­стрируем следующим примером.

Пример 7.6. Чувствительность корня системы управления

Характеристическое уравнение для системы с обратной связью, изображенной на рис. 7.23, имеет вид:

К

= 0,

Ф + Р)

или

г + Рї + К = 0 . (7.91)

В качестве параметра а мы будем рассматривать коэффициент К. Тогда влияние изменения каждого параметра можно будет определить, если задать

а = а0 + Да. р = ро + др,

При бесконечно малых изменениях параметра дК чувствительность будет равна отрицатель­ным или положительным приращениям К. Аргумент чувствительности корня указывает на на­правление его смещения при изменении параметра. В точке а = а0 направление смещения кор­ня при + Да всегда равно 180° минус направление смещения при - Да.

Д^=0Д25^ = аб25е, з8

0,20

При уменьшении относительного изменения др/р чувствительности Л'^ и 5'1 будут стремиться

к одинаковым значениям по модулю и к разности аргументов в 180°. Так, если Др/р < 0.10, то

|5'Ч = |5'Ч (7.100)

argS^ =180°+argSpL. (7.101)

Обычно чувствительность корня определяется при малых изменениях параметра. При относи­тельном изменении параметра Др/р = 0,10 можно воспользоваться аппроксимацией корневого годографа. На рис. 7.25 корневой годограф при ДР = 0 выходит из полюса под углом в(1. Значе­ние этого угла легко вычислить, и тогда изменение корня можно установить, аппроксимировав корневой годограф прямой линией с наклоном вф как показано на рис. 7.25. Но подобная ап­проксимация является точной только при малых приращениях Др. Однако она позволяет ис­следователю не прибегать к построению полного корневого годографа. Так, на рис. 7.25 чувст­вительность корня при Др/р = 0,10, вычисленная с помощью прямой, проведённой под углом выхода, даёт значение

S'' = 9?9?4е.'.' = 0.74е-;|35' . (7.102)

Р 0,10

Оценка чувствительности корней к изменению параметров очень полезна тогда, когда надо сравнивать влияние различных параметров при различном положении корней. Сравнение выра­жений (7.102) и (7.94) показывает, что модуль чувствительности к изменению Р приблизительно на 50% больше показателя для параметра а, а аргумент 5^. говорит о том, что смещение корня в

сторону мнимой оси более чувствительно к изменению параметра р. Следовательно, на измене­ния р должны быть наложены более строгие ограничения, чем на изменения а. Эта информация даёт возможность установить требуемые допуски на изменение каждого параметра.

Пример 7.7. Чувствительность корня к изменению параметра

Система с единичной обратной связью содержит в прямой цепи передаточную функцию

С(,) = _ВД±3) (7. ЮЗ)

s(s + 2)(s + р)

где р = р0 + Др и р0 = 8. Характеристическое уравнение системы имеет вид:

,y(.v + 2)(.v + 8 + ДР) + 20.7(.v + 3) — 0 ,

или

ф + 2)0? + 8) + ДРф + 2) + 20,7(s + 3) = 0. (7.104)

Если Др = 0, то корни уравнения равны

) = -2.36+ >2,48: г2 = г3 = - 5.27.

Корневой годограф в зависимости от ДР определяется уравнением

!+------ «4^------------- = 0. (7.105)

(s+fj)(s+/j)(s+7-3)

Полюсы и нули уравнения (7.105) показаны на рис. 7.26. Угол выхода корневого годографа из полюса /'! вычисляется следующим образом:

180° = -(Gj + 90° +0^) + (0. + 0^) = -(0j + 90° + 40°) + (133 ° + 98°) . (7.106)

Следовательно, 0(/ = - 80°, и в окрестности корня годограф аппроксимируется прямой ли­

нией с углом наклона 0,;. Изменению корня Art = 0,2е~780 вдоль прямой линии соответствует приращение + Др. которое оценивается с помощью длины векторов, проведенных в точку г, из остальных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

+др = МЗ!7т2) = 0,48. (7.107)

(3,25)(2,3)

В результате чувствительность корня г, равна

Д/j 0,2е_/8О° „ _ _,80-

Рис. 7.26. Положение полюсов и нулей, соответствующее параметру р

Рис. 7.27. Положение полюсов, соответствующее параметру у

а это значит, что корень очень чувствителен к изменению параметра р на 6%. Для сравнения полезно определить чувствительность /-j к изменению нуля s = — 3. В этом случае характери­стическое уравнение принимает вид:

ф + 2)(s + 8) + 20,1 (s + 3 + Ду) = 0,

или

20,7Ду

(7.109)

(s+/j)(s+fj)(s+r3)

На рис. 7.27 показано положение полюсов уравнения (7.109). Угол выхода корневого годогра­фа из полюса г, определяется из соотношения 180° = - (0(/ + 90° + 40°), или

Qii = + 50°. (7.110)

Изменению корня AT, = 0,2е,'5о° соответствует положительное приращение Ду, которое рассчи­тывается с помощью длины векторов как

5,22(4.18)(0,2)

■ = 0,21.

20,7

Следовательно, чувствительность корня гj при + Ду равна

S'j = = 0-2е/5° = 2.84е/50°

у Ду/у 0,21/3

Отсюда видно, что модули чувствительностей корня гх к изменению полюса Р и нуля у прибли­зительно равны. Однако можно считать, что чувствительность системы к изменению полюса меньше, чем её чувствительность к изменению нуля, потому что аргумент S'j равен + 50°, а это соответствует смещению корня ближе к мнимой оси.

Аналогичным образом можно показать, что чувствительность корня гх к изменению полюса s = — 80 = - 2 равна

= 2,1е/27 (7.113)

Таким образом, модуль чувствительности корня по отношению к параметру 5 меньше, чем по отношению к другим параметрам, но направление его смещения является более критическим, чем при изменениях Р и у.

Применение метода оценки чувствительности корней при анализе и синтезе систем управления требует большого количества вычислений для различного расположения по­люсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы. Этот факт, а также то, что далеко не всегда очевидно, в каком направлении должны быть изменены параметры с це­лью снижения чувствительности, несколько ограничивает применение данного метода при синтезе систем управления. Что же касается задач анализа, то этот метод является до­вольно хорошим инструментом, позволяющим оценить и сравнить чувствительность сис­тем различной конфигурации. Недостаток метода заключается в том, что он основан на связи между положением корней на s-плоскости и качеством системы. Но как мы выясни­ли в предыдущих главах, во многих системах положение корней адекватно определяет показатели качества, однако в ряде случаев надо учитывать и положение нулей переда­точной функции замкнутой системы. В целом же метод оценки чувствительности корней является вполне приемлемым при анализе и синтезе систем управления.