СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Анализ устойчивости с помощью MATLAB

Этот раздел мы начнем с критерия Рауса-Гурвица и покажем, какое простое и удобное сред­ство предоставляет MATLAB для вычисления корней характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение содержит один варьируемый параметр, то можно отразить в виде диаграммы изменение положения корней в зависимости от этого параметра.

В данном разделе будет введена функция for, с помощью которой последователь­ность инструкций повторяется заданное число раз.

Критерий Рауса-Гурвица. Как было отмечено выше, критерий Рауса-Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости. Если задано характеристи­ческое уравнение с постоянными коэффициентами, то с помощью критерия Рауса-Гурви­ца можно определить число корней, расположенных в правой полуплоскости. Например, рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы, изображенной на рис. 6.10:

q(s) = s3 + s2 + 2s + 24 = 0 .

Соответствующая таблица Рауса приведена на рис. 6.11. Два изменения знака в пер­вом столбце указывают на наличие двух корней уравнения в правой полуплоскости; сле­довательно, замкнутая система неустойчива. С помощью MATLAB мы можем проверить этот результат, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения, как это показано на рис. 6.12. Для этого необходимо использовать функцию pole, которая вычис­ляет корни алгебраического полинома.

Рис. 6.12

Использование функции pole для вычисления полюсов замкнутой системы, изображенной на рис. 6.10

Рис. 6.14

(а) Траектории корней уравнения q (s) = s3 + 2s2 + + 4s + К = О

при О < К < 20.

(б) Скрипт MATLAB

% Этот скрипт вычисляет корни характеристического % уравнения q(s)=sA3+2sA2+4s+K при 0<К<20 %

К=[0:0.5:20]; for i=1 :length(K) ^

q=[1 2 4 K(i)]; U-------

p(:,i)=roots(q); J end

plot(real(p),imag(p),‘x')1grid

хІаЬеІ(‘Действительная ось'),уІаЬеІ(‘Мнимая ось')

Рис. 6.15

Функция for и иллюстративный пример

Инструкция end вводится для указания окончания цикла

Пример

for і = 1:10 <~ а(і)=20; Ч - b=a(i)+2*i; end ▲

Счетчик і

а — вектор из 10 элементов

Ъ — скаляр, изменяющий значение при увеличении г

Составив таблицу Рауса, мы получим два условия устойчивости: К < 126 и Ка > 0. Это значит, что мы можем ограничить область поиска значениями 0 < К < 126 и а > 0. Сначала с помощью MATLAB мы найдем границу устойчивости в плоскости параметров К и а. Затем мы сможем найти пары значений (К, а), принадлежащих области устойчивости, таких, которые удовлетво­ряли бы ограничению на установившуюся ошибку. Эта процедура, показанная на рис. 6.16, включает в себя задание диапазона значений К и а и вычисление корней характеристического уравнения для конкретных значений этих параметров. Для каждого К мы найдем первое значе­ние а, при котором по крайней мере один корень характеристического уравнения попадает в правую полуплоскость. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет пройден весь диа­пазон значений К и а. Найденные пары чисел (К', а) определяют границу между областями устойчивости и неустойчивости.

На рис. 6.16 область слева от графика зависимости а =/(К) является областью устойчивости. Если считать, что r(t) = At, I > 0, то установившаяся ошибка

s(s + 1)(ї + 2)(і + 5) А 10 А

= І1Ш5 =------------------------------------------------------------------- .

s(s + l)(s + 2)(s + 5) + K(s + a) s

Ka

Рис. 6.16

(а) Область устойчивости в плоскости параметров (К, а) для системы управления поворотом гусеничной машины.

(б) Скрипт MATLAB

Любые значения К и а, лежащие в области устойчивости на рис. 6.16 и удовлетворяющие усло­вию (6.31), будут считаться приемлемыми. Например, значения К = 70 и а = 0,6 будут удовлет­ворять всем выдвинутым требованиям. При этих значениях передаточная функция замкнутой системы примет вид:

70s+42

Т (S) - —І------ 5 Ч------------- •

s4 + 8s3+17r+80s+42

Полюсы замкнутой системы будут иметь значения:

s = -7,0767, і = -0,5781, 5 = -0.1726 + 3,1995/ и і = -0,1726 - 3,1995/.

Реакция системы на линейный входной сигнал, изменяющийся с единичной скоростью, приве­дена на рис. 6.17. Установившаяся ошибка менее 0,24, как и требовалось.

Рис. 6.17

(а) Реакция системы управления поворотом гусеничной машины на линейный входной сигнал при К = 70 и a = 0,6.

(б) Скрипт MATLAB

б)

Устойчивость систем, описываемых переменными состояния. Обратимся теперь к анализу устойчивости систем, представленных моделью в переменных состояния. Предположим, что мы имеем дело с системой, описываемой уравнением (6.22). Ее устой­чивость можно определить по характеристическому уравнению, которое записывается через матрицу А:

Левая часть этого уравнения является полиномом от s. Если все корни характеристи­ческого уравнения имеют отрицательные действительный части, т. е. Re s, < 0, то система устойчива.

Если модель системы представлена в переменных состояния, то прежде всего необ­ходимо найти ее характеристический полином. Это можно сделать несколькими способа­ми. Один из них предполагает раскрытие определителя (si - А) вручную. После этого можно либо вычислить корни характеристического уравнения с помощью функции MAT­LAB roots, либо использовать критерий Рауса-Гурвица, чтобы установить, имеются ли корни в правой полуплоскости. К сожалению, ручные вычисления могут вызвать затруд­нения, особенно при большой размерности матрицы А. Избежать подобных неприятно­стей можно, если прибегнуть к помощи MATLAB.

Характеристическое уравнение можно получить с помощью функции poly, рассмот­ренной в разделе 2.10. Напомним, что эта функция позволяет образовать полином по век­тору его корней. Ее также можно использовать для вычисления характеристического уравнения матрицы А, как показано на рис. 6.18, где матрица А задана в виде

-8 -16 -6

А= 1 0 0

0 1 0

а в результате вычислений получен полином

s3 + 8s2 + 16s + 6 .

Если А — матрица размерности п х п, то функция poly(A) возвращает вектор-строку из п + 1 элементов, являющихся коэффициентами характеристического уравнения.

Пример 6.11. Определение области устойчивости в случае неустойчивого объекта

На рис. 6.19 изображена система управления реактивным самолетом. Предположим, что z > 0 и р > 0. В разомкнутом состоянии система неустойчива, т. к. ее характеристическое уравнение имеет вид:

s(s - l)(s + р) = s[i2 + (р - l)s - р] = 0 .

Рис. 6.19. Система управления реактивным самолетом

Заметим, что поскольку один член в квадратных скобках является отрицательным, то характе­ристическое уравнение имеет по крайней мере один корень в правой полуплоскости. Характе­ристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

s3 + (р -1>2 + (К-p)s + Kz = 0 .

Определим область устойчивости в пространстве параметров К, риг. Составим таблицу Рау­са:

і Ск-р)

(р-1) Kz

ь2

Kz,

где

U _ (p-l)(K-p)-Kz

2 : •

р-1

Согласно критерию Рауса-Гурвица, мы должны потребовать выполнения условий Kz > 0 и р > 1. Полагая Ъ2 = 0, получим:

(р - Ш-Р) - Kz = K[(p-l)-z] - р{р - 1) = 0 .

Следовательно, должно выполняться условие:

Р(Р - О

(6.33)

(p-)-z Рассмотрим три случая:

.z>(p— 1). Т. к. р> 0, то любое значение К > 0 будет удовлетворять условиям устойчивости.

2. z=(p-l). Не существует таких К,(0<К<сю), при которых система была бы устойчива.

3. z < (р — 1). При заданных риг существует значение К. (0 < К < оо), удовлетворяюшее усло­вию устойчивости (6.33).

Условия устойчивости можно изобразить графически. На рис. 6.20 приведен скрипт MATLAB, позволяющий построить границу устойчивости в трехмерном пространстве. В скрипте испо­льзована функция mesh для построения трехмерной поверхности и функция meshgrid для вы­числения массивов данных, входных для mesh.

На рис. 6.21 приведена трехмерная диаграмма для определения области устойчивости в коор­динатах К, р и z.