СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Альтернативные модели в виде сигнальных графов

Очень часто при проектировании систем управления специалисту приходится иметь дело со структурной схемой, в которой каждый блок соответствует реальному устройству, а все переменные суть физические величины. Примером может служить разомкнутая система управления скоростью вращения двигателя постоянного тока, изображенная на рис. 3.14. В качестве переменных состояния желательно выбрать реальные физические переменные. Поэтому мы будем использовать следующие переменные: х, = y(t), скорость вращения (она же — выходная переменная); х2 = /(/), ток возбуждения; и хъ = u(t), напряжение воз­буждения. Сигнальный граф, содержащий эти физические переменные, изображен на рис. 3.15. Такая модель полезна, в частности, если физические переменные состояния мо­гут быть измерены. Заметим, что на графе каждый блок структурной схемы представлен отдельно. Например, регулятор имеет передаточную функцию

R(s) s+5 l+5s—1

и на графе она представлена фрагментом между R(s) и U{s).

#(s) о

-5 -2 -3

Рис. 3.15. Сигнальный граф с физическими переменными состояния Уравнение состояния записывается непосредственно по графу на рис. 3.15:

а выходная переменная

у = [1 0 0] х.

Второй способ получения сигнального графа основан на разложении передаточной функции на элементарные составляющие. Передаточная функция, связывающая вход и выход структурной схемы на рис. 3.14, имеет вид:

(3.52)

30(5+1)

= Г(5) =

(s+ 5)(s+2)(s+3) (s-sl )(s-s2 )'

а переходная функция имеет три составляющие, определяемые полюсами s,, s2 и s3. Разло­жение передаточной функции на элементарные дроби дает:

Используя прием, описанный в гл. 2, мы находим, что кх = -20, к2 = -10 и /с3 = 30. Сигнальный граф, соответствующий выражению (3.53), представлен на рис. 3.16. Уравне­ния состояния и выхода для этого графа, записанные в матричной форме, таковы:

y(t) = [-20 -10 30] х.

Заметим, что переменную состояния хх мы связали с полюсом S] = -5, х2 — с полюсом s2 и х3 — с полюсом s3, как показано на рис. 3.16. Индексация переменных состояния в данном случае является произвольной; например, х{ мы могли бы выбрать связанной с полюсом s = —2.

Развязывание переменных состояния в случае различных полюсов —Sj, - s2, приводит к тому, что в уравнении состояния матрица А приобретает диагональную, или каноническую форму. Если же среди по­люсов системы имеются кратные, то все, что можно сделать, — это представить мат­рицу А в блочно-диагональной форме, изве­стной как жорданова каноническая фор - Рис_ 316. Сигнальный граф

ма. с развязанными переменными состояния

(3.54)

Пример 3.2. Распространение эпидемического заболевания

Распространение эпидемического заболевания можно описать системой дифференциальных уравнений. Исследуемое население делится на три группы — х2 и л3, так что группа*, вос­

приимчива к эпидемическому заболеванию, группах2 инфицирована, а группах, исключается из первоначального числа исследуемых. Исключение х3 происходит по причине иммунизации, смерти или изоляции от xv Данная система содержит обратные связи и может быть описана следующими уравнениями:

dx,

—1 = - оис, - |«2 + Ц(ч-

dt

^ = Вх ■ dt 1

= CCXj + ух2 ■

Скорость, с которой появляются новые восприимчивые к заболеванию, равна к,(<), а скорость, с которой появляются новые инфицированные, равна u2(t). В изолированном сообществе И](0 = = u2(t) = 0. Интересно отметить, что эти же уравнения могут описывать и распро­странение в обществе информации или новой идеи.

В данной системе мы имеем физические переменные состояния *[, х2 и х3. На рис. 3.17 изображен сигнальный граф, отража­ющий систему дифференциальных урав­нений. Уравнение состояния в век­торно-матричной форме имеет вид:

Анализ уравнения (3.55) и сигнального графа показывает, что переменная состояния х3 зави­сит от X] и хг, но не оказывает на них влияния.

Рассмотрим изолированное сообщество, в котором nx(t) = n2(t) = 0. Положению равновесия си­стемы в пространстве состояний соответствует dxldt = 0. Анализ уравнения (3.55) показывает, что система будет находиться в равновесии при хх = х2 = 0. Чтобы определить, прекратится ли в сообществе эпидемическое заболевание, нам необходимо получить характеристическое уравнение системы. Сигнальный граф на рис. 3.17 содержит три контура, два из которых не ка­саются друг друга, поэтому определитель графа

Д(ї) = 1 - (- Ш'1 — уs~l - pV“) + ays 2 . (3.56)

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

q(s) = ї2Д(ї) = s2 + (а + y)s + (ay + p2) = 0.

Поскольку (a + у)>0 и (ay + P")>0, то корни этого характеристического уравнения лежат в ле­вой половине s-плоскости и, следовательно, свободное движение системы при t —» оо стремит­ся к нулю.

Пример 3.3. Управление перевернутым маятником

Нарис. 3.18 проиллюстрирована проблема балансирования палки с шариком, находящейся на ладони человека. Палка будет находится в равновесии только если 0(0 = 0 и dQ/dt = 0. Эта проблема по сути ничем не отличается от управления положением ракеты на начальной стадии полета. Эта проблема классически моделируется в виде перевернутого маятника, смонтиро­ванного на тележке, как показано на рис. 3.19. Тележка должна двигаться таким образом, что­бы масса т всегда занимала вертикальное положение. В качестве переменных состояния есте­ственно принять угол отклонения маятника 0(0 и перемещение тележки y{t). Дифференциаль­ные уравнения, описывающие движение данной системы, можно получить.-записав выраже­ния для суммы сил, действующих в горизонтальном направлении, и суммы моментов относительно точки вращения. Будем считать, что М» т и угол отклонения от вертикали 0 яв­ляется малым, поэтому уравнения являются линейными. Сумма сил, действующих в горизон­тальном направлении, равна

Му + тів - a(t) = 0, (3.58)

где и(0 — сила, приложенная к тележке, а /—расстояние от массы т до точки вращения. Сум­ма моментов относительно точки вращения равна

ml у + т12в — mlgQ = 0. (3.59)

Переменные состояния для двух уравнений второго порядка выберем как (*,. х2. л3. х4) = (у. > 0, 0).Тогда уравнения (3.58) и (3.59) можно записать с учетом этих переменных состояния:

Мх2 + mlx4 - u(t) = 0 (3.60)

и

х2 + 1хл - gxз = 0. (3.61)

Чтобы получить необходимые дифференциальные уравнения первого порядка, выразим из (3.61) I х4 и подставим его в (3.60):

Мх2 + mgx3 = u(t (3.62)

где учтено, что М» т. Далее, подставляя х2 из (3.60) в (3.61), получим:

Mlx4 - MgXj + u(t) = 0l (3.63)

Таким образом, четыре дифференциальных уравнения первого порядка будут иметь вид:

mg 1 . ,

X, = X-,. Хп —----------------- Х-,--- н - u(t),

12 2 М М