Оптоэлектроника

Стационарное уравнение Шредингера. Стационарные состояния

В этом разделе нас будет интересовать описание физического состояния электрона, подверженного воздействию независящего от времени потенциала (т. е. описание т. н. консервативной системы). Этой системой может быть атом водорода, в котором потенциал У(г) представляет собой кулоновское поле, локализованное в простран­стве, или кристалл, где потенциал К(г) является периодическим (соответствующим регулярному расположению образующих кристалл атомов). Уравнение Шредингера может быть записано следующим образом:

A

(1.21)

Начнем с рассмотрения собственных состояний гамильтониана:

(1.22)

Стационарное уравнение Шредингера

На некоторое время предположим, что такими состояниями являются:

• дискретные состояния, т. е. они обозначаются целыми числами;

• невырожденные состояния, т. е. два или большее число состояний не могут иметь ту же самую энергию;

• полные состояния, т. е. любое физическое состояние может проецироваться однозначным образом на базисный набор, сформированный из собственных функ­ций Я типа (1.6).

Подстановка уравнения (1.22) в (1.21) дает временную эволюцию собственного состояния у/)

K(0)=k»(°))'

Где

Е = h со

П п

И соп — боровская частота колебаний, связанная с состоянием | у/). Уравнение (1.23) заслуживает внимание и позволяет сделать важное предсказание. Предположим, что система находится в собственном состоянии | у/п), и мы ищем среднюю величину наблюдаемой А:

(1.25)

Таким образом, эта средняя величина не изменяется во времени, т. е. собствен­ные состояния являются стационарными для всех наблюдаемых. Эти стационарные состояния являются особенно важными, так как они образуют состояния, дающие неизменяющиеся величины наблюдаемых. В дополнение к этому они делают воз­можным описание временной эволюции нестационарного состояния. Предполо­жим произвольное состояние ysit)), для которого мы знаем его проекцию (при / = 0) на базис стационарных состояний | у/):

(1.26)

Определим теперь временную эволюцию коэффициентов cn(t). Для этого под­ставим разложение стационарного состояния | y/(t)) в стационарное уравнение Шре­дингера (1.21), что дает:

(1.27)

Проецируя это уравнение на каждый собственный вектор | у/)у находим, что:

C„(t) = спе'4'

Таким образом, если мы знаем разложение функции состояния в момент времени

І = 0, то мы будем знать функцию состояния в любой последующий момент времени І.

(1.29)

Такого типа разложение может быть обобщено на случай базиса с набором из вырожденных собственных состояний и, или состояний, образующих континуум. Такое обобщение достигается однако за счет большего усложнения, поэтому на некоторое время мы ограничимся его использованием только в тех случаях, когда без него нельзя обойтись.