Расчет стационарных состояний для одномерного потенциала
Рассмотрим одномерное пространство с координатой х и предположим, что ограничивающий потенциал V (х) таков, что У(х) > 0 во всем пространстве и V (х) —»0
При л; —> ±оо. В координатном представлении стационарное одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний может быть записано в виде:
--Г— 4т¥п(х) + И*) - Еп]у/„(х) = 0 (1.30)
2те ах
Стационарное уравнение Шредингера в координатном представлении
Напомним, что неизвестными являются собственные значения Еп и волновые функции стационарного состояния у/п. Для каждой величины Еп уравнение (1.30) является дифференциальным уравнением второго порядка. Мы можем показать, что решения этого уравнения являются непрерывными во всем пространстве равно, как и их первые производные. Эти два условия с учетом требования нормировки всех физических состояний приводят к квантованию энергии, т. е к существованию дискретных энергетических уровней. Таким образом именно волновая природа волновых функций в сочетании с требованиями по интегрируемости и непрерывности приводят к квантовой природе энергетических уровней. Проиллюстрируем это утверждение конкретным примером, который играет принципиальную роль в остальной части книги, а именно — примером квантовой ямы.
