Оптоэлектроника

Спонтанная эмиссия в полупроводниковых лазерах

При предыдущем рассмотрении мы пренебрегали влиянием спонтанной эмиссии на характеристики полупроводниковых лазеров. В связи с тем, что полупроводники обеспечивают большое усиление, имеет место и значительное усиление спонтан­ной эмиссии (что называется А8Е или усиленной спонтанной эмиссией). В свою оче­редь, оказывается, что А8Е играет фундаментальную роль в определении основных характеристик лазерных диодов. В связи с этим настоящий раздел посвящен иссле­дованию влияния этого эффекта на функционирование лазерного диода.

Система уравнений (13.69) описывает связь между концентрацией носителей п и плотностью фотонов 5 в резонаторе. Как мы отмечали в разделе 4.А, для учета спонтанной эмиссии, нам необходимо только добавить член (независимый от чис­ла фотонов 5) для дополнительной скорости /?зроп генерации фотонов. В этом случае уравнение (13.69) принимает вид:

(13.Д.1)

Скорость излучательной рекомбинации была рассчитана в главе 7 и дается уравнением (7.61): /?5роп = у п. Здесь ^роп есть скорость спонтанной эмиссии, определяемая узроп = Вр, где р (= п, если мы по-прежнему считаем, что излучатель - ная рекомбинация имеет место в нелегированной области) есть концентрация дырок, а В — коэффициент бимолекулярной рекомбинации. Тем не менее, мы должны учесть, что не все фотоны, излученные в активной области переходят в волноводные моды (смотрите рис. 13.Д.1). Только доля /? спонтанно излученных фотонов (называемых коэффициентом спонтанной эмиссии) переходит в волновод и усиливается. Расчет для получения этого коэффициента (3 достаточно сложен и не является достаточно надежным. В связи с этим, общепринятая практика заключа­ется в том, чтобы рассматривать у3 в качестве подбираемого параметра (т. е. опреде­ляемого согласованием кривых), при этом его величина лежит в диапазоне между 10~4 и 10~5 для реберных волноводных лазеров.

Волноводный слой

Активный слой

У

Волноводный слой

Рис. 13.Д.1. Только ЛИШЬ часть /? излученных структурой фотонов переходит в волно­водную моду и испытывает усиление.

В стационарном состоянии выражение (13.Д.1) определяет концентрации элек­тронов и фотонов:

D

Spon____________ _ Р__________

Tc'g(n-nu) Yc

Ус ~ 1 CW -К) Ус -Гс'«(и-и, г)

J (13. Д.2)

---- = У,О," + c'g(/J - и„)5

Qd

Первое их этих двух уравнений является особенно полезным и оно отражает тот факт, что лазерные колебания возникают из спонтанной эмиссии, как только усиление превысит резонаторные потери. В этом случае пороговая концентрация «threshold дается выражением:

(13.Д-3)

Второе уравнение в (13.Д.2) может быть выражено более кратко за счет введе­ния безразмерных переменных:

Х = —; у = и а - A2thrgs-|10ld = 1 + —— "tr К К TcgA2tr

Здесь /1г= цс1ушпх — плотность тока прозрачности. Таким образом, мы устанавлива­ем четкую связь между концентрацией носителей и током накачки, которая может быть записана в компактном виде:

Р х(х -1)

У = х + ^Л—-

Г а - х

Здесь г] — квантовая эффективность, определяемая как г) = У5роп/У^ = ^оУ^роп* Для того, чтобы найти зависимость 5(У) плотности фотонов от тока накачки, нам необ­ходимо только решить это уравнение и подставить его в первое уравнение (13.Д.2), что дает:

S = nitp(a -1)2*»

(13.Д.6)

Ус ос-х

Уравнения (13.Д.5) и (13.Д.6) являются двумя параметрическими уравнениями по х, которые позволят нам рассчитать характеристики 5(У). Если /3 = 0, то мы вновь получаем характеристику лазерного диода, подробно описанную в главе 13, в соот­ветствии с которой концентрация носителей п увеличивалась пропорционально электрическому току / = ду1о1с! п в области ниже порога и резко фиксировалась на уровне п = пи в области выше порога. Если /3 ф 0, то зависимость носит более плавный характер, описываемый рисунком 13.Д.2.

J/Ju

Рис. 13.Д.2. Изменение плотности фотонов S (нормированной к пороговой концент­рации носителей пи) в функции плотности тока накачки (нормированной к плотности тока прозрачности /tr) для различных значений коэффициен­та спонтанной эмиссии Д Другие используемые параметры приведены в примере, который приводится ниже.

Пример---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Кривые на рис. 13.Д.2 были рассчитаны в предположении квантовой эффективности т/ = 0,5, резонаторного времени жизни г = 2 пс, времени жизни спонтанной эмиссии rspon = 2 не, коэффициента ограничения Г = 0,5, концентрации носителей в режиме прозрачности Пи =1,25 х 1018 см-3 и динамического усиления G =2,5 х 10-16 см2 или А= 1,352. Программа MATHEMATICA, приводимая ниже, может быть использова­на для получения лазерных характеристик ниже порога.

Beta=.;gamma =0>5;tauc=1/2(2.10,'-12);taus=1/(2.10''-9); eta=0.5;g=2.5 10~-16;ntr =1.25 10" 18;nop=3.3; c’=3.10Vnop;

Alpha =1+tauc/(gamma)*c’*g*ntr);

R=taus/tauc;

Betap=(alpha —1 )*R;

Eq1 =yp = = alpha*zp/(zp+betap)+beta/betap*zp*

(alpha*zp/(zp+betap)-1 ) sol=Last[Solve[eq1 ,zp)]; t=zp/.sol;

Needs[ “Graphics’Graphica”’]

Beta =10" 1-4;

Plotl = LogPlot[t,{yp,.01,2}] beta =10~-3; plot2=LogPlot[yp,.01,2] beta=10~-5;

Plot 3=LogPlot[t,{yp,.01,2]

Show[plot1 ,plot2,plot3]

Рисунок 13.Д.2 может быть интерпретирован следующим образом: ниже порога фотоны спонтанно переходят в волноводную моду резонатора (в этом режиме ла­зерный диод ведет себя как СИД). Выше порога плотность фотонов существенно возрастает (как это описывалось ранее в дополнении 4.А). Более того, как видно из рисунка 13.Д.2 пороговый эффект становится все более мягким по мере того, как коэффициент Р стремится к 1.

Эта картина была еще более уточнена Yamamoto с сотрудниками. Этот автор отметил, что само по себе динамическое усиление g дается g = PS/rspon, где S есть площадь поверхности образца. При подстановке этого выражения в (13.Д.5) и (13.Д6) ему удалось показать, что по мере того, как /3 стремится к 1, лазерный порог стре­мится к нулю. Из этого наблюдения возникала концепция лазера с нулевым порогом, в котором все спонтанно излученные фотоны дают вклад в лазерную эмиссию в режиме усиления.

Представляется интересным использовать настоящую модель для описания многомодового характера полупроводниковых лазеров вблизи порога. Для этого предположим, что в резонаторе одновременно существует т мод. Эти моды харак­теризуются межмодовым частотным интервалом Avcav = cf/2L. Таким образом, каж­дая из т мод описывается уравнением типа (13.Д.1) с учетом дополнительной воз­можности, что параметры g и р изменяются в соответствии с модовым коэффици­ентом преломления:

Dn J v1 / /

= C'Smsm(n - Or - YcK + PmySpoi

Лазерные уравнения для однородного усиления

Отметим, что в этих уравнениях все моды характеризуются одной и той же инверсией заселенности п, которая, по определению, означает, что лазерная среда предполагается однородной. Предположим, что кривая усиления имеет вид лорен - циана, смотрите рис. 13.Д. З:

(13.Д.8)

Очевидно, как это следует из глав 7 и 13, полупроводниковые усиливающие среды по своей природе обладают более сложными кривыми усиления. Таким об­разом, эта формула предлагает лишь аппроксимацию более точной ситуации (в то же время она достаточно хорошо согласуется с экспериментом). При записи пол - Усиление

Ного числа мод в виде 2М+ 1 (при М= Ау/АуСяу), т. е. для тех мод, для которых £ > О, уравнение (13.Д.8) дает коэффициенты усиления для каждой из мод т (где т изме­няется от — М до + М):

1-І — М

(13.Д.9)

Система уравнений (13.Д.7) может быть решена точно таким же образом, как и до сих пор, что приводит к точному выражению для нормированной плотности тока у =///1г в функции нормированной концентрации носителей х = п/п{

У = X + р — х(х Г

(ІЗ. Д.ІОа)

В предположении, что 2М + 1 мод могут стремиться к бесконечности, это пос­леднее уравнение может быть записано иначе в виде:

(13.Д.106)

'V ~ Є _

(13.Д. Ш)

При этом є определяется как:

(13.Д.12)

Здесь 50 есть плотность фотонов в максимуме кривой усиления, определяемая (13.Д.6) или: >3,

Таким образом, интенсивность поперечных мод спадает до нуля по сравнению с интенсивностью центральной моды. Такой характер зависимости воспроизводит­ся экспериментально и приводится на рис. 13.Д.5.

Пример---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Как развитие предыдущего примера программа MATHEMATICA, приведенная ниже, может быть использована для расчета характеристик многомодового лазера в фун­кции тока накачки вблизи порога.

М=10; beta=1CT-3; x=alpha-u; z=betap*(alpha/u-1); eps=Sqrt[u/ (alpha-1 - u)];

Y=Abs[x+2*beta*((1+eps~2)/eps*ArcTan[1/eps]-1)];

M=1;

Z1=z*1/(1+((x-1)/(alpha-x)*(m/M)''2)); tableyl =Table[{y, z1}, {u, 1СГ-6,1СГ-4,10^-6}]; tabley2=Table[{y, z1}, {u, 1СГ-4,1СГ-2,10Л-4}]; taabley3=Table[{y, z1}, {u, 1СГ-2,1., 1СГ-2} ]; tablep=Join[tableyp1,tableyp2,tableyp3]; p2=LogListPlot[tablepy]