Оптоэлектроника

Постулаты квантовой механики

Рассмотрим электрон с зарядом q и массой те в поле обобщенного потенциала вида У(г, /), изменяющегося в трехмерном пространстве г и времени /. Квантовая меха­ника утверждает, что понятие классической траектории теряет свой смысл в том случае, когда интервал изменения потенциала имеет тот же порядок величины, что и длина волны де Бройля (Дов), которая дается соотношением:

, _ 2 жП _ 1,23 (нм ) „ 1Ч

Ясв тпг) ’ ил)

Где к — постоянная Планка (1,04 х 10-34 Дж с), V— средний потенциал, воздействую­щий на частицу, а Е — энергия частицы. В дальнейшем мы увидим, что в кристалли­ческом твердом теле, где электроны находятся под воздействием пространственно изменяющихся потенциалов амплитудой порядка 5 эВ (1 эВ = 1, 6 х 10-19 Дж), их длина волны де Бройля оказывается порядка 0,5 нм. Так как эта величина соот­ветствует межатомному расстоянию между атомами кристаллической решетки, можно ожидать, что электроны проводимости в такой среде будут проявлять ин­терференционные эффекты, характерные для механики волнового движения. Эти эффекты (рассматриваемые в главе 5) являются фактором, приводящим к возник­новению запрещенных зон в полупроводниках, и их трудно рассмотреть, исполь­зуя классические теории, основанные на понятии строго заданных траекторий.

Квантовая механика утверждает, что от идеи траектории мы должны перейти к более тонкому описанию с использованием понятий квантовых состояний и волно­вых функций. В этом случае состояние электрона представляется вектором состоя­ния, изменяющимся во времени /. Один из наиболее сильных постулатов кванто­вой механики заключается в том, что все эти векторы состояния перекрывает гиль­бертово пространство. Например, существование линейных комбинаций состояний (что приводит к таким важнейшим следствиям, как молекулярная стабильность, запрещенные зоны и т. д.) является прямым следствием этого постулата. Это век-

Торное пространство обладает характеристиками эрмитового скалярного произве­дения, физическое значение которого будет раскрыто позже. Используем дираков - ские обозначения для представления скалярного произведения двух векторных со­стояний ц/х) и ц/2) в виде {Щ 1/гг). Теперь вспомним свойства эрмитового скалярного произведения:

{<t>v) = {w И*

{фау/, + Яy2) = а(ф| w,) + Р{Ф |г2) (1.2)

(аф1 + = а * (ф, уг) + Я * (ф2уг)

Где {у/у/) являются действительными, положительными числами, равными нулю только, если | у/) =0, а звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения. По определению физическое состояние нормируется на единицу, что означает | описывает физическое состояние, если:

(^(0к(')) =1 о-3)

В гильбертовом пространстве действует ряд линейных операторов. Второй по­стулат квантовой механики заключается в том, что классически измеряемые вели­чины такие, как положение, энергия и т. п. представляются эрмитовыми операто­рами А (т. е. операторами, для которых справедливо соотношение А* = А, где сим­вол * означает эрмитово сопряжение), которые называются наблюдаемыми, при этом результатом измерения такой наблюдаемой может быть только одно из собствен­ных значений, связанных с этой наблюдаемой. Если ансамбль собственных значе­ний наблюдаемой А образует дискретный набор, в этом случае набор всех возмож­ных измерений системы дается ап решениями уравнения на собственные значения:

Ау/) = апу/) (1.4)

Поскольку операторы наблюдаемых величин являются эрмитовыми, из этого следует, что их собственные значения являются обязательно реальными числами в соответствии с таким общеизвестным фактом, что результатом физического изме­рения является реальное число. Определим также коммутатор двух операторов А и В в соответствии с соотношением:

[А, В]=АВ-ВА (1.5)

Можно показать, что если два оператора коммутируют (т. е. если их коммута­тор равен нулю), то они одновременно обладают полным набором собственных

Векторов. Заслуживающим внимания следствием этого является то, что существу­ют физические состояния, для которых результаты измерения обоих этих наблю­даемых (А и В) могут быть наверняка получены одновременно, так как они пред­ставляют их общие собственные состояния.

Если базис ортонормированных собственных векторов наблюдаемой А является полным, то любое физическое состояние y/(t)) электрона может быть описано в виде линейной комбинации собственных векторов следующим образом:

K(0>= X с-<ок,> (1б)

Где коэффициенты сп даются соотношением:

С„(0 = (w„ k(0) (1.7)

Вероятностная интерпретация квантовой механики утверждает, что квадрат моду­ля этих коэффициентов cn(t)2 дает вероятность нахождения электрона в состоянии | у/) в момент времени /, означая, что измерение наблюдаемой А в этот момент даст вели-

Чину ап с вероятностью сп(і)2. Следующий постулат заключается в том, что непосред­ственно после осуществления измерения наблюдаемой А функция состояния опреде­ляется полностью одним из собственных состояний наблюдаемой А (т. е. сп(() = 1 или М В том случае, когда собственная величина является вырожденной, функция

Состояния после измерения ограничена подпространством, задаваемым вырожденны­ми собственными значениями. Последний постулат, который еще является предметом интенсивных исследований, необходим для когерентности квантовой механики.

Таким образом, из вероятностной интерпретации следует, что в общем случае мы не можем знать наверняка результат измерения. В то же время мы можем полу­чить информацию по средней величине наблюдаемой А по результатам статически значительной выборки независимых измерений. Эта величина будет соответство­вать средней величине всех возможных результатов измерений ап наблюдаемой, при этом каждый результат берется с весовым множителем, равным соответствую­щей вероятности сп(і)2 нахождения системы в собственном состоянии | у/), связан­ном с собственной величиной

(Л)(0 = ^Гл„| Сп(^' (1-8)

Эта средняя величина может быть легко найдена из соотношения:

{А )(?) = (?)Ау/ (О) (1-9)

Некоторые из наблюдаемых могут быть векторными, как например, операторы положения в пространстве координат г = (х, у, г) и импульса р. Для этих операторов собственные значения принадлежат континууму величин. Таким образом, собствен­ный вектор |г) оператора положения г интерпретируется как вектор, описывающий состояние системы как только измерение положения привело к конкретной вели­чине г. В этом случае мы можем сказать, что частица с определенностью может быть найдена в точке г. Разложение вектора состояния по конкретному базису соб­ственных векторов называется представлением. Одним из важных представлений является проецирование вектора состояния на собственные состояния оператора положения г. Каждая компонента такого проецирования является волновой функ­цией у (г, ґ), даваемой соотношением:

Иг, О = 1^(0) О-10)

Возвращаясь назад к вероятностной интерпретации квантовой механики, мы видим, что квадрат модуля волновой функции ifAj, /)|2 дает вероятность нахождения электрона в точке г в момент времени /. Более того, в координатном представлении внутреннее произведение 2 состояний у/х) и у/2) может быть записано в виде:

(г. |г2) = |гГ(г)г2(г)^3г (1-11)

Где интеграл берется по всему пространству. Наконец, эволюция состояния систе­мы со временем дается уравнением Шредингера:

Ій|-|^(0>= н (0И0) (1-12)

О і

Уравнение Шредингера

Где Н (0 — гамильтониан системы, который при его интерпретации как наблю­даемой соответствует энергии[1] системы. Общее выражение этого оператора имеет вид:

Н(і) = ^ + У(г, і) (1.13)

2те

Гамильтониан частицы массой т в поле потенциала V

Где р — оператор импульса. В координатном представлении (т. е. при проецирова­нии на собственные векторы оператора положения |г)) принцип соответствия при­водит к следующему выражению для оператора р:

_э_

Эх _д_ дУ д_ Эг

При этом в координатном представлении результат его действия на волновую фун­кцию (//(г, /):

ИМ)

Эх

(г|р|г(0) = рИі‘,0 = у

Это соответствие является следствием требования, чтобы оператор 0, действующий на материальные волны де Бройля ( е|кг) приводил к соответствующей собственной величине импульса р = Ш, то есть удовлетворяющей соотношению де Бройля. Таким образом оператор р принимает вид (Й / І)У.

Операторы положения и импульса связаны друг с другом важными коммутаци­онными соотношениями:

Э э э

*

З - + у Т" ^г> ^ + ^г>ґ)

Дх ду

Р г У4г, 0 = * [х^г, /)] + ^- ууНх, + [іуНх, /)]}

1 I Эх ду Ді

Из которых мы получаем соотношение коммутации:

Л Л

(1.18)

Антикоммутация наблюдаемых положения и импульса, приводящая к первому из соот­ношений неопределенности Гейзенберга

Основной вывод из отмеченных выше свойств коммутирующих наблюдаемых заключается в том, что некоммутирующие наблюдаемые не могут обладать общим базисом из набора собственных векторов. Таким образом, ни наблюдаемая положе­ния, ни наблюдаемая импульса не могут быть известны одновременно с произволь­ной точностью. Это — первый принцип неопределенности Гейзенберга, который, как может быть показано, приводит к следующим соотношениям между неопреде­ленностью импульса и положения:

АхАрх > h / 2 Ay Ар у > h / 2

AzApz > h / 2

Возвращаясь к уравнению Шредингера в координатном представлении, теперь мы можем записать:

ІП цг(г, t) = - - ї— Д y/(r, t) + К(г, t)y/(r, t)

Dt 2 тв

Где А — оператор Лапласа ((д2/дх2) - I - (Э2/ЭУ) + (Э2/Эг2)). Как только заданными явля­ются временная и пространственная эволюция потенциала, становится возмож­ным, в принципе, рассчитать эволюцию вероятности в структуре. Отметим, что это уравнение сохраняет нормировку функции, что согласуется с тем фактом, что каж­дое физическое состояние переходит в пространстве и времени к некоторому дру­гому физическому состоянию.