Постулаты квантовой механики
Рассмотрим электрон с зарядом q и массой те в поле обобщенного потенциала вида У(г, /), изменяющегося в трехмерном пространстве г и времени /. Квантовая механика утверждает, что понятие классической траектории теряет свой смысл в том случае, когда интервал изменения потенциала имеет тот же порядок величины, что и длина волны де Бройля (Дов), которая дается соотношением:
, _ 2 жП _ 1,23 (нм ) „ 1Ч
Ясв тпг) ’ ил)
Где к — постоянная Планка (1,04 х 10-34 Дж с), V— средний потенциал, воздействующий на частицу, а Е — энергия частицы. В дальнейшем мы увидим, что в кристаллическом твердом теле, где электроны находятся под воздействием пространственно изменяющихся потенциалов амплитудой порядка 5 эВ (1 эВ = 1, 6 х 10-19 Дж), их длина волны де Бройля оказывается порядка 0,5 нм. Так как эта величина соответствует межатомному расстоянию между атомами кристаллической решетки, можно ожидать, что электроны проводимости в такой среде будут проявлять интерференционные эффекты, характерные для механики волнового движения. Эти эффекты (рассматриваемые в главе 5) являются фактором, приводящим к возникновению запрещенных зон в полупроводниках, и их трудно рассмотреть, используя классические теории, основанные на понятии строго заданных траекторий.
Квантовая механика утверждает, что от идеи траектории мы должны перейти к более тонкому описанию с использованием понятий квантовых состояний и волновых функций. В этом случае состояние электрона представляется вектором состояния, изменяющимся во времени /. Один из наиболее сильных постулатов квантовой механики заключается в том, что все эти векторы состояния перекрывает гильбертово пространство. Например, существование линейных комбинаций состояний (что приводит к таким важнейшим следствиям, как молекулярная стабильность, запрещенные зоны и т. д.) является прямым следствием этого постулата. Это век-
|
Торное пространство обладает характеристиками эрмитового скалярного произведения, физическое значение которого будет раскрыто позже. Используем дираков - ские обозначения для представления скалярного произведения двух векторных состояний ц/х) и ц/2) в виде {Щ 1/гг). Теперь вспомним свойства эрмитового скалярного произведения:
{<t>v) = {w И*
{фау/, + Яy2) = а(ф| w,) + Р{Ф |г2) (1.2)
(аф1 + = а * (ф, уг) + Я * (ф2уг)
Где {у/у/) являются действительными, положительными числами, равными нулю только, если | у/) =0, а звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения. По определению физическое состояние нормируется на единицу, что означает | описывает физическое состояние, если:
(^(0к(')) =1 о-3)
В гильбертовом пространстве действует ряд линейных операторов. Второй постулат квантовой механики заключается в том, что классически измеряемые величины такие, как положение, энергия и т. п. представляются эрмитовыми операторами А (т. е. операторами, для которых справедливо соотношение А* = А, где символ * означает эрмитово сопряжение), которые называются наблюдаемыми, при этом результатом измерения такой наблюдаемой может быть только одно из собственных значений, связанных с этой наблюдаемой. Если ансамбль собственных значений наблюдаемой А образует дискретный набор, в этом случае набор всех возможных измерений системы дается ап решениями уравнения на собственные значения:
Ау/) = апу/) (1.4)
Поскольку операторы наблюдаемых величин являются эрмитовыми, из этого следует, что их собственные значения являются обязательно реальными числами в соответствии с таким общеизвестным фактом, что результатом физического измерения является реальное число. Определим также коммутатор двух операторов А и В в соответствии с соотношением:
[А, В]=АВ-ВА (1.5)
Можно показать, что если два оператора коммутируют (т. е. если их коммутатор равен нулю), то они одновременно обладают полным набором собственных
Векторов. Заслуживающим внимания следствием этого является то, что существуют физические состояния, для которых результаты измерения обоих этих наблюдаемых (А и В) могут быть наверняка получены одновременно, так как они представляют их общие собственные состояния.
Если базис ортонормированных собственных векторов наблюдаемой А является полным, то любое физическое состояние y/(t)) электрона может быть описано в виде линейной комбинации собственных векторов следующим образом:
K(0>= X с-<ок,> (1б)
Где коэффициенты сп даются соотношением:
С„(0 = (w„ k(0) (1.7)
Вероятностная интерпретация квантовой механики утверждает, что квадрат модуля этих коэффициентов cn(t)2 дает вероятность нахождения электрона в состоянии | у/) в момент времени /, означая, что измерение наблюдаемой А в этот момент даст вели-
Чину ап с вероятностью сп(і)2. Следующий постулат заключается в том, что непосредственно после осуществления измерения наблюдаемой А функция состояния определяется полностью одним из собственных состояний наблюдаемой А (т. е. сп(() = 1 или М В том случае, когда собственная величина является вырожденной, функция
Состояния после измерения ограничена подпространством, задаваемым вырожденными собственными значениями. Последний постулат, который еще является предметом интенсивных исследований, необходим для когерентности квантовой механики.
Таким образом, из вероятностной интерпретации следует, что в общем случае мы не можем знать наверняка результат измерения. В то же время мы можем получить информацию по средней величине наблюдаемой А по результатам статически значительной выборки независимых измерений. Эта величина будет соответствовать средней величине всех возможных результатов измерений ап наблюдаемой, при этом каждый результат берется с весовым множителем, равным соответствующей вероятности сп(і)2 нахождения системы в собственном состоянии | у/), связанном с собственной величиной
Эта средняя величина может быть легко найдена из соотношения:
{А )(?) = (?)Ау/ (О) (1-9)
Некоторые из наблюдаемых могут быть векторными, как например, операторы положения в пространстве координат г = (х, у, г) и импульса р. Для этих операторов собственные значения принадлежат континууму величин. Таким образом, собственный вектор |г) оператора положения г интерпретируется как вектор, описывающий состояние системы как только измерение положения привело к конкретной величине г. В этом случае мы можем сказать, что частица с определенностью может быть найдена в точке г. Разложение вектора состояния по конкретному базису собственных векторов называется представлением. Одним из важных представлений является проецирование вектора состояния на собственные состояния оператора положения г. Каждая компонента такого проецирования является волновой функцией у (г, ґ), даваемой соотношением:
Возвращаясь назад к вероятностной интерпретации квантовой механики, мы видим, что квадрат модуля волновой функции ifAj, /)|2 дает вероятность нахождения электрона в точке г в момент времени /. Более того, в координатном представлении внутреннее произведение 2 состояний у/х) и у/2) может быть записано в виде:
(г. |г2) = |гГ(г)г2(г)^3г (1-11)
Где интеграл берется по всему пространству. Наконец, эволюция состояния системы со временем дается уравнением Шредингера:
О і
Уравнение Шредингера
Где Н (0 — гамильтониан системы, который при его интерпретации как наблюдаемой соответствует энергии[1] системы. Общее выражение этого оператора имеет вид:
|
Н(і) = ^ + У(г, і) (1.13)
2те
Гамильтониан частицы массой т в поле потенциала V
Где р — оператор импульса. В координатном представлении (т. е. при проецировании на собственные векторы оператора положения |г)) принцип соответствия приводит к следующему выражению для оператора р:
_э_
(1.14) |
Эх _д_ дУ д_ Эг
При этом в координатном представлении результат его действия на волновую функцию (//(г, /):
(1.15) |
ЭУ О Эг |
(г|р|г(0) = рИі‘,0 = у
Это соответствие является следствием требования, чтобы оператор 0, действующий на материальные волны де Бройля ( е|кг) приводил к соответствующей собственной величине импульса р = Ш, то есть удовлетворяющей соотношению де Бройля. Таким образом оператор р принимает вид (Й / І)У.
Операторы положения и импульса связаны друг с другом важными коммутационными соотношениями:
*
Гр^(г,0 = т |
(1.16) |
З - + у Т" ^г> ^ + ^г>ґ)
(1.17) |
Р г У4г, 0 = * [х^г, /)] + ^- ууНх, + [іуНх, /)]}
1 I Эх ду Ді
Из которых мы получаем соотношение коммутации:
Л Л
(1.18)
Антикоммутация наблюдаемых положения и импульса, приводящая к первому из соотношений неопределенности Гейзенберга
Основной вывод из отмеченных выше свойств коммутирующих наблюдаемых заключается в том, что некоммутирующие наблюдаемые не могут обладать общим базисом из набора собственных векторов. Таким образом, ни наблюдаемая положения, ни наблюдаемая импульса не могут быть известны одновременно с произвольной точностью. Это — первый принцип неопределенности Гейзенберга, который, как может быть показано, приводит к следующим соотношениям между неопределенностью импульса и положения:
(119) |
АхАрх > h / 2 Ay Ар у > h / 2
AzApz > h / 2
Возвращаясь к уравнению Шредингера в координатном представлении, теперь мы можем записать:
(1.20) |
ІП цг(г, t) = - - ї— Д y/(r, t) + К(г, t)y/(r, t)
Dt 2 тв
Где А — оператор Лапласа ((д2/дх2) - I - (Э2/ЭУ) + (Э2/Эг2)). Как только заданными являются временная и пространственная эволюция потенциала, становится возможным, в принципе, рассчитать эволюцию вероятности в структуре. Отметим, что это уравнение сохраняет нормировку функции, что согласуется с тем фактом, что каждое физическое состояние переходит в пространстве и времени к некоторому другому физическому состоянию.