Оптоэлектроника

Поле излучения осциллирующего заряда: калибровка Лоренца

Покажем теперь, каким образом уравнения Максвелла—Лоренца позволяют рас­считать мощность электромагнного поля, излучаемого осциллирующим зарядом. Такой расчет важен по нескольким причинам. Во-первых, с точки зрения истори­ческой перспективы эта теория потерпела неудачу в попытке объяснить стабиль­ность атома водорода и проложила еще один путь к формированию квантовой меха­ники. Она продемонстрировала также внутреннюю связь между движением заряжен­ных частиц и светом, что помогло Лоренцу, Пуанкаре и Эйнштейну встать на путь, ведущий к теории относительности. И наконец, зависимость мощности излучения от длины волны имеет и технические следствия там, где диффузный характер процесса имеет место, например в оптических волокнах, атмосферных процессах и т. д.

Рассмотрим заряженную частицу, расположенную в начале координат точке О и подвергнутую малому смещению ге(0 около точки О (см. рис. 2.А.1).

Вспомним уравнения Максвелла—Лоренца:

Ге(0 А(г, I)

Точечный

Источник

Вместо того чтобы использовать Фуре-преобразование, которое наилучшим образом подходит для рассмотрения плоских волн, мы попробуем отыскать диф­ференциальные уравнения, которым должны удовлетворять скалярный и вектор­ный потенциалы. Для этого подставим (2.А. Зб) в уравнение Пуассона (2.А.1я), что дает:

Ч2и+^-(Ч А) = -^- (2.А.4)

Э? £0

Подобным же образом, вводя (2.А. За) и (2.А. Зб) в уравнение Фарадея—Ампера (2.А.1г), получаем:

|тА-*;И+^ <2А-5>

Теперь применим классическое векторное тождество к А и V:

А х (Ь х с) = (а • с)Ь - (а • Ь)с (2.А.6)

Что позволяет записать (2.А.5) в виде:

1

(2.А.7)

Ос

Поскольку векторный потенциал определен с точностью до градиента по­тенциала, можно показать, что мы можем воспользоваться этой степенью сво­боды для введения калибровки, называемой лоренцовской калибровкой, в рамках которой векторный и скалярный потенциалы связаны друг с другом соотноше­нием:

У-А^=0 (2.А.8)

1 с2 Э/

Лоренцовская калибровка

Эта калибровка особенно удобна для рассмотрения проблем излучения. В са­мом деле, (2.А.7) сильно упрощается, так как прямо связывает одиночный вектор­ный потенциал А с движением заряда, создавшего его:

-У2А^— ^-Аг. =— * (2.А.9)

1 с2 д(2 1 е0с* ' ’

Решения этого дифференциального уравнения известны, соответствуют потен­циалу задержки и могут быть записаны в виде:

'ГЛ1,2. АЛО)

4яе0с I К - г |

Сделаем теперь несколько упрощающих предположений:

• смещение ге(0 частицы мало по сравнению с расстоянием наблюдения. Таким образом, при оценке векторного потенциала объем интегрирования может рассмат­риваться как точечный по отношению к расстоянию г.

• смещение источника мало в сравнении с длиной волны излучения, что является другим выражением условия, когда движение частицы является нерелятивистским.

В этом случае уравнение (2.А. 10) сразу упрощается:

А^г> ') = 7—Ц - [ /г'> * ~ -]с13г' (2.А. Ш)

Але„с2г ^ с )

Где г — амплитуда вектора г, что с учетом определения плотности тока точечного заряда (2.А.6) приводит к выражению:

Так как г2 = х2 + у2 + і2- Подобным же образом: V • [Г)(>-г/с)) = - Ь(1-г/ с)?(-) = -0(/ - г/с) — Iе) гс Теперь мы уже можем рассчитать дивергенцию векторного потенциала для (2.11 б):

Ї>(/ - Г / с) - г / с) Г3 г2с

(2. А. 13)

Э/ 4

Отношение первого члена в скобках (2.А. 13) к второму члену по порядку вели­чины составляет ге/г и им можно пренебречь. В этом случае уравнение (2.А. 13) легко интегрируется, что с точностью до константы приводит к соотношению:

(2.А.14)

Используя эти выражения для векторного и скалярного потенциалов в лорен - цовской калибровке, мы можем рассчитать электрическое и магнитное поля. Магнитное поле дается ротором векторного потенциала:

Где вновь первым членом можно пренебречь по сравнению со вторым, что позволя­ет нам записать:

Г •!)(/--г/с)
Е(г, 0 = ~А(г, /)-У^(г, /) = - ді < 1 0(/-г/с) 1 Г
4я£пС
(2. А. 17)
4яє0с2	4ле0с

Что в конце концов дает:

Или, как это было получено Рэлеем:

Е(г, /) = -

Электрическое поле движущегося заряда

Где — компонента вектора диполя, перпендикулярная направлению точечного источника (рис. 2.А.2). Заметим, что амплитуда излучаемого электрического поля совпадает с расстоянием 1 /г, а не 1/г2, что характерно для статического поля точеч­ного заряда. По этой причине радиоволны обладают существенно большим диапа­зоном распространения по сравнению с электростатическим полем — этот резуль­тат восхитил Герца и привел, в конце концов, к развитию радиосвязи. К следстви­ям этого мы возвратимся позже. Как известно, электрическое и магнитное поля перпендикулярны друг другу и по отношению к вектору распространения г. Говоря более точно, они связаны друг с другом соотношением:

В(г,0 = - ГХ-Е(Г, Г) (2.А.19)

С г

Поток энергии, излучаемой точечным зарядом через единицу площади в еди­ницу времени, дается вектором Пойнтинга в:

В(г,0 = — ЕхВ = — Ех(гхЕ) = — [£2г-(Е г)Е] Мо Моге цйгс

Поскольку Е и г перпендикулярны друг другу, уравнение (2.А.20) может быть записано в виде:

-Ч (2.А.21)

4 jcEqC* 4кг

Поток энергии через единицу площа­ди в единицу времени, излучаемой движущимся точечным зарядом

Где ur — единичный вектор в направлении точечного источника. Выражение (2.А.21) содержит обильную информацию. Можно представить себе поток излучаемой энер­гии как будто истекающим из точечного источника со скоростью света при сохра­нении полной величины, проинтегрированной по поверхности сферы радиусом г и с центром в источнике.

Применим теперь этот общий результат к частному случаю заряда q9 движуще­гося синусоидально вдоль оси Oz. В этом случае вектор диполя дается выражением:

D±(r, t) = qa cos(cot)ez (2.A.22)

При этом вектор Пойнтинга принимает вид:

S(r, t) = gW, cos’.fl*rin».gJL. (2.А.23)

4ле0с34лг2 4 яг2

Поток энергии, усредненный по нескольким периодам, дается соотношением:

GW sin^

32 /Г2£0С3 г2

Ансамбли этих точек постоянной энергии (таких, для которых sin в /г остается неизменным) расположены вдоль окружностей, касающихся осциллирующего ди­поля (см. рис. 2.А. З).

Из-за того, что излучение диполя является достаточно направленным, интен­сивность поля спадает как 1 /г, а не как 1/г2.

Мощность, излучаемую через поверхность сферы с центром в осциллирующем заряде, можно получить, оценивая интеграл по поверхности от (2.А.24), что дает:

(2.А.25)

32я! е0с} J г>

Г - const

Или после интегрирования:

Р-^ (2.А.26)

12яе0с3

Полная мощность излучения осциллирующего диполя

Это выражение также содержит богатую информацию. Оно, например, показы­вает, что мощность излучения осциллирующего диполя пропорциональна четвертой степени частоты. Таким образом, голубой свет (Л » 0,4 мкм) рассеивается атмосфер­ными частицами примерно в шесть раз сильнее, чем красный свет (Л « 0,65 мкм). Это объясняет, почему небо голубое, а закат кажется окрашенным в красный цвет, а также почему голубая неоновая реклама формирует яркое гало туманными вече­рами. Говоря более прозаически, оно дает основу метода расчета времен жизни электронов на атомных уровнях.

То, что (2.26) говорит нам, заключается в следующем: электроны теряют свою энергию из-за электромагнитного излучения, и их движение в конце концов должно прекратиться. Природа этого эффекта заключается в работе, совершаемой движущей­ся заряженной частицей в электромагнитном поле, которое она сама создала! Для опи­сания этого эффекта введем в выражение для диполя член трения ук (равный /тю где тк — излучательное время жизни), соответствующий радиационным потерям:

Ті + т ук1 + тсо2і = 0

Мы знаем, что если тк » 1/я>, решения для описания движения принимают вид

I =асо$М е"'/2г, при этом энергия частицы уменьшается как Ее~‘/Т*. В этом случае тя дается соотношением:

(2.А.28)

Где Р дается выражением (2.А.26), а энергия частицы определяется из соотношения:

(2.А.29)

Таким образом, мы получаем излучательное время жизни осциллирующего элек­трона, окружающего атом:

6 яє0с3т д2о)2

Излучательное время жизни электро­на, осциллирующего с частотой со

Что, будучи выражено через длину волны, дает:

(2.А.31)

Излучательное время жизни электрона, излучающего электро­магнитную волну с длиной волны Л

Выражение (2.А.31) позволяет нам понять отчаяние физиков в конце девятнад­цатого века. Поскольку, как представлялось, электроны орбитально вращаются вокруг атомных ядер с частотами порядка 1015 Гц, выражение (2.31) показывает, что все они должны тормозить до остановки и, в конце концов, разрушаться на ядрах пос­ле нескольких наносекунд. Как мы увидим в главе 3, квантовая механика позволяет нам разрешить этот исторический парадокс. Тем не менее, уравнение (2.31) оказы­вается достаточно надежным в предсказании времен жизни для излучательных пе­реходов в лазерах. Ниже приводятся два типичных примера:

Л = 1 мкм, т = 45 не Л = 10 нм, т = 4,5 пс

Таким образом, намного легче аккумулировать электроны в возбужденных со­стояниях, подверженных инфракрасным переходам, чем заселить уровни, веду-

2. Б. Тепловидение

Щие к проявлению рентгеновского излучения. И в результате, как мы увидим позже, реализация инфракрасных лазеров намного проще, чем в случае рентге­новских лазеров.

Пример-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Уравнение (2.А.26) является очень ценным инструментом для расчета оптической мощности, излучаемой точечным источником, т. е. в случае, когда эффекты распро­странения не принимаются во внимание. В качестве приложения определим пол­ную мощность излучения с удвоением частоты (2со) в нелинейно-оптическом мате­риале, освещаемом фотонами с частотой со.

Пусть р будет атомной плотностью нелинейно-оптических центров (м_3), с! —не­линейной восприимчивостью (м/В), а ра — плотностью мощности падающего оп­тического излучения (Вт/м2). Нелинейный дипольный момент связан с коэффи­циентом d (смотрите главу 12) соотношением:

Дар = е0<1Е* = 2г0е0с1рш (2. А. 32)

Полная мощность Р2ф излучения с удвоением частоты (2со), преобразуемого рУ рассеивающими центрами (V— объем, на который сфокусировано первичное излу­чение), дается (2.А.26), а именно:

Л„ = руЩ^т~р1 (2.А. ЗЗ)

3 7Г£0С5

Так, что:

_^ = 2 (2 А 34)

V Зле0с5р

В случае ниобата лития с1 = 17пм/В, р — 1022 см-3, длины волны Л = 1,06 мкм и мощности первичного излучения 100 МВт/см можно найти, что мощность излуче­ния на длине волны 532 мкм, излучаемого по всем направлениям, составит 1,4 мкВт.