Оптоэлектроника

Излучение черного тела

Именно исследование спектрального распределения света, излучаемого нагретыми объектами, позволило Планку ввести понятие дискретных квантов энергии, на ос­новании которого в дальнейшем Эйнштейн разработал концепцию фотона. Мы можем определить черное тело как соответствующий резонатор, в котором электро­магнитные моды находятся в термодинамическом равновесии со стенками при тем­пературе Т. В этом случае излучение поглощается и переизлучается внутри резона­тора без обмена с внешней средой. Без введения фотона (т. е. без постулата квантов минимальной энергии) Рэлеем и Джинсом было установлено, что энергия, содер­жащаяся внутри такого резонатора, стремится к бесконечности. Этот знаменитый теоретический «тупик» был назван «ультрафиолетовой катастрофой». Здесь мы не будем воспроизводить эти расчеты. Отметим лишь значение, которое оказала эта проблема на ранний период развития квантовой механики.

Рассмотрим резонатор с объемом Ь3 и попробуем найти плотность оптических мод для каждой частоты у(т. е. число мод, содержащихся в частотном интервале (IV):

(2.79)

Внутри резонатора волны состоят из линейных комбинаций мод, описываемых выражением (е1кг ± е_1кг). Требование в качестве граничных условий обращения в ноль электромагнитных полей на стенках резонатора накладывает условия на вол­новые векторы к = (кх, ку, ку.

, К I К,71

К = £ и,; К = - пу кг = - пг (2.80)

Где пх, пу, — положительные целые числа. Таким образом, мы можем связать с

Каждой модой (кх, к, к) объемный элемент йкх, йк, йк в обратном пространстве (рис. 2.2). ' '

Число мод, содержащихся в интервале между к и к + йк, составляет одну восьмую (пх, пу, пг положительны!) сферического слоя объемом 4тгк2с1к9 умноженную на два с учетом двух возможных поляризаций каждого волнового вектора. Следовательно имеется:

Излучение черного тела

Рис. 2.2. Разрешенные электромагнитные моды в резонаторе образуют решетку, опре­деляемую кх = пхп/Ь, ку = пуп/Ь, кг — пгп/Ь. Число разрешенных мод с часто­той менее у в резонаторе объемом I? дается числом точек, содержащихся в одной восьмой объема сферы радиуса к = 2лу/с.

1}к2

<1ЛГ=^Ц-<1 к (2.81)

Л

Электромагнитных мод. Используя дисперсионное соотношение для излучения, рас­пространяющегося в вакууме:

У = ^-к (2.82)

2 71

Получаем выражение для плотности мод черного тела рт на единицу частоты и объема:

= ^ (2.83)

Приведенное выше уравнение дает плотность электромагнитных (ЭМ) мод в частотном интервале от удо у+ ёк Теперь ответим на вопрос, какова же вероят­ность того, что этот частотный диапазон (V, V + ёу) в действительности заполнен колебательными модами в условиях теплового равновесия?

Вероятность нахождения ЭМ-осциллятора в энергетическом состоянии Еп да­ется законом Больцмана:

Рп ос е-Еп/кт (2.84)

Где к — постоянная Больцмана (к = 1,38 х 10"23 Дж/К или 8,62 х 10“5 эВ/К) и символ

Ос в (2.84) обозначает пропорциональность. Поскольку Еп = ку(п - I - 1/2), эта вероят­

Ность дается выражением:

Р. (2.85)

Где к — коэффициент пропорциональности, определяемый условием нормировки:

Х^=кХ(е'(^МГ))"=кТТ^п=1 {2Ма)

П=0 п=0 1 С

Так, что:

Рп = (| _ (2.866)

Теперь представляет интерес определить среднее число пу фотонов с частотой V в резонаторе при температуре Т:

/ _ V»

П..

1

Рп =

Излучение черного тела

(2.88)

 

Аналогичный расчет (оставляемый нами в качестве упражнения) позволяет найти дисперсию сг числа фотонов:

°п =[4] Я + К~ (2-89)

Сравнивая приведенное выше выражение с (2.70), полученным в подходе Гла­убера, приходим к выводу о том, что распределение Бозе—Эйнштейна намного шире распределения Пуассона. Рис. 2.3 иллюстрирует это распределение для сред­него числа фотонов в резонаторе, равного десяти (п = 10). Флуктуации числа фото­нов в излучении черного тела намного больше, чем в когерентном состоянии, что

0 10 20 ЗО

Число фотонов

Їх:

Зо

0.14

 

Излучение черного тела

40

 

50

 

Рис. 2.3. Сравнение распределений Пуассона и Бозе—Эйнштейна для среднего числа фотонов в резонаторе, равного десяти.

 

Излучение черного тела

Впрочем и не удивительно. Теперь мы уже можем найти спектральное распределе­ние излучения черного тела при температуре Т.

Средняя энергия, распределенная в моде с частотой V, дается средним числом фотонов в этой моде, умноженным на энергию фотонов:

Излучение черного тела

В результате плотность энергии ре( у) излучения в резонаторе в единичном час­тотном и объемном интервале (в Дж с /м3) дается произведением (2.83) и (2.90):

Излучение черного тела

Qhv/kT _ 1

(2.91)

Закон Планка (спектр излучения черного тела)

Эта формула для спектра излучения черного тела была открыта Планком в 1900 году. В дополнении 2. Б мы исследуем более детально особенности, связанные с тепловым излучением, а также рассмотрим использование спектров излучения черного тела в тепловидении.

Оптоэлектроника

Приобретаем- купить осциллограф, тепловизоры, источники питания

Тепловизионные камеры. Тепловизоры testo - полупроводниковые приборы, наделённые возможностью наблюдать тепловое либо световое излучение. Тепловизор flir на собственном мониторе изображает оранжевыми, красными и желтыми цветами объекты, источающие тепло, но прохладные …

Конкуренция мод: перекрестные модуляторы

В дополнении 11.Д мы видели, что вблизи порога полупроводниковый лазер может генерировать в многомодовом режиме несмотря на то. что усиливающая среда яв­ляется однородной. При достаточно сильном возбуждении настолько выше порога, …

Униполярные квантово-каскадные лазеры

Одной из характерных особенностей полупроводниковых лазерных диодов являет­ся то, что в прямо смещенном диоде принимают участие два типа носителей (элек­троны и дырки). Это делает традиционные лазерные диоды биполярными приборами. Существует …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.