Оптоэлектроника

Квантовая яма. Общий случай

Рассмотрим теперь электрон в поле потенциала, изображенного на рис. 1.1, а именно потенциала, задаваемого соотношениями:

V (х) =0, если |*| > ~2

(1.31)

У(х) = - К0, если |*|<§

Положение (нм)

Рис. 1.1. Одномерная квантовая яма. Представлены собственные энергии и волновые функции для трех связанных состояний системы. Такие квантовые ямы, реа­лизуемые в системе СаАз/А10 45Са0 55Аб. Интервал между первыми двумя энер­гетическими уровнями составляет 104 МэВ, что приводит к поглощению фо­тонов на длине волны 11,9 мкм.

Первая область (|х) > а/2) задает потенциальный барьер, тогда как вторая об­ласть (И < а/2) определяет яму. Уравнение Шредингера, определяющее поведение электрона в этой структуре, записывается в виде:

(1.32)

Сначала мы ищем решения этого уравнения с энергиями менее высоты потенциального барьера, т. е. Е < 0. Для этого мы вводим три величины к, к и к0 с размерностью обратной длины, т. е. имеющие размерность волнового век­тора (число пространственных периодов в 2 /г), определяемые следующим об­разом:

2тр

Н2к

У0 + Е = -

Отметим, что величина 2/гД0 есть длина волны де Бройля, связанная с энергией У0 ограничивающего потенциала. С использованием этого обозначения можем за­писать решения уравнения (1.32) в общем виде как:

(1.34)

Где символы с, / и г обозначают соответственно центральную, левую и правую обла­сти. Теперь проиллюстрируем процесс квантования, распространяя условия непре­рывности волновой функции и ее первой производной (называемые также гранич­ными условиями) ОТ —оо до +оо и, более того, требуя выполнения условий нормиров­ки результатов.

Поскольку волновая функция должна быть нормирована, ее величина не долж­на расходиться при л; -> —«>. Таким образом В1 = 0. В дополнение к этому граничные условия при х = а/2 приводят к:

(1.35)

Величины Ас и Вс связаны следующим соотношением:

(1.37)
(1.38)
Так как волновая функция должна оставаться конечной при х —> «>, это требует, чтобы >4=0 или, чтобы выполнялось соотношение:
(1.39)
Что может быть выражено в виде:
(1.40)
Или

(1.43)

Где п обозначает л-ное решение уравнения. Величины Ап и Вп получаются, если обратить внимание на то, что интеграл от квадрата у/п(х) в интервале от —«> до +«> равен 1. Для основного состояния (п = 1) мы получаем:

1/2

А + 2 / к

(1.446)

1/2

А + 2 / к

Где кх — волновой вектор основного состояния, определяемый (1.43). Уравнение

(1.44) показывает, что электронная волновая функция проникает в барьер на глуби­ну, задаваемую величиной 1 /к. Это означает, что вероятность найти электрон в барьерной области отлична от нуля (см. рис. 1.1). Это явление, известное как тун­нелирование, не имеет классического эквивалента, в основе своей происходит из волновой природы электрона и напоминает аналогичное поведение света. Теперь вспомним уравнение, связывающее энергию собственного состояния и глубину про­никновения в барьерную область:

(1.45)

(2) Нечетные решения

Этот случай соответствует альтернативному решению уравнения (1.39):

К - к

: ЄІЬ

К + ік

А именно:

К (ка

-К- Чт

В этом случае уравнение (1.36) говорит нам о том, что Ап = —Вп, т. е. решения являются нечетными. В этом случае энергетические уровни даются пересечением прямых линий с наклоном 1 /к0 и другой серии синусоидальных полуволн (сплош­ные линии на рис. 1.2).

Представляет интерес рассчитать число квантовых уровней в яме. Анализ рис. 1.2 дает:

N = 1 + Int f. (1.47)

/г п

Где символ Int означает «функцию целого числа».

К тому же, сколько бы мелкой ни была яма, в ней всегда имеется, по крайней мере, одно квантовое состояние. В то время как это замечание имеет общий харак­тер и относится ко всем одномерным ямам, это может быть несправедливо в отно­шении трехмерных систем. Квантовые уровни называются также и локализованны­ми,, поскольку волновые функции имеют непренебрежимую величину только в ок­рестности ямы; они называются также и связанными, так как вероятность найти электрон значительна только поблизости от ямы (электроны не являются подвиж­ными и не могут участвовать в переносе тока). Энергетические уровни над барье­

Ром (Е > 0) называются делокализованными или свободными (для получения допол­нительной информации ознакомьтесь с дополнением 1.А).

Важно отметить, что приведенный ход рассуждений может быть обобщен на случай любого потенциала: т. е. квантование энергетических уровней следует из распространения граничных условий в интервале от — «> до +«>, а также из требова­ния, чтобы амплитуды волновых функций исчезали на бесконечности.

Пример-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Позже в главе 8 мы увидим, что электрон в полупроводниковой гетероструктуре, изготовленной на основе GaAs/Al0 45 Ga055 As, находится в условиях потенциальной ямы глубиной 360 мэВ. Более того, взаимодействие электрона с периодическим потенциалом кристаллической матрицы GaAs учитывается умножением массы элек­трона на коэффициент 0,067, при этом такое произведение соответствует эффек­тивной массе электрона т' = 0,067 те. Использование уравнения (1.33) позволяет нам получить выражение для волнового вектора к0 в виде:

К0 = у1(2 х 0,067 X 0,9 х КГ’Чкг) х 0,36 (эВ)х 1,6 х 1019(Ал )/ 1,05 х 10'“(Дж с)

Или к0 = 0,78 нм-1, что соответствует длине волны 8,05 нм.

Теперь рассмотрим квантовую яму шириной 10 нм. Поскольку ширина ямы сравнима с длиной волны де Бройля /0, связанной с потенциалом К0 = 360 нм, мы можем ожидать, что система будет проявлять эффект квантования. Используя урав­нение (1.47), мы видим, что в рассматриваемом случае мы можем ожидать присут­ствие трех связанных состояний в этой конкретной системе (т. е. 1 + Int(0,78 х 10/3,14)). Волновые функции, соответствующие каждому из этих состояний, показаны на рис. 1.1.

Приведенная ниже программа MATEMATICA очень полезна при решении за­дач на ограничивающие потенциалы.

M0=0.911СТ-30 (*kg*);hbar=1.051СГ-34 (*J. s*); q=1.610’-19(*C*);

Meff=0.067 (* effective electron mass in GaAs*);

V0=.36 (*well depth in eV*); a=10.(*well width in nm*);

KO=Sqrt[2*meff*mO*q*VO]* 10”-9/hbar (*in nm-1*)

Eq1=Cos[k*a/2];

Eq2=Sin[k*a/2];

Eq3=k/k0;

Plot1=Plot[Abs[eq1],{kAkO}] plot2=Plot[Abs[eq2],{klOlkO}] plot3=Plot[Abs[eq3], {k,0, kO} ]

Show[plot1 ,plot2,plot3] FindRoot[eq1==eq3,{kl0.2}]

E1 =hbar»2*(k*10* ’9)»2/(2*meff*m0*q)/.% FindRoot[eq2==eq3, {k,0.5}]

E2 =hbar»2*(k*10”9)”2/(2*meff*m0*q)/.% hnu=E2-E1 (^optical transition energy in eV)