Оптоэлектроника

Квантование электромагнитных волн

Обратим теперь наше внимание на то, чтобы получить выражение для электромаг­нитной энергии, заключенной в резонаторе объемом V. Классический гамильтони­ан электромагнитного поля описывается выражением:

(2.24)

Классический гамильтониан электромагнитного поля в обратном пространстве

Или с использованием тождества Планшереля—Парсеваля:

(2.25)

После чего классический гамильтониан может быть разбит на сумму парал­лельной и перпендикулярной компонент:

При этом:

Параллельная компонента в данном случае нас не интересует. С учетом уравнения (2.23), а также дисперсионного соотношения со = с |кя|, перпендикулярная компо­нента классического гамильтониана в этом случае дается соотношением:

(2.28)

(2.29)

Классический гамильтониан электромагнитного поля в обратном пространстве

Уравнения (2.28) и (2.29) дают основу для квантования электромагнитного поля. Заметим, что (2.28) фактически эквивалентно уравнению для гармонического ос­циллятора (Дополнение 1.Г) при следующей связи между обозначениями:

Частота, со

9 п

£а

Масса, /пн-^- положение, х <-> А1п импульс,

Тем не менее отметим и различие между гамильтонианом гармонического ос­циллятора, который включает в себя только действительные наблюдаемые, и гамиль-

Тонианом электромагнитного поля, который может включать мнимые члены, такие как е_1кг. Это может приводить к определенным трудностям, на которых мы не будем сейчас останавливаться. Введем теперь операторы рождения ап+ и уничтожения а:

(2.31а)

(2.316)

Связь между операторами поля и операторами рождения и уничтожения

Эти операторы воздействуют на п электромагнитных мод. По аналогии с ре­зультатами для гармонического осциллятора постулируем, что эти операторы под­чиняются соотношениям коммутации и антикоммутации, связанными с (2.29):

К, а+]= 5,

Как показано в Дополнении 1.Г, в этом случае гамильтониан электромагнитно­го поля принимает вид:

(2.33)

Квантовый гамильтониан электромагнитного поля

Таким образом, гамильтониан электромагнитного поля в резонаторе может быть записан в виде суммы гамильтонианов независимых гармонических осцилляторов, каждый из которых соответствует классической моде электромагнитной волны в резонаторе с частотой колебаний соп. Это заключение является основным результа­том настоящей главы.

Здесь важно отметить, что в явном виде время не входит в выражение для га­мильтониана. Гамильтониан электромагнитной моды является стационарным даже в том случае, когда он предназначен для описания осцилляционного поля. Это является пара­доксом, который будет разрешен введением когерентного состояния в разделе 2.5. Обращенная форма (2.31а) и (2.31 б) позволит нам рассчитывать различные опе­раторы электромагнитного поля в функции операторов рождения и уничтожения. Тем не менее, как мы уже отмечали, выражение для классического гамильтониана электромагнитного поля содержит лишь модули этих операторов, а не их фазы. Одна­ко мы можем показать, что операторы электрического и магнитного полей, а также векторного потенциала, связаны с операторами рождения и уничтожения моды я1:

(2.34а)

(2.346)

(2.34*)

Операторы поля в функции операторов рождения и уничтожения

Внимание! Символ г, который появляется в е, кг (2.34а)—(2.34в) является переменной в реаль­ном пространстве, а не оператором!

Где еп — вектор поляризации электрического поля, а Рп представляет флуктуацию вакуумного поля:

Р = ЦК.

" 2 є0І?

Флуктуация вакуумного поля

К значению этого поля мы возвратимся несколько позже. Отметим, что оператор электрического поля может быть представлен в виде суммы двух наблюдаемых, что, как мы можем показать, соответствует отрицательным и положительным частотам:

Е,(г) = Е<;>(Г) + Е<-'(г) (2.36)

Например, электрическое поле с положительной частотой дается выражением:

Е';>(г) = і£ єпРпапс“»' (2.37)

П = 1

Эти два последних уравнения позволят нам перейти от классического описания электромагнитного поля к квантово-механическому описанию.