Свойства преобразования Фурье
Пусть Р(г) будет квадратно интегрируемой векторной функцией г, заданной в трехмерном пространстве. Эта функция может также изменяться и во времени (это будет отмечаться всякий раз по мере необходимости). Во избежание проблем, связанных со сходимостью определенных интегралов, введем виртуальный куб объемом V— Ь3, в котором волны будут ограничены. Подобно методу, использованному в Дополнении 1.А допустим, что Ь может быть произвольно большим. В этом случае Фурье - образ этой функции будет функцией /’(к), определяемой соотношением:
Поскольку амплитуды волны должны быть нулевыми на внутренних поверхностях куба, получаем:
2.3. Свойства преобразования Фурье
К = Пх^ Ку = пу - р (2-9)
Где п, п 9 п есть целые положительные числа. Переменные (к 9 к 9 к ) являются
* у £ А х лх пу7 пх/
Компонентами вектора кл в обратном пространстве и таким образом имеют размерность обратной длины. Численный коэффициент, появляющийся перед интегралом (2.8) различен у различных авторов. Мы будем использовать масштабный множитель 1/(2я)3/2, так как он обеспечивает большую симметрию обозначений в реальном и обратном пространстве. Очевидно, что соотношение (2.8) равным образом может быть легко применено как к векторной Е(г, /), так и к скалярной /(г, /) функциям. Напомним теперь важные свойства преобразования Фурье:
Обратный Фурье-образ:
Р„ = рШ р(г)е',к'’гфг (210)
<2М>
|
Влияние преобразования на дифференциальные операторы: |
|
|
Если /’скалярная функция, то У/’о ік^ |
(2.12) |
|
Если Р векторная функция, то УТ <-> ік^ |
(2.13) |
|
УхЕнік х/; |
(2.14) |
|
Тождество Планшереля—Парсеваля: |
|
|
|и^(г, о*с(г,/у’г=-і-Л/:^2 |
(2.15) |
|
Свойства Фурье-образа |
Частный случай уравнения (2.15) при Р = Сможет быть интерпретирован как выражение закона сохранения энергии:
V п
Таким образом, пространственное распределение энергии приводит к перераспределению спектрального распределения.
Кроме того, отметим, что в результате дифференциальные операторы преобразовались в векторные алгебраические операторы, что является фундаментальной причиной введения Фурье-образов. В этом случае уравнения Максвелла приобретают вид:
|
Ік„ - Еп =— р„ *0 |
(2.17а) |
|
'Вп = 0 |
(2.176) |
|
^ |гВ і П ■А |
(2.17*) |
|
« - 1 Э Р 4. 1 і Я 5й С2 Э/ £0С2 |
(2.17г) |
|
Уравнения Максвелла в обратном пространстве |
Где, как очевидно, рп и представляют собой Фурье-образы плотности заряда и тока. Уравнение (2.176) показывает, каким образом в обратном пространстве вектор Вп ортогонален вектору кп (т. е. магнитное поле имеет только одну компоненту, перпендикулярную своему волновому вектору). Здесь представляется естественным разложить электрическое поле в обратном пространстве на две компоненты, при этом перпендикулярная компонента записывается в виде:
4Т^к„’ (2-18«)
А параллельная компонента дается соотношением:
^=Б„~Е1п (218, б)
Можно показать, что параллельная компонента Ец (г, /) электрического поля является полем, создаваемым зарядами мгновенно в точке г. Следовательно, параллельное поле, создаваемое в точке г зарядом в точке г0 в момент времени / дается выражением:
£,(г,0 = / |Г ~ Г°,(/,1з (219)
4я»0 |г - г0(/)|
Фактически выражение (2.19) является обычным выражением для электрического поля (закон Кулона) без члена задержки / — |г — г0|/с. Процесс происходит таким образом, как если бы информация о положении заряда в точке г0 приходила
Бы мгновенно в любую точку пространства г. Однако это не противоречит тео
Рии относительности. Можно показать, что поле, измеренное в точке г и являющееся суммой параллельной и перпендикулярной компонентам, обладает задержкой |г — г0|/с, как и предсказывается теорией (т. е. перпендикулярная компонента вводит член, устраняющий мгновенный вклад в (2.19).
Таким образом, мы в действительности заинтересованы в рассмотрении перпендикулярной компоненты электрического поля, которое связано с магнитным полем соотношениями:
Дt £0
При этом и является перпендикулярной компонентой плотности электрического тока. Отметим, что в действительности введение этих перпендикулярных компонент избавляет нас от необходимости введения двух дополнительных уравнений.
Интегрирование этих уравнений достаточно просто приводит нас к выражению для потенциала задержки и позволяет найти поле излучения осциллирующего диполя. Эта задача будет решена в дополнении 2А.
И, наконец, введем Фурье-образ векторного потенциала в обратном пространстве. Уравнение (2.4а) дает нам его связь с магнитным полем:
Вп = 1кпхАп (2.21)
Или с использованием того же разложения, как и в (2.18б):
Вп = [кпхА1п (2.22)
Уравнение (2.17#) устанавливает связь между Е1п и А±п:
|
|
Достаточно легко мы можем также показать, что А1п — калибровочно-инвари - антная величина, что делает этот параметр настолько же физически важным, как электрическое и магнитное поля.
