Оптоэлектроника

Свойства преобразования Фурье

Пусть Р(г) будет квадратно интегрируемой векторной функцией г, заданной в трех­мерном пространстве. Эта функция может также изменяться и во времени (это будет отмечаться всякий раз по мере необходимости). Во избежание проблем, связанных со сходимостью определенных интегралов, введем виртуальный куб объемом V— Ь3, в котором волны будут ограничены. Подобно методу, использованному в Дополне­нии 1.А допустим, что Ь может быть произвольно большим. В этом случае Фурье - образ этой функции будет функцией /’(к), определяемой соотношением:

''<к>(2^/|/ К*-«14- <2-8>

Поскольку амплитуды волны должны быть нулевыми на внутренних поверхно­стях куба, получаем:

2.3. Свойства преобразования Фурье

Свойства преобразования ФурьеК = Пх^ Ку = пу - р (2-9)

Где п, п 9 п есть целые положительные числа. Переменные (к 9 к 9 к ) являются

* у £ А х лх пу7 пх/

Компонентами вектора кл в обратном пространстве и таким образом имеют размер­ность обратной длины. Численный коэффициент, появляющийся перед интегралом (2.8) различен у различных авторов. Мы будем использовать масштабный множитель 1/(2я)3/2, так как он обеспечивает большую симметрию обозначений в реальном и обратном пространстве. Очевидно, что соотношение (2.8) равным образом может быть легко применено как к векторной Е(г, /), так и к скалярной /(г, /) функциям. Напомним теперь важные свойства преобразования Фурье:

Обратный Фурье-образ:

Р„ = рШ р(г)е',к'’гфг (210)

<2М>

Влияние преобразования на дифференциальные операторы:

Если /’скалярная функция, то У/’о ік^

(2.12)

Если Р векторная функция, то УТ <-> ік^

(2.13)

УхЕнік х/;

(2.14)

Тождество Планшереля—Парсеваля:

|и^(г, о*с(г,/у’г=-і-Л/:^2

(2.15)

Свойства Фурье-образа

Частный случай уравнения (2.15) при Р = Сможет быть интерпретирован как выражение закона сохранения энергии:

<2Л6>

V п

Таким образом, пространственное распределение энергии приводит к перераспре­делению спектрального распределения.

Кроме того, отметим, что в результате дифференциальные операторы преобразо­вались в векторные алгебраические операторы, что является фундаментальной причи­ной введения Фурье-образов. В этом случае уравнения Максвелла приобретают вид:

Ік„ - Еп =— р„ *0

(2.17а)

'Вп = 0

(2.176)

^ |гВ і

П

■А

(2.17*)

« - 1 Э Р 4. 1 і

Я 5й

С2 Э/ £0С2

(2.17г)

Уравнения Максвелла в обратном пространстве

Где, как очевидно, рп и представляют собой Фурье-образы плотности заряда и тока. Уравнение (2.176) показывает, каким образом в обратном пространстве век­тор Вп ортогонален вектору кп (т. е. магнитное поле имеет только одну компоненту, перпендикулярную своему волновому вектору). Здесь представляется естественным разложить электрическое поле в обратном пространстве на две компоненты, при этом перпендикулярная компонента записывается в виде:

4Т^к„’ (2-18«)

N

А параллельная компонента дается соотношением:

^=Б„~Е1п (218, б)

Можно показать, что параллельная компонента Ец (г, /) электрического поля является полем, создаваемым зарядами мгновенно в точке г. Следовательно, парал­лельное поле, создаваемое в точке г зарядом в точке г0 в момент времени / дается выражением:

£,(г,0 = / |Г ~ Г°,(/,1з (219)

4я»0 |г - г0(/)|

Фактически выражение (2.19) является обычным выражением для электричес­кого поля (закон Кулона) без члена задержки / — |г — г0|/с. Процесс происходит таким образом, как если бы информация о положении заряда в точке г0 приходила

Бы мгновенно в любую точку пространства г. Однако это не противоречит тео­

Рии относительности. Можно показать, что поле, измеренное в точке г и явля­ющееся суммой параллельной и перпендикулярной компонентам, обладает задерж­кой |г — г0|/с, как и предсказывается теорией (т. е. перпендикулярная компонента вводит член, устраняющий мгновенный вклад в (2.19).

Таким образом, мы в действительности заинтересованы в рассмотрении пер­пендикулярной компоненты электрического поля, которое связано с магнитным полем соотношениями:

~^В„ = -±пхЕ1п (2.20 а)

= 1с2к„хД„ (2.206)

Дt £0

При этом и является перпендикулярной компонентой плотности электрического тока. Отметим, что в действительности введение этих перпендикулярных компо­нент избавляет нас от необходимости введения двух дополнительных уравнений.

Интегрирование этих уравнений достаточно просто приводит нас к выражению для потенциала задержки и позволяет найти поле излучения осциллирующего диполя. Эта задача будет решена в дополнении 2А.

И, наконец, введем Фурье-образ векторного потенциала в обратном простран­стве. Уравнение (2.4а) дает нам его связь с магнитным полем:

Вп = 1кпхАп (2.21)

Или с использованием того же разложения, как и в (2.18б):

Вп = [кпхА1п (2.22)

Уравнение (2.17#) устанавливает связь между Е1п и А±п:

Е,„ = -|гЛ„ (2.23)

Свойства преобразования Фурье

Достаточно легко мы можем также показать, что А1п — калибровочно-инвари - антная величина, что делает этот параметр настолько же физически важным, как электрическое и магнитное поля.

Оптоэлектроника

Приобретаем- купить осциллограф, тепловизоры, источники питания

Тепловизионные камеры. Тепловизоры testo - полупроводниковые приборы, наделённые возможностью наблюдать тепловое либо световое излучение. Тепловизор flir на собственном мониторе изображает оранжевыми, красными и желтыми цветами объекты, источающие тепло, но прохладные …

Конкуренция мод: перекрестные модуляторы

В дополнении 11.Д мы видели, что вблизи порога полупроводниковый лазер может генерировать в многомодовом режиме несмотря на то. что усиливающая среда яв­ляется однородной. При достаточно сильном возбуждении настолько выше порога, …

Униполярные квантово-каскадные лазеры

Одной из характерных особенностей полупроводниковых лазерных диодов являет­ся то, что в прямо смещенном диоде принимают участие два типа носителей (элек­троны и дырки). Это делает традиционные лазерные диоды биполярными приборами. Существует …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.