Оптоэлектроника

Коэффициенты Эйнштейна для двух Предельных случаев: квазимонохроматических и широкополосных оптических переходов

Сейчас мы представим трактовку индуцированной и спонтанной эмиссии, которая была дана Эйнштейном в 1905 году. Этот подход представляет значительный исто­рический интерес, так как он демонстрирует силу направленного эвристического рассуждения.

Рассмотрим двухуровневую систему в состоянии термодинамического равнове­сия с резонатором, образующим черное тело. Энергия электромагнитных мод в резонаторе характеризуется распределением спектральной плотности pe(v) (Дж см-2). Поскольку фотоны в резонаторе находятся в состоянии термодинамического рав­новесия, плотность их энергии дается распределением Планка (2.79). Обозначим через Gndv скорость перехода с уровня |1) на уровень |2) благодаря электромагнит­ной энергии, заключенной в интервале dv, а через <721dv — скорость обратного перехода. Скоростные уравнения перехода (1.85) показывают, что в интервале dv заключена энергия pe(v)dv, которая должна приводить к скорости перехода Gndv (напоминаем, что в Gl2 член W2l2 пропорционален £2, что, в свою очередь, про­порционально энергии электромагнитного поля). По определению коэффициенты Эйнштейна В21 и В12 являются таким образом коэффициентами пропорционально­сти между скоростями переходов и плотностью энергии pe(v):

Gn =

Gn = ВцР'Ь)

В действительности система (З. В.1) является неполной. Мы должны добавить в нее член, который фигурирует в спонтанной эмиссии:

Вп = вар.(у)

(З. В.2)

С2| = Я2|р>)+ А1}

При термодинамическом равновесии плотности заселенности уровней остаются по­стоянными, а переходы от 11) к |2) должны быть равными переходам от |2) к 11) или:

НАгР'(у)= ^2(*2,Р»+ Ла) (З. В.З)

Как уже отмечалось, плотность энергии для мод в резонаторе при термодинамичес­ком равновесии ре( V) дается законом Планка (2.91), так что приведенное выше уравнение приобретает вид:

^ в 1

‘С3 Ъку/кт -1 2

ІЯН^ку3 1

°21 сЪ еку/кТ П

(где мы ввели коэффициент преломления яор, чтобы учесть оптическую дисперсию среды резонатора). Теперь при термодинамическом равновесии отношение уровней заселеннос­ти для каждого из уровней дается соотношением:

Ф-= — е-/"'/АГ (З. В.5а)

Л',

Где мы временно ввели вероятность того, что степень вырождения двух уровней gl и g2 может быть отлична от единицы. Подставляя (З. В.5я) в (З. В.4), получаем само­согласованное условие:

= лп(в2/§1)

С3{^/кт -)~ в12^'" -*„(&/*,) {ЗВЩ

Это уравнение должно выполняться при любой температуре. Это возможно, если имеют место следующие соотношения:

В2 _ #2_ в21 ёI

(З. В.6)

Л,2 _

Ва с3

Из этих соотношений мы вновь получаем уравнение (3.77), полученное в рамках квантования электромагнитного поля так же, как выражение для спонтанной эмис­сии. Уникальная проницательность Эйнштейна (или гениальность) позволила ему вывести соотношение между Л и В с использованием условий, накладываемых част­ным случаем термодинамического равновесия черного тела, но характеризуемое универсальной применимостью даже вне равновесия и являющееся характеристи­кой самой квантовой системы. В этом случае скорости переходов (З. В.2) приобре­тают вид:

= М (ЗВ7)

/5РОП

Скорость переходов (в секунду) между двумя уров­нями, обусловленных электромагнитной волной с широким спектральным распределением рв(у)

Где ре( у) есть спектральное распределение энергии падающей электромагнитной волны.

Рассмотренный выше подход трактует полностью монохроматические перехо­ды, т. е. одночастотные переходы, наведенные электромагнитной волной с широ­
ким спектральным распределением. Нам было бы интересно узнать: позволит ли этот подход получить результаты, которые даются соотношениями (3.73) и (3.74) описывающими поглощение и оптическое поперечное сечение в связи с перехо­дами между уровнями, обусловленными квазимонохроматической волной и пред­ставленные лоренцовской функцией формы линии Ь(у). Для того, чтобы выяс­нить это, нам необходимо лишь использовать тот же самый аргумент, который позволил нам перейти от (3.75) к (3.76), т. е. ввести спектральную зависимость скорости перехода <7'<у:

(ЗВ81

Спектральная зависимость скорости переходов (безразмерной) между двумя уровнями из-за воз­действия квазимонохроматической волны с плотно­стью энергии ру. Переход уширен лоренцианом Цу).

Где ру (Дж/м3) есть плотность энергии фотонов с частотой V, которая дается соотно­шением /,= сру/по (Вт/м2). Уравнение получается интегрированием (З. В.8) по ши­рокополосному спектру, т. е.:

12 = (з. в.9)

Таким образом (З. В.7) и (З. В.8) представляют два крайних случая, которые мо­гут возникнуть при использовании скоростных уравнений.