ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ЖЕЛОБКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ С НЕОДНОРОДНЫМ ДРЕЙФОМ ИОНОВ

С. В. ПУТВИНСКИЙ, А. В. ТИМОФЕЕВ

Введение

Известно, что в плазме, помещенной в открытые магнитные ловушки, появляются новые коллективные степени свободы — желобковые колеба­ния. При малой плотности плазмы, когда выполняется условие гцг>аН (г* — дебаевский радиус ионов, а — радиус плазмы, Я — характерный мас­штаб изменения магнитного поля), желобковые колебания разделяются на три ветви: электронную, ионную и так называемую вармовскую [*• *]. В аксиально-симметричных системах желобковые колебания представля­

V

Л* я

Ют собой волны, бегущие по азимуту. Зависимость фазовой скорости ко­лебаний от плотности плазмы схематически изображена на рис. 1. С рос­том плотности фазовая скорость ионной ветви уменьшается от й)0 до ([42]/г) 0)*,

А электронной — возрастает от 0 до О/2) ©<>. Здесь ©<> =----------------------------

Т{(й{гН

Угловая скорость дрейфа ионов, — ионная циклотронная частота, е — энергия ионов, Я (г) — магнитное поле. При критической плотности, когда выполняется условие гл2«аД, ионная и электронная ветви желобковых колебаний сливаются и плазма становится неустойчивой [*]• Фазовая ско­рость третьей ветви желобковых колебаний близка к угловой скорости дрейфа ионов
недостаточно полно. Дело в том, что в реальных системах скорость дрей­фа ионов зависит от радиуса. Поэтому, вообще говоря, нельзя исключить возможности совпадения, при каком-то значении радиуса, фазовой скоро­сти колебаний и скорости дрейфа ионов. При этом становится возможным резонансный обмен энергией между колебаниями и плазмой, который, как мы увидим ниже, будет приводить к затуханию колебаний. Поскольку декремент затухания не зависит от вида функции распределения ионов по скоростям, а всецело определяется макроскопическими характеристиками плазмы (градиентом плотности, градиентом магнитного поля и т. д.), в ра­боте [4] такие резонансы были названы гидродинамическими *.

По нашему мнению, именно этот эффект проявлялся в эксперимен­тах [“• т], в которых была сделана попытка возбудить желобковые колеба­ния при плотности ниже критической. При этом наблюдалась лишь элек­тронная ветвь колебаний, остальные ветви оказались сильно затухающими. Мы считаем, что затухание обусловлено резонансным взаимодействием с дрейфовым движением ионов. В данной работе показано, что при той не­однородности магнитного поля, которая имела место в указанных экспе­риментах (скорость дрейфа на радиусе менялась в 1,5 раза), ионная и вармовская ветви желобковых колебаний должны быть затухающими. На­ми получены зависимости декремента затухания от плотности плазмы и поперечной энергии ионов для различных профилей плотности плазмы.

Следует отметить, что вармовская ветвь желобковых колебаний в на­стоящее время привлекает к себе пристальное внимание. Дело в том, что ее возбуждение должно приводить к очень быстрому выбросу плазмы на стенку камеры. Действительно, поскольку фазовая скорость вармовской ветви колебаний близка к скорости дрейфа ионов, то смещения ионов в таких колебаниях будут весьма велики даже при малой амплитуде колеба­ний. В последнее время появился ряд работ, в которых учитывается влия­ние различных факторов на устойчивость этой ветви колебаний. Так, например, в [3] показано, что к неустойчивости может привести наличие двух максимумов на функции распределения ионов по энергиям. Причем эта неустойчивость может развиваться как в ловушках с простым пробоч­ным полем, так и при наличии минимума В. В [*] найдено, что причиной неустойчивости может являться градиент ионной температуры. Фазовая скорость вармовской ветви желобковых колебаний (1) близка в скорости дрейфа ионов

Со а

------- СОо^СОо —.

Т Я

Тот же порядок величины имеет изменение скорости дрейфа ионов по радиусу Лсовв(1)#(а)—а)в(0)«а^соо/йг«а)оа/Д. В силу этого весьма вероятно совпадение при каком-то значении радиуса фазовой скорости колебаний и скорости дрейфа ионов. Мы покажем, что резоцанс действительно осу­ществляется практически при любой неоднородности магнитного поля и приводит к затуханию колебаний в широком диапазоне значений плот­ности.

Для определения спектра частот желобковых колебаний необходимо решать дифференциальное уравнение, описывающее их пространствен­ную структуру. При совпадении фазовой скорости колебаний и скорости дрейфа ионов в этом уравнении появляется сингулярность (особая точка соответствует точке резонанса). Особенность можно устранить, если учесть

Разброс в значениях энергии ионов, который всегда существует в реальной плазме. При этом дифференциальное уравнение настолько усложняется, что может быть решено лишь численными методами.

1. Резонансное поглощение

Используя сначала простейшую модель, мы покажем на примере ионной ветви, что резонансное взаимодействие может действительно приводить к затуханию колебаний. Рассмотрим цилиндр плазмы с плотностью, слабо меняющейся во внутренней области и резко обрывающейся у края плазмы. Предположим, что магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра (ось ог). В такой системе желобковые колебания представляют собой волны электрического потенциала и плотности бегущие по азимуту 0 и не зависящие от 2, /~/(г)е“<"*'Ит0. Радиальная зависимость возмущений опре­деляется уравнением

(2)

А также используя уравнения неразрывности для электронов и ионов и уравнение Пуассона (например, [*]).

Пренебрежем сначала слабым изменением плотности во внутренней области плазмы, т. е. будем считать, что зависимость плотности от радиу­са имеет вид

(г<а),

(г>а).

Предполагая также для простоты, что металлический кожух, который обычно окружает плазму, отсутствует, получаем

Ф.(г) =

На рис. 1 изображена зависимость частоты колебаний от плотности плазмы для ловушек с простым пробочным полем, в которых ®0ве/то|©г гН-<Ш/с1г<0. Верхняя ионная ветвь с а)>(72)о)0(а) соответствует знаку «плюс» в (3), нижняя электронная с а)<(|/а)со0(а) — знаку «минус». Из

(3) Следует, что при плотности выше критической, определяемой усло-

Обе ветви сливаются и колебания становятся

Неустойчивыми.

На рис. 2 приведена зависимость скорости дрейфа от радиуса. Из рисун­ка следует, что при достаточно низких значениях плотности, когда часто­та ионных колебаний не слишком отличается от со0(а) должно выполнять­ся равенство: со/т=©0(г,), где 0<г,<а.

Учтем теперь, что в области г<а градиент плотности плазмы хотя и мал, но отличен от нуля. Для вычисления поправки к частоте собственных колебаний используем метод последовательных приближений. Помно-

Жим (2) на ф/(г) и проинтегрируем по частям. При наличии резонансной точки определим 1/(©—тосо0(г)) как р/(©—т©0(г)) — £лб(©—т<й0(г)).

В результате для мнимой части частоты получим следующее выраже­ние:

1шш-------- ?—(------------- 1--------------- - Ц"х

©р<а(а) (о)-тсо0(а))2 а)2/ //ч

(4)

Таким образом мы показали, что резонансное взаимодействие с дрей­фовым движением ионов может приводить к затуханию ионной ветви же - лобковых колебаний (ср. с [9]).

В принятой нами упрощенной модели все ионы, расположенные на данном радиусе, характеризуются одним и тем же значением скорости дрейфа, что соответствует моноэнергетическому распределению ионов. В реальных системах распределение ионов по энергиям обладает некото­рым разбросом. Это обстоятельство приводит к размытию области резонанс­ного взаимодействия и соответственно к устранению особенности в диф­ференциальном уравнении, описывающем радиальную зависимость желоб - ковых колебаний. Чтобы учесть эти эффекты, необходимо кинетическое рассмотрение, что и будет сделано в следующем разделе.

2. Основное уравнение

Движение ионов в поле желобковых колебаний будем описывать кине­тическим уравнением

<?/. 91, е д/, е д/о,

----- + V-------- 1------- [уН]---------------- V©!----- — О. (5)

ДЬ дт тпіС д ду

Здесь /і — возмущение функции распределения ионов, /о — начальная не­возмущенная функция распределения ионов. Начальная функция распре-

Деления ионов по скоростям является функцией интегралов движения на невозмущенных траекториях:

Т{иг. , и9

8-------- Г-. т1='д+г —.

2 Со *

Где — азимутальная компонента скорости ионов. Зависимость функция распределения ионов по скоростям от т) и е выбиралась в следующем виде:

/о5“(Ло(Т|)/ДєЯІ/і) ехр (— (е—e0)7(Ae)a), (6)

Где Де — дисперсия ионов по поперечной энергии.

Применяя стандартную процедуру интегрирования по траекториям (например, [9]), из уравнения (5) можно получить возмущение плотности ионов:

Ј(-B&r*

TOC O "1-5" H Z X ГіУл + — (1+ПГя*ДГ(*,))1 . (7)

L dr Де с J

Здесь (2«Дв1.-^-) +-^, +

О

Интеграл вероятности комплексного аргумента. Последнее слагаемое в правой части выражения (7) учитывает эффекты, связанные с возмуще­нием скорости дрейфа ионов о)0 в неоднородном магнитном поле.

Чтобы получить возмущение плотности электронов п1ву воспользуемся уравнением неразрывности и учтем, что электроны дрейфуют в возмуще-

С

Ниях потенциала со скоростью vle = —[НУф]. В результате получаем

2ефі т dn0

р)

Ів CD771,0)і d (г1)

Подставляя (7) и (8) в уравнение Пуассона, находим 1 d гіфі 77i2 ^ 2т dcopi2

Тг 2т dtopi1 т{ /1 dH -1

Т'4’* ww7 <f(г1) Ч’,-ф‘дГІІГ ^г1) ) х

Г dr dr

Для дальнейших вычислений удобно ввести безразмерные переменные / Г 2 е, _ 0)

*-(т)- г-1Г - "“мог

А =

В этих переменных уравнение (9) будет выглядеть следующим образом:

<22г|? г тг—1 А 1 с1п0

Ч

+ 27чй)-^^-а(1+«Уяг(^(г()) Н=0. (10)

Ло(0) Л

Я (х) =Я,(1-ах-рх2); А = —^л, .

2а)<а)о(0)

Будем считать, что на границе плазмы, т. е. при г—а (х=1), расположена металлическая стенка, на которой возмущение потенциала ф! обращается в нуль. Поэтому граничные условия для уравнения (10) примем в виде

Ф(0) =Ж=Ч>(1) =0.

3. Численные расчеты

А. Общая схема

Уравнение (10) решалось численно методом Рунге — Кутта с автома­тическим выбором шага [10]. Чтобы начать счет из точки х=0, решение

*

У(х) в окрестности х=0 находилось в виде ряда по х: фрс)ж ^ Слхп+Л.

Интегрируя численно уравнение (10), мы находили значение яр на стенке ж—«1, Чтобы определить частоту колебаний Ие© и декремент затухания 1та, необходимо было решить систему уравнений

Иеф(1, Яво, 1шо)«0,

(11)

1тф(1, Ие©, 1т© «0.

Система уравнений (11) решалась методом Ньютона [1в], причем для получения корней с точностью 10"а требовались лишь одна-две иттера-

Ции. Следует отметить, что интеграл вероятности W(z} при — Зя/4< <arg z< —я/4 экспоненциально растет с ростом |z<|, и поэтому числен­ные расчеты практически возможны лишь при не слишком больших де­крементах затухания. Расчеты проводились для различных профилей плотности плазмы, причем зависимость плотности от радиуса выбира­лась в виде

Ло=М0) (1 ят*) - Ио(О) (1 -(г/аП,

Где &=1, 2, 3, 4. Кривые л0(х) для различных к изображены на рис. 3. Для магнитного поля принималось выражение Н(х)=Н(0) (1—ах—(to2), а*в0,142; (}=0,009, что соответствует условиям экспериментов [в-7]. Чи­сленные расчеты проводились для первой моды (/71=1) ионной и вар - мовской ветвей желобковых колебаний. Сначала мы обсудим результа­ты расчетов ионной ветви.

Б. Ионная ветвь желобковых колебаний

На рис. 4, 5 показаны зависимости частоты и декремента затухания ионной ветви колебаний от плотности плазмы. Различные кривые на рис. 4 соответствуют различным профилям плотности плазмы. Так как частота колебаний нормирована на со0, (0), то при уменьшении плотности* когда © оказывается равной единице, в плазме появляется резонансная точка. При этом, как видно из рис. 4, 5, колебания становятся затухаю*

Рпс. 4 Рпс. 5

Рис. 4. Зависимость частоты колебаний Песо (кривые помечены штрихами) и де­кремента затухания ионной ветви от плотности плазмы при Т=30. Раз­

Личные кривые соответствуют различным профилям плотности плазмы. 1 - »оИ-МО) (1-(г/а)*), 2 — По (г) =*по(0) (1- (г/а)4), 3-п0(г)=п0( 0) (1 - (г/а)8)

Рис. 5. То же, что и на рис. 4 при п0(г)=л0(0) (1— (г/а)9). Различные кривые для декремента колебаний V соответствуют разным значениям Т, кривая 1— 2,1*в35,

2 - Г2-30, 3 - Гз-25. 4 - Т^20

Щими. Х^еличение критической плотности при укручении профиля плот­ности плазмы объясняется стабилизирующим влиянием проводящей стен­ки. Действительно, поскольку мы считаем, что стенка расположена на границе плазмы (г=а), То укручение профиля плотности плазмы прибли­жает область максимального градиента к стенке.

Отметим, что для всех профилей плотности, для которых проводились расчеты, получилась одинаковая качественная картина поведения декре­мента затухания колебаний.

На рис. 6 показана зависимость величины декремента от дисперсии ионов по поперечной энергии Т для плотности плазмы, соответствующей А =0,6. Как видно из рис. 6, декремент затухания колебаний довольно слабо меняется при изменении Т. Этот результат соответствует теории гидродинамического резонансного взаимодействия, согласно которой эф­фект резонансного взаимодействия не должен зависеть от вида функции распределения.

В. Вармовская ветвь желобковых колебаний

Обсудим теперь результаты расчетов вармовской ветви желобковых колебаний, которые представлены на рис. 7—9. На рис. 7 показана зави­симость декремента колебаний у и частоты колебаний Ие ш от величины неоднородности магнитного поля по радиусу. Величина неоднородности

Рис. 6. Зависимость декремента затухания ч от дисперсии

Энергии Г=ео/Де

Рис. 7. Зависимость частоты колебаний Песо и декремента затухания '*=—1т (5 вар­мовской ветви от неоднородности магнитного поля #=#(0) (1—ах—рх2). При расче­тах мы полагали £=0,46 а2, Т=10, А—2

Рпс. 8 Рис. 9

Рпс. 8. Зависимость частоты п декремента затухания вармовской ветвп от плот­ности плазмы Л~по(0), Г* 10, а=0,142 Рис. 9. Зависимость частоты и декремента затухания вармовской ветви от диспер­сии ионов по поперечной энергии Т=*ъо/Де, А—2

Магнитного поля характеризуется параметрами а и Ц, которые при рас­четах изменялись одновременно. Причем мы считали, что (}~а Кривые на. рис. 7 сосчитаны для 10 и А=2. Как и следовало ожидать, часто­та колебаний спадает с уменьшением неоднородности магнитного поля. Слабая зависимость декремента колебаний от неоднородности магнитного поля связана с тем, что резонансная точка существует в плазме даже при достаточно малых значениях а. Возрастание декремента при уменьшении неоднородности магнитного поля объясняется увеличением размера ре­зонансной области Дх,~1/аТ. Отметим, что результаты расчетов остают­ся справедливыми и для параболического распределения магнитного поля Я=#(0) (1—а(г/а)2), р*«0, так как роль коэффициента Р сводится лишь к эффективному увеличению неоднородности магнитного поля.

На рис. 8 показана зависимость частоты и декремента затухания вар­мовской ветви от плотности плазмы в центре ловушки (величина А, от­ложенная по оси абсцисс, пропорциональна плотности плазмы). Напом­ним, что порогу неустойчивости желобковых колебаний по плотности (га^аЯ) [*] соответствует значение А~1.

Наконец, на рис. 9 изображена зависимость частоты колебаний и де­кремента затухания от дисперсии ионов по поперечной энергии. При больших значениях во/Де (при малой дисперсии) величина декремен­та затухания приближается к гидродинамическому декременту затуха­ния, который соответствует Де**0. С уменьшением Т (с ростом дисперсии ионов по поперечным энергиям) размер резонансной зоны увеличивается и декремент затухания возрастает. Как видно из рис. 9, частота колеба­ний практически не зависит от Т.

Таким образом, как показывают результаты расчетов, последователь­ный учет неоднородности приводит к тому, что вармовская ветвь колеба­ний становится устойчивой. Мы рассматривали затухание третьей ветви без учета дестабилизирующих факторов, например, таких, как градиент температуры [•]. В нашем случае роль температуры играет средняя энер­гия ионов вв. Однако и при наличии градиента температуры необходимо учитывать затухание вармовской ветви из-за резонансного взаимодействия с ионами. Оценки показывают, что учет резонансного затухания в наших условиях приводит к пороговому значению градиента температуры (сред­ней энергии), которое в 2—3 раза превышает полученное в [•].

Выводы

Таким образом, как показывают результаты расчетов, последователь­ный учет неоднородности магнитного поля приводит к тому, что обе рас­смотренные ветви колебаний становятся затухающими. В отличие от ион­ной ветви, которая затухает лишь при низкой плотности плазмы, реознансное поглощение вармовской ветви желобковых колебаний проис­ходит в достаточно широком диапазоне изменения плотности плазмы.

Эффект резонансного затухания, по-видимому, препятствовал возбуж­дению ионной и вармовской ветвей желобковых колебаний в эксперимен­тах Йт]. Следует отметить, что при наличии достаточно большого разбро­са ионов по энергиям желобковые колебания будут затухать, даже если скорость дрейфа постоянна по радиусу. В этом случае с колебаниями взаи­модействует некоторая группа ионов из распределения ионов по скоростям, и резонансное взаимодействие осуществляется во всем пространстве (гид­родинамический резонанс переходит в кинетический). Оценки показыва­ют, что такой переход осуществляется при Де/е>Дсйо/сйо. Однако в усло­виях экспериментов [в’т] выполняется обратное неравенство, и, следова-

Тельно, гидродинамическое резонансное взаимодействие преобладает над кинетическим. За обсуждение работы авторы благодарны В. А. Чуянову.

Институт атомной энергии

533.95