ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ДРЕЙФОВО-ДИССИПАТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А. В. Тимофеев, В. Н. Швилкип

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время неустойчивость плазмы в магнитном поле стала привычным явлением. Один из первых экспериментов, заставивших гово­рить о неустойчивости плазмы, был описан Бомом и др. *. В этом экспери­менте был обнаружен аномально быстрый уход плазмы сквозь магнитное поле на стенки сосуда. Для объяснения этого явления в 1 предположили, что в плазме самопроизвольно возбуждаются хаотические электрические поля. В таких полях заряженные частицы движутся беспорядочно, что приводит к усиленной диффузии плазмы через магнитное поле. Для коэф­фициента диффузии Бом дает эмпирическое выражение D — (1/16) cTJeB— бомовский коэффициент диффузии, где Те — электронная температура В[- магнитное поле. Позднее аномальная диффузия плазмы с коэффи­циентом диффузии порядка бомовского была обнаружена в системах, суще­ственно отличных от описанной в 1. В настоящее время бомонскую диффу­зию принято связывать с самопроизвольным возбуждением так называе­мых дрейфовых колебаний, см., например, 2.

В данном обзоре рассматривается один из возможных механизмов рас­качки дрейфовых колебаний, в котором существенную дестабилизирующую (!) роль играют столкновения заряженных частиц 3. В 4 на основе анализа

© Главная редакция физико-математичесной литературы издательства «Наука», «Успехи физических наук», 1976

6 УФН, т. 118, вып. 2

Размерности величин, характеризующих неустойчивые колебания, была сделана попытка получить бомовский коэффициент диффузии [43]).

Причиной интересующей нас неустойчивости является термодинами­ческая неравновесность плазмы — градиент давления в направлении попе­рек магнитного поля. Такая неравновесность неизбежна во всех системах, использующих магнитное удержание плазмы, поэтому неустойчивость была в работе 5 названа универсальной. Заметим, однако, что на самом деле для развития неустойчивости градиент давления должен превысить некоторую критическую величину, определяемую размером плазмы вдоль магнитного поля, концентрацией нейтральных частиц и т. д. Поэтому неустойчивость будет развиваться далеко не во всех установках. В работе 6 для обсуждае­мой неустойчивости был использован термин — инерционно-диссипативная неустойчивость. Это название отражает ту ее особенность, что, хотя элек­троны при развитии неустойчивости из-за частых соударений с тяжелыми частицами (ионами в полностью ионизованной плазме, нейтральными атомами в плазме слабо ионизованной[44])) движутся как в вязкой среде, движение ионов должно быть свободным — инерционным. В настоящее время наиболее употребительным является третье название: дрейфово­диссипативная неустойчивость, которое было предложено в работе 8. Это название подчеркивает важную роль дрейфовых движений в механиз­ме раскачки колебаний. Первоначально термин дрейфово-диссипативная неустойчивость употреблялся в обобщенном смысле, так что в диссипа­тивные процессы включалось и бесстолкновительное затухание Ландау. Соответственно к дрейфово-диссипативным неустойчивостям относили и неустойчивости неоднородной разреженной плазмы в магнитном поле (см., например,8'9). Однако со временем термин дрейфово-диссипативная неустойчивость стал употребляться лишь для обозначения неустойчиво­стей столкновительной плазмы. В этом более узком смысле мы и будем использовать название дрейфово-диссипативная неустойчивость.

Основные положения теории дрейфово-диссипативной неустойчиво­сти были установлены уже в первых работах, посвященных ее анализу. Последующие исследования добавили к этим результатам мало нового. Столь быстрое развитие теории во многом обязано использованию так называемого локального квазиклассического приближения. В этом приб­лижении неоднородность плазмы учитывается параметрически, что позво­ляет получить локальное алгебраическое уравнение, определяющее частоту плазменных колебаний. Первоначально высказывались сомнения относительно правильности этого метода (см., например, 10). Однако даль­нейшие исследования (см., например, 9'и) показали его адекватность для широкого класса колебаний неоднородной плазмы в магнитном поле, в которых существенную роль играют дрейфовые движения заряженных частиц. К этому классу относится и дрейфово-диссипативная неустой­чивость.

Дрейфово-диссипативная неустойчивость — довольно «слабая» неустой­чивость. Если одновременно в плазме развиваются какие-то другие неустойчивости, то дрейфово-диссипативную трудно выделить на их фоне.

Поэтому экспериментальное исследование дрейфово-диссипативной неустойчивости желательно проводить в условиях, максимально прибли­женных к равновесным. Часто неравновесность плазмы обусловливается самим способом ее создания (пропускание сильного тока через газ, инжек - дия пучков заряженных частиц и т. д.). В этом смысле наиболее «спокой­ными» являются системы двух типов: бестоковые газовые разряды и (7-ма­шины. Термин бестоковый газовый разряд иногда используется (см., например,12) для обозначения таких типов разряда, поддержание которых не связано с пропусканием постоянного тока через газ. К ним относятся высокочастотный разряд, разряд послесвечения, пеннинговский разряд и т. д. Газовый разряд постоянного тока в магнитном поле подвержен более «сильной», так называемой токово-конвективной неустойчивости. Обнару­жение этой неустойчивости 13,14 и ее успешная идентификация в15, наряду с в значительной мере стимулировали исследования колебаний всех видов газового разряда в магнитном поле. Следует отметить, что хотя в разряде постоянного тока в магнитном поле может развиваться токово­конвективная неустойчивость, однако это обстоятельство не ставит непрео­долимых препятствий для наблюдения дрейфово-диссипативной неустой­чивости, см. ниже.

^-машины с самого начала были задуманы как системы, предназначен­ные для изучения спокойной (quiescent) плазмы. В них плазма создается термической ионизацией пучка нейтральных атомов, падающего на нака­ленную пластину.

В исследовании колебаний плазмы (>-машип и бестоковых газовых разрядов в магнитном поле можно выделить два этапа. На первом преоб­ладала тенденция относить все неустойчивости, обнаруженные в столк - новительных режимах, на счет проявления дрейфово-диссипативного механизма раскачки колебаний. Более внимательное изучение вопроса, однако, показало, что одновременно с дрейфово-диссипативным могут дейст­вовать и другие механизмы. Постепенно крепло убеждение, что лишь прямая проверка дисперсионного соотношения позволит решить вопрос

О природе наблюдаемых колебаний (дисперсионное уравнение определяет зависимость частоты колебаний от компонент волнового вектора колеба­ний и параметров плазмы). Такая проверка к настоящему моменту осуществлена для большинства разновидностей дрейфово-диссипативной неустойчивости. Ее положительные результаты позволяют говорить о дрей­фово-диссипативной неустойчивости, как о твердо установленном физиче­ском явлении.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДРЕЙФОВО-ДИССИПАТИВНОЙ

НЕУСТОЙЧИВОСТИ

А) Исходные уравнения

Процессы, приводящие к развитию дрейфово-диссипативной неустой­чивости, могут быть проанализированы в приближении двухжидкостной гидродинамики. При использовании этого приближения электронная и ионная компоненты плазмы представляются в виде двух взаимно прони­кающих жидкостей или, точнее говоря, газов. Для изотермических про­цессов, которые будут рассматриваться ниже, система гидродинамических уравнений сводится к уравнениям неразрывности и уравнениям движения каждой из компонент плазмы. Уравнения неразрывности имеют стандарт­ный вид

-|- + УМ = 0, (i. i)

Где индекс ) принимает два значения: / = е, £ для электронов и ионов соот­ветственно. Плазма считается квазинейтральной пе = = п.

Уравнения движения следует обсудить более подробно. Нас будут интересонать сравнительно медленные процессы, частота которых ш мала по сравнению с ve-чacтoтoй соударений электронов с тяжелыми частицами (нейтральными атомами в слабо ионизованной плазме, ионами в плазме полностью ионизованной). При рассмотрении таких процессов в уравнении движения электронов можно опустить силу инерции

0= — теуп — еп ( — + (!-2)

"здесь магнитное поле считается постоянным и однородным, а электриче­ское поле потенциальным Е = — Уф, что справедливо для плазмы низкого давления 8лпТ/В2^ 1. В дальнейшем мы будем рассматривать колебания плазмы с замагниченными электронами, когда электронная циклотронная частота ше значительно превышает мр. Оказывается, что в этом случае тре­ние влияет лишь на движение электронов вдоль магнитного поля. Поэтому мы положим = 0, ^||е = — тпе№цее, здесь и в дальнейшем значки «продольно» и «поперечно» отмечают направление относительно магнит­ного поля. Вообще говоря, вместо Уце в выражении для силы трения долж­на стоять разность ице — Уцп в случае плазмы слабо ионизованной или Уце — уц; в случае плазмы, ионизованной полностью. Однако в плазме, называемой слабо ионизованной, заряженные частицы составляют малую долю 10~4 от общего их числа. Поэтому заряженные частицы не могут вовлечь в движение нейтральную компоненту плазмы, и последнюю мож­но считать неподвижной, положив Уцп = 0. Поскольку продольная элек­тронная скорость Уце значительно превышает ионную 1?ц;, то же самое выражение для силы трения остается приближенно справедливым и в слу­чае полностью ионизованной плазмы.

Ионное уравнение движения запишем в виде

Т>п^=- — Т&п + еп ( — Уф + ^-[угВ]) + Р,; (1.3)

Здесь в случае слабо ионизованной плазмы Г; = — где vг —

Частота ион-нейтральных соударений. В плазме полностью ионизованной трение ионов об электроны ввиду малой'массы последних несущественно, и более важную роль играет вязкость, вызываемая соударениями ионов друг с другом: г. а = — (д1дхр) Л;,ар. В дальнейшем нам понадобятся

Следующие значения компонент тензора вязкости: — тсуу =

= — Г)! (Шхх — УУуу) 2г)3й^х!/) ЛХ1/ — лу* ^ 41^ ху ~2 ( ^хх

-Жуу),где

Ш иг — — Ш — до* I д“у

Уухх - и Уи — 1 ^ ах ду). ууху - Эу + дх,

П „ пТ;1 „ р. с пТI

(см., например,16). Здесь и в дальнейшем используется декартова система координат, ось Ог которой направлена вдоль магнитного поля, Ох — вдоль градиента плотности плазмы.

Хотя поведение полностью ионизованной и слабо ионизованной плаз­мы описывается сходными уравнениями, их физический смысл не вполне одинаков. Гидродинамическая система уравнений для полностью иониэо- .ванной плазмы выводится посредством регулярной процедуры из кинети­
ческого уравнения (см., например,10). Эта процедура основана на том, что вид функции распределения каждой из компонент плазмы определяется в основном соударениями между одинаковыми частицами (электрон-элек - тронными и ион-ионными). Под действием соударений устанавливается максвелловское распределение, параметрами которого являются плот­ность, скорость и температура. Гидродинамические уравнения определя­ют эволюцию этих параметров. В плазме слабо ионизованной функция распределения заряженных частиц определяется внешними электрически­ми полями, поддерживающими разряд, и соударениями с нейтралами. Поэтому энергия и скорость каждой из компонент однозначно определены и соответственно гидродинамическая система уравнений сводится к един­ственному уравнению для плотности 17>18. Область применимости такой модифицированной гидродинамики довольно ограничена, и поэтому при­ходится использовать моменты кинетического уравнения, которые имеют смысл уравнений баланса. Обрыв системы моментов может привести к зна­чительным погрешностям при рассмотрении процессов, в которых суще­ственную роль играют высшие моменты. К счастью, дрейфово-диссипатив­ная неустойчивость обязана такому грубому отклонению от состояния термодинамического равновесия, как градиент плойюсти. Поэтому ее раз­витие с достаточной точностью описывается двумя первыми моментами кинетического уравнения (см., однако, гл. 4 настоящего обзора).

Рассмотрим с помощью (1.2) движение электронов поперек магнитного поля в отсутствие колебаний. Предположим, что в начальном состоянии нет электрического поля. Считая также, что Р±е= 0 (см. выше), получаем следующее выражение для скорости электронов в направлении поперек магнитного поля:

<,-4>

Из (1.4) следует, что если плотность плазмы меняется в направлении попе­рек магнитного поля, то ее электронная компонента находится в состоянии движения. Такое движение называется градиентным или ларморовским дрейфом. Оно интересно тем, что гидродинамическая макроскопическая скорость не связана с перемещениями отдельных электронов, каждый из которых в среднем покоится, вращаясь по неподвижной лар - моровской окружности 15.19.

Б) Дрейфовые колебания

Приступим к рассмотрению колебаний неоднородной плаз­мы в магнитном поле. Прежде всего проанализируем их прост­ранственную зависимость. Она определяется геометрией систе­мы. Обычно дрейфовые колеба­ния изучаются в системах, име­ющих форму сильно вытянутого цилиндра, длина которого на один-два порядка превышает диаметр. Маг­нитное поле создается коаксиальными катушками и направлено парал­лельно оси системы. Типичная экспериментальная установка, использо­вавшаяся для изучения колебаний газоразрядной плазмы в магнитном поле, изображена на рис. 1.

Поскольку параметры плазмы слабо меняются вдоль оси, система в этом направлении может приближенно считаться однородной. Наиболь­шую трудность представляет анализ радиальной зависимости, так как для этого приходится решать систему дифференциальных уравнений с пере­менными коэффициентами. Однако оказывается, что в интересующих нас колебаниях из всех радиальных движений плазмы наиболее существенную роль играет дрейф в скрещенных полях: постоянном аксиальном магнит­ном поле и азимутальном электрическом поле колебаний. Такой дрейф приводит к смещениям плазмы по радиусу, т. е. в направлении градиента плотности, что и вызывает колебания плотности. Для учета этого эффекта достаточно рассмотреть возмущения, бегущие по азимуту и не зависящие от радиуса. Детальный анализ проблемы подтверждает законность такого подхода (см., например,3-6'8-11). Поскольку радиальная зависимость воз­мущений оказалась несущественной, то вместо аксиально-симметричной системы можно рассматривать систему с плоской симметрией. (Направле­ние вдоль Ох эквивалентно радиальному, вдоль Оу — азимутальному). С учетом всего сказанного выражения для возмущений плотности и потен­циала в колебаниях принимают вид ~ exp (—ioit + ikzz 4- ikyy) [45])■ Сделаем дополнительно следующие упрощения: положим Т-, = 0; пренебрежем движением ионов вдоль магнитного поля (см. выше), а их поперечное движение будем считать бесстолкновительным FI = 0. Пред­полагая также, что частота колебаний не слишком велика, в ионном урав­нении движения опустим силу инерции. При этих предположениях из (1.2), (1.3) находим

(1.5)

(1.5) (1.7)

(1.8)

Здесь Ье = е1тее, Бе = Те/тее — коэффициенты подвижности и диффу­зии электронов соответственно.

Подставляя (1.5) — (1.8) в уравнения непрерывности и линеаризуя их по малым возмущениям плотности п0 и потенциала фх, получаем

(1.9)

(1.10)

Наряду с анализом уравнений (1.9), (1.10) попробуем, следуя 23, наглядно представить механизм распространения колебаний. Для этого обратимся к рис. 2. На нем представлено мгновенное распределение плотности в волне ~ exp (—i(ot + ikyy ikzz), области повышенной плотности отмечены знаком «плюс». Уравнения (1.9), (1.10) совместны,
если два последних слагаемых в (1.9) взаимно сокращаются. Это озна­чает, что градиент давления электронной компоненты компенсируется электрическим полем ф! = (Ое! Ъе) п1/п0 = (Те/е) /г1/и0. Поэтому области повышенной концентрации должны быть заряжены положительно. На рис. 2 направление электрического поля показано короткими стрелками. Поскольку электрическое поле имеет «/-компоненту, плазма дрейфует по Ох (длинные стрелки). В область справа от максимума приходит плаз­ма из более глубоких слоев, где ее плотность больше (на рис. 2 плотность спадает по Ох). В область слева от максимума приходит плазма из слоев, расположенных ближе к поверхно­сти, где плотность плазмы имеет мень­шее значение. В результате вся кар­тина смещается вправо (пунктирная кривая). Непрерывное повторение этого процесса означает, что по плаз­ме бежит волна плотности и потен­циала. Эта волна не нарастает и не затухает (1шсо =0). Действительная часть, как следует из (1.9), (1.10), равна со[46] = к,, х сТе! еВ, где х =

= —(1 /п0)<1п0/йх. Эта частота называ­ется дрейфовой и соответственно сами колебания дрейфовыми. Дрейфовые колебания были впервые рассмотре­ны в работе 24 на примере полностью ионизованной плазмы. Дальнейшее развитие теории дрейфовых колеба­ний отражено в обзорных работах

В, 9, 11

Остановимся на двух интерес­ных моментах.

1) Дрейфовые колебания не за­тухают, хотя о).<^ е. Причина этого ясна. Поскольку электроны распределены по закону Больцмана, то их средняя макроскопическая скорость равна нулю, а вместе с ней обра­щается в нуль и сила трения.

2) Фазовая скорость дрейфовых колебаний в направлении ОУ ока­залась равной невозмущенной скорости ларморовского дрейфа электро­нов (1.4). Поэтому на первый взгляд, создается впечатление, что здесь мы имеем дело с переносом возмущений электронным потоком. Однако поскольку при ларморовском дрейфе каждый отдельный электрон н сред­нем покоится, такой перенос, очевидным образом, невозможен. Лармо - ровский дрейф вообще не может привести к изменению плотности, и поэто­му соответствующее слагаемое V («V*) выпадает из результирующего уравнения непрерывности (1.9). По-видимому, совпадение фазовой ско­рости колебаний со скоростью ларморовского дрейфа вызвано тем, что последняя является простейшей величиной с размерностью скорости, характеризующей неоднородную плазму в магнитном поле. Действитель­но, поскольку макроскопическую скорость можно считать мерой неравно - весности плазмы, то естественно предположить, что она должна быть пропорциональна х Т. Простейшая комбинация из величин х7 е, В, с, /та,, тпе *), имеющая размерность скорости, очевидно, совпадает со скоростью ларморовского дрейфа (сТ/еВ) х (сравнить с (1.4)).

Дрейфовые колебания не затухают и не нарастают (1хгко = 0). В опре­деленном смысле можно утверждать, что плазма с дрейфовыми колеба­ниями представляет собой новый тип равновесного состояния. Поскольку в дрейфовых колебаниях «грубые» силы (давление и сила со стороны электрического поля) уравновешиваются, решающими могут оказаться более тонкие эффекты. Именно поэтому, например, корректное рассмотре­ние дрейфовых колебаний в полностью ионизованной плазме в некоторых случаях может потребовать расширения схемы обычной гидродинамики с учетом более высоких моментов функции распределения 6. Мы же в нас­тоящий момент учтем инерцию ионов. Ее влияние оказывается весьма существенным даже при низкой частоте колебаний ш ю;.

С помощью уравнения (1.3) определяем скорость ионов в направле­нии поперек магнитного поля

Ухп = -^[ВУф1] + -^-^У±Ф1. (1.11)

Движение ионов вдоль магнитного поля по-прежнему не учитываем. Подставляя (1.11) в уравнение неразрывности и принимая во внимание выражение для частоты дрейфовых колебаний (см. предыдущий раздел), находим, что учет силы инерции уменьшает второе слагаемое в (1.10) на множитель (1—йгур? е); здесь Р;е = Те1т1 — ларморовский радиус

Ионов, сосчитанный по электронной температуре. Таким образом, инер­ция ионов эффективно замедляет дрейф в скрещенных полях, в результа­те дрейфовое смещение ионов оказывается меньше электронного и ампли­туда колебаний электронной плотности превышает ионную. Квази­нейтральность плазмы поддерживается за счет перераспределения элек­тронов вдоль магнитного поля. Причем избыточные электроны, переходя из областей с большей плотностью в области с меньшей плотностью, выну­ждены совершать работу против электрического поля, см. рис. 2. В результате амплитуда колебаний возрастает. Поскольку энергия отби­рается у электронов, они охлаждаются. В конечном счете энергия тра­тится на то, чтобы привести в движение тяжелые ионы. Эти процессы не противоречат второму началу термодинамики, так как колебания плазмы в направлении градиента плотности сглаживают его величину (среднюю по колебаниям), приближая систему к равновесию.

Какова роль трения электронов о тяжелые частицы в этом механизме раскачки колебаний? Если бы электроны вдоль магнитного поля двига­лись свободно-инерционно, то, как легко показать, изменение их плот­ности при движении под действием избыточного давления было бы сдви­нуто по фазе относительно первоначального возмущения на я/2. При этом мы получили бы чисто колебательный режим без нарастания перво­начальных возмущений. Если смотреть более глубоко, то роль трения состоит, по-видимому, в том, что оно вносит элемент необратимости. В результате процесс сглаживания профиля плотности плазмы в колеба­ниях приобретает необратимый характер. Это, в конечном счете, и позво­ляет колебаниям без противоречия со вторым началом термодинамики отбирать тепловую энергию у электронов.

Покажем, что вывод о неустойчивости плазмы следует и из формаль­ного анализа. Учет инерции ионов приводит к появлению в (1.10) допол­нительного слагаемого — гА:у (с/В) (со/со£) В результате диспер­

Сионное уравнение для определения частоты собственных колебаний плазмы, которое получается из условия совместности уравнений (1.9),

(1.10) , приобретает следующий вид:

Ш-ш* = ;^^р? е-соЛ£р? е. (1.12)

Пренебрегая сначала малой правой частью (1.12), которая обязана учету силы инерции, получаем ш = ш* = (сТе! еВ) куу. (см. выше). В сле­дующем приближении находим, что колебания неустойчивы (1та) > 0).

2. ДРЕЙФОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СЛАБО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ ГАЗОВОГО РАЗРЯДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А) Обнаружение неустойчивости

Исследования колебаний бестокового газового разряда в магнитном поле ведут свое начало с экспериментов, описанных Бомом (см. введение). Эти эксперименты были продолжены в работах 25_28. Было обнаружено, что аномалии в поведении плазмы проявляются, лишь если магнитное поле превышает некоторое критическое значение ВКр. Причем при В > > Внр иэ области, занятой пучком первичных электронов, вырываются один или несколько плазменных «факелов», вращающихся вокруг пучка. С увеличением магнитного поля появляются факелы различного про­странственного масштаба, вращающиеся с различной скоростью. Одно­временное присутствие в разряде нескольких факелов приводило к бес­порядочной хаотической картине, т. е. к турбулентности.

В работе 29 исследовался высокочастотный разряд в магнитном поле. Здесь была обнаружена аномальная зависимость нагрузки на генератор от магнитного поля. Намного раньше в30 было замечено, что в таком раз­ряде наблюдается аномалия в поведении электронной температуры в магнитном поле, которая возрастала с увеличением поля. Более под­робное изучение высокочастотного разряда 31 позволило установить, что при увеличении магнитного поля выше критического возрастает поток положительных ионов поперек магнитного поля и одновременно с этим плазма начинает генерировать высокочастотные электрические колеба­ния, имеющие характер шума. Все эти факты свидетельствовали косвен­ным образом о возникновении неустойчивости и увеличении коэффициента диффузии.

Естественно было ожидать, что наиболее спокойной окажется распа­дающаяся плазма, остающаяся в разряде после выключения источника ионизации, так называемая плазма послесвечения. Действительно, в такой плазме, в отличие от плазмы высокочастотного разряда, электронная температура близка к температуре нейтрального газа, а стационарное электрическое поле, которое обычно самопроизвольно возникает в газо­вом разряде (амбиполярное поле), оказывается довольно слабым. Однако исследования показали, что и в распадающейся плазме коэффициент диф­фузии имеет аномально большую величину 32- 33. Делались попытки связать аномалию с влиянием примесей, перекосом оси разрядной труб­ки относительно магнитного поля, рекомбинацией и т. д. (см., напри­мер, 34> 35). Эти эффекты были проанализированы в работах 36-38 (см. так­же 7). Их авторы пришли к выводу, что увеличение коэффициента диффузии может быть обусловлено лишь развитием неустойчивых коле­баний.

Аномальная диффузия, сопровождающаяся возбуждением электри­ческих шумов, была обнаружена и в так называемом разряде с осцилли­рующими электронами 39 > 40.

Б) Первые попытки идентификации неустойчивости

Поскольку сходные явления наблюдались в разрядах различного типа, было естественно предположить, что здесь действует некий универ­сальный механизм неустойчивости, не связанный с особенностями кон­кретного вида разряда. Для того чтобы выяснить, не был ли таким меха­низмом дрейфово-диссипативный, следовало прежде всего найти условия неустойчивости и сравнить их с экспериментальными. Для этого в идеа­лизированную схему, использованную в предыдущем разделе, должны быть дополнительно включены некоторые факторы, проявляющиеся в реальных системах. Для слабо ионизованной плазмы газового разряда такими факторами являются: соударения ионов с нейтралами, конечная величина температуры ионов (71; =5^= 0), ограниченность системы в направ­лении вдоль магнитного поля и др. В 41 был учтен лишь один из них (соударения ионов с нейтралами). Этот фактор оказался наиболее сущест­венным. Для того чтобы включить в рассмотрение соударения ионов с нейтралами, следует в (1.11) произвести замену а>—► а> IV,-. При этом дисперсионное уравнение для частоты приобретает следующий вид:

Со2 + гш (V; 4- Оек (1 + ку2р^)) -{- Оек? (— га— V,) = 0. (2.1)

При V; = 0 это уравнение, как легко показать, переходит в (1.12).

Анализ (2.1) дает следующие приближенные условия неустойчивости:

(2.2)

Из (2.2) нетрудно найти, что отдельные моды с фиксированными зна­чениями ку, кг могут раскачиваться лишь в определенных интервалах изменения магнитного поля:

(2.3)

Область неустойчивости расширяется с увеличением | (уменьшением давления, увеличением градиента плотности плазмы) и уменьшением продольного волнового числа. Области неустойчивости мод с различными значениями ку могут перекрываться, причем для раскачки колебаний с большим ку требуется большее магнитное поле.

В работе 41 с помощью (2.2) была определена область неустойчивости плазмы н аплоскости £; т) = (й)гЛ>;) = 1/хр,;е. Эти координаты удобно

Использовать для характеристики состояния плазмы, так как они простым образом связаны с давлением нейтрального газа £ ~ р~1 и магнитным полем г ~ В, т. е. величинами, которые наиболее просто менять в экс­перименте. Оказалось* что для неустойчивости необходимы достаточно большие значения £ (£ > 1). Это ограничение естественно, так как при­чиной неустойчивости является неравновесность плазмы, характеризуе­мая величиной градиента £— х. Более точные расчеты (см. 8> 42) дают

(2.4)

На рис. 3 эта граница отмечена цифрами (4)—(5). Участок границы (3)—(4) (£т| = да 1) определяется из условия раскачки колебаний с наи -

Именыпим возможным значением ку да х (см. левое неравенство (2.3)). При дальнейшем уменьшении магнитного поля критические значения |

Ствуют какие-то дополнительные механизмы раскачки колебаний. Зако­нен вопрос — не являются ли эти механизмы более сильными и в области частот со > V*?

Наряду с этим в 10' 47 были высказаны сомнения в законности локаль­ного квазиклассического приближения, при использовании которого, несмотря на неоднородность системы, возмущения выбираются в виде плоских волн. Убедительный ответ на все эти вопросы мог быть дан только в результате прямой экспериментальной проверки дисперсионного соот­ношения (2.1).

В) Выделение отдельных мод неустойчивых

Колебаний

Очевидно, что дисперсионное соотношение можно проверить лишь в том случае, если плазма находится в ламинарном режиме, т. е. в ней возбуждено небольшое число мод колебаний, лучше всего одна. Причем

Амплитуда колебаний должна быть достаточно малой, так чтобы оказались

Справедливыми результаты линейного приближения, использованного при выводе (2.1).

По-видимому, впервые отдельные моды дрейфовых колебаний в стол- кновительной плазме были выделены в работе 50, где изучались неустой­чивые колебания водородной плазмы высокочастотного разряда в магнитном поле. Результаты анализа спектра ко­лебаний схематически изображены на рис. 4. На нем кроме основной часто­

Ты а)! = 9,4-104 сек-1 видны также гармоники 0)п = 710)! вплоть до п = 5. Спектрограмма, по существу, представ­ляет разложение Фурье нелинейных колебаний, хорошо скоррелированных

Ы во времени и пространстве. Эти ко -

„ . „ .. , лебания распространялись как по ази -

Рис. 4. Спектр дрейфовых колеса-

Ний50. муту, так и вдоль магнитного поля.

Поскольку система в направлении вдоль магнитного поля была ограничена, то на первый взгляд следовало ожидать установления стоячих волн. Однако в описываемых экспериментах плазма создавалась на одном конце разряд­ной трубки. По мере движения вдоль магнитного поля плазма терялась на стенках трубки, и до другого ее конца доходила лишь малая доля заряженных частиц. Резкая неоднородность плазмы, по-видимому, и обу­словливала распространение колебаний в направлении вдоль магнитного поля. Была измерена фазовая скорость колебаний. При давлении нейтраль­ного ґаза 2-Ю-3 мм рт. ст. ее проекция на азимутальное направление и направление вдоль магнитного поля оказались равными 2-Ю6- и 2-Ю® см/сек соответственно. Продольная длина волны была равна при­мерно 100 см, структура колебаний в направлении поперек магнитного поля не исследовалась.

В работе 50 изучалась зависимость частоты колебаний от величины магнитного поля. Оказалось, что в соответствии с (1.2) частота уменьшает­ся с ростом магнитного поля со да ш* = кух сТе! еВ. Было также обна­ружено, что частота падает при увеличении давления нейтрального газа.

Хотя в 50 и были получены интересные результаты, они не могут считаться полноценной проверкой дисперсионного соотношения ввиду следующего. 1) Не было измерено азимутальное волновое число тп.

2) Производилось сравнение с асимптотическим значением частоты дрей­фовых колебаний со[47], которое приближенно справедливо лишь вдали от границы области неустойчивости. 3) Не было проанализировано влияние неоднородности плазменного столба в направлении вдоль магнитного поля. 4) Полученные данные относятся к нелинейному режиму, о чем говорит наличие в спектре колебаний большого числа гармоник основ­ной частоты.

В 61 отдельные моды колебаний исследовались в однородном в на­правлении вдоль магнитного поля столбе плазмы высокочастотного раз­ряда. Было показано, что колебания, как и требовалось по теории, бежали по азимуту в электронную сторону, а их частота по порядку величины равнялась дрейфовой. На плоскости £ — т} (см. рис. 3) неустойчивому состоянию плазмы соответствовала область, лежащая внутри области дрейфовой неустойчивости, ограниченной линиями 1—5.

Отдельные моды колебаний были выделены также в плазме отража­тельного разряда в магнитном поле. Интересующий нас столкновительный режим изучался в работе 52 *). Было показано, что частота колебаний по порядку величины совпадает с рассчитанной из (2.1).

Делались также попытки обнаружить дрейфовые колебания в разряде постоянного тока в магнитном поле 56“58. Однако в силу сравнительно низких частот дрейфовых колебаний их характеристики могли сущест­венно модифицироваться в результате направленного движения электро­нов. (Разряд постоянного тока более благоприятен для исследования ионно-звуковых колебаний с со со*, см. гл. 5.) Возможно, что именно по этой причине колебания, обнаруженные в 5в, бежали по азимуту в ион­ную сторону, а колебания, исследовавшиеся в 58, где они были названы лсевдоионно-циклотронными, образовали волну, бегущую вдоль маг­нитного поля.

Г) Проверка дисперсионного соотношения

Подробное изучение дрейфовых колебаний в плазме высокочастотного разряда в магнитном поле было проведено в работах 59~64. В 63 исследо­валась зависимость частоты колебаний с азимутальными волновыми числа­ми = 2; 3 от магнитного поля. На рис. 5 экспериментальные данные нанесены кружками. На нем приведены также результаты расчетов по (2.1) действительной части частоты (сплошные линии) и мнимой (штриховые). На рисунке приведена лишь та часть зависимости со от В, которая соот­ветствует неустойчивости плазмы (у > 0). Область изменения магнитного поля на рис. 5 ограничена максимальным значением 2,5 кгс, достигнутым в экспериментах 63.

Из рис. 5 видно, что в плазме, как это и следует из теории, область неустойчивости ограничена как со стороны малых, так и со стороны боль­ших магнитных полей, причем колебания на опыте обнаруживаются внутри рассчитанной области. С увеличением магнитного поля первыми раскачиваются колебания с меньшим номером т. При больших магнит­ных полях, также в соответствии с теорией, в некоторой области измене­ния магнитного поля В в плазме одновременно возбуждаются колебания с различными значениями т (т = 2 и 3). В 63 действительная часть часто­
ты рассчитывалась как с учетом радиального электрического поля, так и без него (соответственно толстые и тонкие кривые). Радиальное поле приводит к вращению плазмы и из-за эффекта Допплера к изменению частоты дрейфовых колебаний. Использование значений радиального поля, найденных на эксперименте, приводит, как видно из рис. 5, к доста­точно хорошему согласию между теорией и экспериментом (сравни сплош­ные толстые линии и линии с кружками).

В 64 изучалась зависимость частоты колебаний от проекции волнового век­тора на направление магнитного поля кх. Характерная зависимость со от кг представлена на рис. 6. Из рисунка видно, что экспериментальные данные, отмеченные кружками, находятся в хо­рошем согласии с расчетными, полу­ченными с учетом радиального электри­ческого поля. На том же рисунке штри­ховой линией проведена расчетная за­висимость инкремента у от кг (показана часть кривой с - у > 0). Область неус­тойчивости ограничена как со стороны малых, так и со стороны больших длин волн, что и имело место на эксперимен­те. Поскольку в плазме вдоль магнитно­го поля укладывается не менее чем половина длины волны (кг ^ я/£-), то из рис. 6 следует, что дрейфовые коле­бания могут раскачиваться в плазме лишь в том случае, если ее протяжен­ность превышает некоторый минималь­ный размер, определяемый параметра­ми разряда и радиусом трубки.

В 63 проверялись области раскач­ки дрейфовых колебаний на плоско­сти г), рассчитанные в 41. На рис. 7 светлыми и темными кружками пред­ставлены границы области неустойчивости отдельных мод колебаний, полученные на опыте. Области раскачки колебаний с т = 2 (светлые кружки) обозначены горизонтальной штриховкой, а с т = 3 (темные кружки) — вертикальной. Штрих-пунктирными линиями на рис. 7 ограничена исследованная в работе 63 область значений параметров £ и т|. Из рис. 7 видно, что область неустойчивости отдельных мод колебаний располагается внутри предсказанной теорией области изменения пара­метров ^ и т], однако занимает лишь часть ее. При расчетах в 41 счита­лось, что температура ионов в плазме Г* = 0. Учет того обстоятельства, что Гг =5^ 0, как было показано в 59, может сократить область неустой­чивости. Действительно, дрейфовые колебания возможны, если ларморов - ский радиус ионов рг < х-1, что при Т; г» 0,01 Те приводит к условию г|>0,1. Если использовать это условие, то область неустойчивости сокращается со стороны малых магнитных полей. Однако и после этой коррекции расхождение между теорией и экспериментом, как видно из рис. 7, все еще остается. Обнаруживается также и расхождение в соответ­ствующих границах со стороны малых значений £ (высоких давлений газа). Лучшее согласие между опытными и расчетными значениями получается при учете конечной длины системы вдоль направления магнитного поля, приводящем к ограниченности величины к2 (кг ^ я! Ь) Рассчитанные для
конкретного значения кг области неустойчивости колебаний трех первых азимутальных мод изображены на рис. 7 штрихом. (Полная область неустой­чивости представляет собой сумму областей отдельных мод колебаний при Тошах - V оо.) Из рис. 7 видно, что найденные таким образом нижние по

0,0Ь

Мг, см 1

Рис. 6. Зависимость частоты и и ин­кремента у дрейфовых колебаний от проекции волнового вектора на направ­ление магнитного поля (кг = 2л/кг) 64. Аг, р = 4'10"3 мм рт. ст., т = 2, В — 1,9 кгс. Штриховал кривая—расчетные значения инкрементов.

Кружки О и | соответствуют} азимутальным волновым числам т — 2 и 3. Штриховыми линиями обозначены расчетные области рас­качки колебаний с тп = 1,2 и 3. Штрих-пун­ктирными линиями ограничена исследованная в работе область.

Ь и т] границы области неустойчивости отдельных мод колебаний достаточно хорошо совпадают с установленными на опыте. В то же время следует отметить, что первая мода колебаний, которая согласно теории должна раскачиваться при наимень­ших магнитных полях, на опыте не наблюдалась.

Характеристики отдель­ных мод дрейфовых колебаний исследовались также в плазме отражательного разряда в магнитном поле 65. При интер­претации экспериментальных данных предполагалось, что в плазме должны устанавли­ваться колебания, инкремент которых максимален. Из (2.1) следует, что для этого компо­ненты волнового вектора к2 и ки должны удовлетворять со­отношению 0)* = 0)8, где (08 =

= АЛг (кир1е)-2. При дрей­фовой неустойчивости, как правило, раскачиваются длинноволновые моды с небольшим числом узлов. Поэтому при изменении магнитного поля, давления нейтрального газа и т. д. перестройка мод должна происходить дискретно через довольно большие интервалы изменения этих параметров. В таких условиях упрощенный эквивалент дисперсионного соотношения В виде (О* = (05 может быть проверен лишь в отдельных точках. В то же время были получены 65 интересные данные, касающиеся перестройки азимутальных мод (рис. 8). Из итого рисунка следует, что увеличение
магнитного поля приводит к возрастанию азимутального волнового числа неустойчивых колебаний, причем в соответствии с левым приближенным неравенством (2.3) т-я мода неустойчива при aij/Vj » т. « ку/х.

Необходимо особо остановиться на экспериментах 2а-66 ■ 67, где иссле­довались колебания плазмы высокочастотного разряда и плазмы после­свечения в магнитном поле. Были выделены отдельные моды колебаний, идентифицированных как дрейфовые, и проверен закон дисперсии. Было обнаружено хорошее соответствие с теоретическими расчетами. Однако оказалось, что частота колебаний может принимать значения существенно меньшие (на порядок величины) частоты соударений ионов с нейтралами. Этот результат противоречит основным положениям теории дрейфовой неустойчивости.

В экспериментах с плазмой послесвечения 22'6в изучалась поздняя стадия разряда, когда плотность плазмы была довольно низка. Поэтому можно предположить, что на самом деле в этих работах наблюдался низкочастотный вариант дрейфово-диссипативной неустойчивости разре­женной плазмы (см. раздел гл. 4 настоящего обзора). Согласие с теорией дрейфовой неустойчивости можно попытаться приписать тому обстоя­тельству, что в 22’ 66 при теоретических расчетах дополнительно вводилась зависимость возмущений от координаты х по закону e'h*x. При этом, как отмечено в примечании на стр. 278, мог быть искусственно введен дополни­тельный эффект раскачки, что, по-видимому, и привело к выводу о не­устойчивости дрейфовых колебаний с ш v;.

3. ДРЕЙФОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ

ПЛАЗМЕ (?-МАШИН

Обычно для ионизации газа используются электрические поля или пучки быстрых частиц. Получающаяся таким образом плазма оказывается в состоянии, весьма далеком от термодинамического равновесия и, сле­довательно, потенциально неустойчивом, ^-машины были задуманы как устройства со спокойной (quiescent) полностью ионизованной плазмой. В них плазма создается термической ионизацией пучка нейтральных атомов, падающих на накаленную металлическую пластину. После обра­зования плазма свободно вытекает с пластины вдоль магнитного поля. Однако даже такая «спокойная» плазма преподнесла достаточное количе­ство сюрпризов. В частности, в ней было зафиксировано развитие несколь­ких типов неустойчивостей. Понадобилось известное время для того, чтобы разобраться в наблюдаемых явлениях, а из числа неустойчивостей выделить дрейфово-диссипативную. Мы не будем останавливаться на этом первоначальном этапе исследований, который достаточно полно освещен в ев, 69 Перейдем сразу к выводу и проверке дисперсионного соотношения дрейфово-диссипативной неустойчивости (см. 7°-72).

В плазме (?-машин ионная температура близка к электронной. При рассмотрении колебаний в такой плазме в ионном уравнении движения необходимо учитывать давление и вязкость. В компоненты тензора вяз­ких напряжений, приведенные в гл. 2, входят два коэффициента вязкости - Г)! = 0,3 nTtvj/cof и Т}3 = 0,5 nT-Jdii. Слагаемые, пропорциональные т]3, учитывают так называемую бесстолкновительную вязкость, обязанную эффектам конечного ларморовского радиуса, а пропорциональные столкновительную вязкость. Использование гидродинамического при­ближения предполагает, что частота рассматриваемых процессов мала по сравнению с частотой ионных соударений а)<^ vt. Ниже мы увидим, что такие колебания могут быть неустойчивыми. В этом пункте мы имеем коренное различие между плазмой полностью ионизованной и слабо

Ионизованной. Дело в том, что в плазме слабо ионизованной соударения ионов с нейтральными атомами приводят не к выравниванию градиентов скорости (вязкость), а к торможению ионной компоненты (трение). Тре­ние оказывает существенно более сильное стабилизирующее воздействие. Именно поэтому колебания с со ^ V,- в слабо ионизованной плазме оказы­ваются устойчивыми (см. предыдущую главу).

При выводе дисперсионного соотношения дрейфовых колебаний, как и в гл. 1, пренебрежем смещениями ионов вдоль магнитного поля. Используя ионное уравнение движения (1.3) и уравнение непрерывности, получаем

— шщ + ikyY, п0ц>1 + — ш + (kyPj)1] ( Иоф, + — щ ) = 0. (3.1)

Дисперсионное уравнение, которое определяется из условия совместно­сти (1.9), (3.1), удобно представить в следующем виде:

((0 __ m.) (1 _ «L ) = t JL. {kyPi)2 (ft) + m.) _ 2iQi - 2o) (V,.)2- (3.2)

Здесь для кратности введены обозначения Qe = DJtl, Q( = 0,3 v(- (куР;)1. Если в (3.2) пренебречь столкновительной вязкостью, положив = 0, то различие между (1.12) и (3.2) будет обязано лишь эффектам конечного ларморовского радиуса (бесстолкновительная вязкость). При (А^рг)2 1

Правая часть (3.2) как и в разделе в) гл. 1 может быть учтена в каче­стве малой поправки. В нулевом приближении по Arypf имеем ш = ш*. Подставляя это значение частоты в правую часть (3.2), находим, что она равна удвоенной правой части (1.12), следовательно, возрастает вдвое и инкремент колебаний. Это означает, что в изотермической плазме эффекты конечного ларморовского радиуса оказывают на дрейфовые коле­бания точно такое же воздействие, как и инерционные эффекты. Инерция приводила к эффективному замедлению движения ионов в колебаниях (см. гл. 1), таким же согласно 3 должно быть воздействие эффектов конеч­ного ларморовского радиуса. Дело в том, что на заряженные частицы, вращающиеся по ларморовской окружности конечного радиуса, действует в среднем меньшее электрическое поле £3фф = Е (1 — Агур?) 73. В силу эквивалентности инерционных эффектов и эффектов конечного ларморов­ского радиуса в плазме с горячими ионами могут оказаться неустойчивыми даже колебания с очень низкой частотой, на развитие которых инерцион­ные эффекты не оказывают никакого влияния.

Учтем теперь столкновительную вязкость. Из (3.2) следует, что коле­бания устойчивы как при очень малых, так и при очень больших значе­ниях йе. Интервал значений, в котором плазма неустойчива, определяется неравенствами (co*A:upi)2^71 > Qe > &г. Последнее неравенство для даль­нейшего удобно представить в виде (см. 71)

А > (1,2)1/41 (|^)1/2 (Tmw)'* ~ (-^)1/2TO?'V,/2. (3.3)

Зависимость критического магнитного поля от массы ионов удобно проверять, используя плазму, образованную из смеси двух элементов. Среднюю массу, входящую в выражение для критического магнитного поля, можно менять непрерывно вместе с относительной долей элементов <"*г) = 'Ј)n0amij'^n0a. В1 экспериментах 71 использовалась смесь Cs

CL GC

И К. Рис. 9 показывает, что требуемая зависимость В ~ {ть)3/* дей­ствительно имеет место. В то же время коэффициент пропорциональности

7 УФН, т. 118, вып. 2

Превышает расчетное значение примерно в 1,5 раза. В 71 была также под- тверждена рассчитанная по (3.3) зависимость критического магнитного поля от плотности плазмы. Причем оказалось, что сколько-нибудь замет- ное отклонение от теории дает лишь первая мода колебаний с наимень- шим азимутальным волновым числом т = 1. Это обстоятельство недву- смысленно указывает на локальное квазиклассическое приближение как возможный источник расхождений. Другим источником может явиться использование гидродинамических уравнений для описания колебаний, несмотря на то, что длина волны в направлении поперек магнитного поля имеет тот же порядок величины, что и ларморовский радиус ионов. Стабилизация при достаточно малых значениях магнитного поля обязана влиянию вязкости. Если длина системы в направлении вдоль Магнитного поля не слишком велика или само магнитное поле достаточна велико, так что выполняется условие (о)/о);) ку/к; ^ 1, то может оказаться £00,

0,8 7,0 1,2 1,4 (в/Ц/(в/к^р)

Рис. 10. Зависимость инкремента ко­лебаний у от В1ку для двух различ­ных значений отношения ^.гД2 Кр (В/к±кр = В! кх. при Кр). Г = 51010 ем-3, = 2,5 ку, т=1, Т = = 2650 °К, х = 2,3 см-1. Сплошные линии— расчет,2.

Рис. 9. Зависимость критической ве­личины Віку от средней массы ионов, выраженной в массовых единицах для различных смесей калия и цезия.

Необходимым учет другого важного стабилизирующего фактора — продоль­ного движения ионов 72, 72 [48]). Заметим, что, в частности, для того чтобы устранить влияние последнего фактора во всех теоретических работах, посвященных исследованию дрейфово-диссипативной неустойчивости, рас­сматривались колебания, сильно вытянутые вдоль магнитного поля. В работе 72 был рассчитан инкремент дрейфово-диссипативной неустойчи­вости при учете продольного движения ионов (рис. 10). Из него видно, что колебания с < Яг кр устойчивы при любых значениях магнитного поля. Если Хг > Я2 цР, то в некотором интервале изменения магнитного поля колебания становятся неустойчивыми. Обычно в экспериментальных работах, посвященных изучению дрейфово-диссипативной неустойчиво­сти, приводятся данные лишь о действительной части частоты колебаний. В работе 73 был измерен также и их инкремент. Результаты измерений, как

Следует из рис. 10, хорошо согласуются с теоретическими расчетами,

Если учесть, что кх^= 0, и принять к у = У кх -1- кЦ = 2,5 ку.

На рис. 10 по оси абсцисс отложена величина (В/к±)/(В/к^[ф). На осно­вании этого рисунка можно заключить, что для колебаний с большим зна­чением азимутального волнового числа тп область неустойчивости должна быть сдвинута в сторону больших значений магнитного поля. Эта особен­ность отражена на рис. 11. Напомним, что то же самое явление имеет место и в слабо ионизованной плазме, см. предыдущий раздел. В работе '2 было найдено, что частота неустойчивых колебаний приближенно равна а)*/2. Этот теоретический результат удовлётворительно согласуется с экс­периментальными данными (см. рис. 11).

Для того, чтобы составить представление об условиях, в которых могут проявиться различные стабилизирующие механизмы, полезно обра­титься к плоскости (В/кх) (рис. 12). На нем область неустойчивости

Ограничена с трех сторон. Снизу, т. е. в области слабых магнитных полей,

Ад 0,2

100 Ш 300 Кг, см

5 6 7 Р, нес

Рис. 11. Сравнение частоты неустойчи­вых колебаний с дрейфовой частотой в калиевой плазме п.

При сравнении учтен допплеровский сдвиг.

Рис. 12. Зависимость критической, величины В1к± от кг 72.

1, Т = 2Ь50 °К, п ;

"у

= 2 • 1011 ж-*, х = 1,8 с.«-1. Сплошная ли­ния — расчет.

Стабилизация обязана вязкости, сверху — влиянию продольного движе­ния ионов, наконец, слева, т. е. в области малых длин волн, к стабилиза­ции принодит диффузия электронов. Действительно, как показано в 72 (см. также предыдущий раздел), при достаточно малой длине волны дрей­фово-диссипативная неустойчивость стабилизируется даже, если не учи­тывать продольное движение ионов.

В настоящем обзоре мы привели лишь те результаты, из числа полу­ченных в работах 71- 72, которые нам показались наиболее важными и инте­ресными. Кроме того, там были исследованы следующие зависимости: частоты и инкремента от продольной длины волны, критического магнитно­го поля от плотности плазмы, частоты колебаний от температуры плазмы, поперечной длины волны от магнитного поля, а также измерен поток плазмы наружу, вызываемый неустойчивыми колебаниями. Вся совокуп­ность результатов 71- 72 не оставляет сомнений в том, что наблюдаемая неустойчивость действительно является дрейфово-диссипативной неустой­чивостью и что ее свойства вполне удовлетворительно описываются в рамках используемой теоретической модели. Нам кажется, что именно в экспериментах на ^-машинах теория дрейфово-диссипативной неустой­чивости прошла наиболее полную и всестороннюю проверку. В то же время нельзя не отметить численных расхождений между теорией и экспе­риментом (см. рис. 9, 10). Возможные причины этих расхождений мы уже обсуждали выше.

4. НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДРЕЙФОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СЛАБО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А) Неустойчивость не полностью замагниченной плазмы

Как отмечалось выше, в ряде экспериментов наблюдались низко­частотные (со Уг) колебания, возбуждение которых невозможно связать с действием механизма неустойчивости, рассмотренного в первом разделе. К настоящему времени удалось разобраться лишь в некоторых из этих экспериментов. Наибольшая ясность достигнута, по-видимому, в понима­нии природы неустойчивости, наблюдавшейся в работах 77 • 78. При изме­нении магнитного поля последовательно возбуждались колебания двух Типов. Частота колебаний, возбуждавшихся при сравнительно больших значениях магнитного поля, превышала V* (рис. 13). Соответствующая неустойчивость была идентифицирована как дрейфовая. В области малых магнитных полей наблюдались низкочастотные колебания с ш < vг. Эти колебания, как и дрейфовые, имели вид стоячей волны в направлении

Вдоль магнитного поля (Ог) и бегущей по азимуту. Характерно, что ази­мутальная фазовая скорость при некотором значении магнитного поля меняла знак. На левой (падающей части кривой частота — магнитное поле) колебания бежали в электронную сторону, на правой (растущей) в ионную. Длина воны в направлении вдоль магнитного поля была равна удвоенной длине соленоида, так что в плазме укладывалась поло­вина длины волны. Низкочастотные колебания наблюдались лишь в плаз­ме с тяжелыми ионами (Аг, Кг, Хе), причем при таких значениях магнит­ного поля, когда ларморовский радиус ионов (р( ~ У тг) по порядку величины был сравним с радиусом разрядной трубки. Это обстоятельство натолкнуло на мысль о важной роли эффектов конечного ларморовского радиуса ионов в механизме, раскачки колебаний 79. Влияние эффектов конечного ларморовского радиуса на дрейфовые колебания рассматри­валось в предыдущем разделе, однако мы не можем использовать эти результаты. Дело в том, что они были получены с использованием гидро­динамического приближения, между тем в случае слабо ионизованной плазмы система гидродинамических уравнений представляет собой сово­купность моментов кинетического уравнения (см. гл. 1). Ее использова­ние для описания тонких эффектов, таких как эффекты конечного лар­моровского радиуса, потребовало бы дополнительного введения большого числа моментов. В этом случае проще непосредственно обратиться к кине­тическому уравнению

^ С, ? / р 1 г Т»л д/ 01 / А ' //. Ч

Здесь / — функция распределения ионов. В работе 79 столкновительный член был взят в модельной форме, учитывающей сохранение числа ионов при столкновениях с нейтральными атомами (см. 80):

St(/)= — v, (/— /o) + v,-jЈ - j dx (/ — /о).

В (4.2) предполагается, что соударения приводят ионную компоненту в тепловое равновесие с нейтральной /-v /0 = п0 (wi,-/2n7,i)3/2 *ехр (—mv? l2T;), где Ті берется равной температуре нейтрального газа.

Как и ранее, считаем, что в колебаниях все возмущенные величины меняются по закону ехр (—шЬ + ikyy + ik2z). Для определения возму­щенной функции распределения /х, кинетическое уравнение (4.1) линеа­ризуем по малым возмущениям. Интегрируя выражение для Д по скоро­стям, находим возмущение плотности ионов п1. Выражение для щ по аналогии с (1.9) удобно представить в следующем виде:

Здесь и = с/В с1ц>а/с1х, ф0 — невозмущенный электрический потенциал, который обычно присутствует в плазме газового разряда и который, вообще говоря, необходимо учитывать при анализе устойчивости.

Соответственно уравнение (1.9) должно быть дополнено слагаемым —Ькуищ. Эффекты конечного ларморовского радиуса учитываются в (4.3) через величины

Где

Tl7,(Zj) = /n(3j)e % Zi = (kyp{)2,

Iп — функция Бесселя от мнимого аргумента.

Дисперсионное уравнение для частоты, как обычно, находим из условия разрешимости системы (1.9), (4.3). Его анализ приводит к сле­дующему условию неустойчивости:

Где

Заметим, что хотя величины аг, а2, а3 и не могут превысить единицу, однако сравниваются с ней по порядку величины при &ург да 1.

Из (4.4) следует, что колебания, бегущие по азимуту в ионную сторону (ку <С 0), могут быть неустойчивыми даже в отсутствие электрического

ЛУпв ш-10 5, сек~1

Поля (и = 0). Этот вывод подтверждается измерениями радиального элек­трического поля, которые были проведены в 81 ( рис. 14). Действительно, мз него видно, что когда электрическое поле обращается в нуль, то не -

Устойчивы колебания, бегущие в ион­ную сторону, частота которых возра­стает с увеличением В.

Рассмотрим теперь вопрос о направ­лении вращения колебаний. Неслож­ные оценки показывают, что в слабо ионизованной плазме знак фазовой скорости дрейфовых колебаний зави -

Нами &’е = [к* + к (^/ш?)] и ЗД =

= Ю{{к1 + к1 К2/К+ со?)]}. Если преоб - ладает электронная диффузия

£ то колебания бегут в электронную сто­рону, если ионная (ЗД > ОД, то в ион­ную. При достаточно большой длине волны колебаний в направлении вдоль магнитного поля и не слишком малой? температуре ионов может оказаться, (И что при очень малых и очень больших ги значениях магнитного поля выполняет­ся условие ЗД > ЗД, а в промежуточ­ной области — > Яё - В этом слу -

Чае зависимость фазовой скорости от магнитного поля должна иметь сле­дующий вид (рис. 15). Разумеется, на эксперименте будут наблюдаться лишь те части кривой, которые соответствуют положительным инкремен­там. На рис. 15 они отмечены жирными линиями (сравнить с рис. 13).

Низкочастотные колебания были подробно изучены в работе 81. На рис. 16 приведены типичные результаты измерений частоты низкочастот­ных дрейфовых колебаний от магнитного поля, полученные на опыте в слабо ионизованной аргоновой плазме при различных давлениях (кривые с кружками). На том же рисунке штриховыми линиями представлены и рассчитанные с помощью (1.9), (4.3) зависимости частота — магнитное поле. Видно, что между расчетными и опытными данными обнаруживает­ся хорошее соответствие.

Теория удовлетворитель­но передает и характер на­блюдаемой экспериментально зависимости частоты колеба­ний от величины А^-проекции волнового вектора на на­правление магнитного поля

В. Это видно из рис. 17, где нанесены рассчитанные и из­меренные дисперсионные ха­рактеристики низкочастот­ных дрейфовых колебаний •с падающей зависимостью ш от В при Двух значениях магнитного поля. Теория поз­воляет также определить ин­тервал неустойчивых длин волн в функции от магнитно­го поля. На рис. 18 изобра­жены найденные на опыте (а) и вычисленные (6) области раскачки колебаний с раз­ными значениями продольной длины волны при трех раз­личных давлениях. Сопостав­ление приведенных на рисун­ке данных показывает, что, как и предсказывает теория, низкочастотные дрейфовые колебания в плазме рас­качиваются только в огра­ниченном интервале значе­ний продольных длин волн.

В работах ‘9- 81 проводилось сопоставление измеренных на опыте и рассчитанных областей неустойчивости низкочастотных дрейфовых колебаний по магнитному полю и давлению. Результаты таких сравнений показаны на рис. 19. Видно, что эти области перекрываются лишь частич­но. Однако обе они располагаются вблизи линии а);/^г = 1. Выполнение последнего условия существенно для раскачки низкочастотных дрейфовых колебаний 77, поскольку необходимое для возникновения этой неустойчи­вости различие в скоростях дрейфа ионов и электронов в скрещенных ЕукВ ПОЛЯХ особенно велико при (0^; « 1. Заметим, что из условия 0);^; л; 1 можно оценить наименьшее давление, при котором еще возможна не­устойчивость. Действительно, с уменьшением давления газа уменьшаются и минимальные значения магнитных полей, необходимых для возник­новения неустойчивости в плазме (уменьшение критического магнит­ного поля). Это, в свою очередь, ведет к росту ионного ларморовского
•радіуса и, когда он превысит радиус разрядной трубки, неустойчивость прекратится. Оценки нижнего предельного давления для существования

Рис. 19. Области раскачки колебаний по магнитному полю В и давлению р 81.

Аг, Х.2 = 120 см, т = 2. а) Расчет; б) эксперимент.

Низкочастотной дрейфовой неустойчивости 81 подтверждают правильность - такого подхода.

Б) Неустойчивость разреженной плазмы

Довольно давно в ряде теоретических работ было замечено, что раз­реженная плазма может оказаться более неустойчивой, чем плотная (см., например, п). Поясним это утверждение. При рассмотрении колебаний в разреженной плазме вместо условия квазинейтральности пе = гег необходимо использовать уравнение Пуассона

Дф = ine (пе — пг). (4.5>

Предполагая, что возмущения плотности электронов в (1.9) и ионов в (1.10) связаны через (4.5), находим следующее дисперсионное уравнение для частоты колебаний:

Со-ы*=-^~кЧге-<>>т. (4.6)

Это уравнение отличается от (1.12) заменой pie de, где de = YТе/^пегщ — дебаевский радиус электронов. Следовательно, эффекты неквазинейтраль - ности плазмы играют ту же роль, что и инерция ионов, а поэтому в разре­женной плазме могут раскачиваться низкочастотные колебания с ш v;. В работах 82' 83 эти воззрения были привлечены для объяснения экспе­риментов в плазме послесвечения.

Аномально быстрый распад такой плазмы был отмечен еще ранее 32' 33.

Позднее было обнаружено, что возра­стание коэффициента диффузии соп­ровождается возникновением колеба­ний 48> 49. Это обстоятельство заста­вило искать причину аномалий в не­устойчивости плазмы. При устано­влении ее природы необходимо учи­тывать следующие особенности. 1)

При возникновении неустойчивости безразмерные параметры £, т} лежат вне области дрейфовой неустойчиво­сти на рис. 3 (oijCVj, £<1). 2) Вви­ду того, что в плазме послесвечения электронная температура близка к ионной, раскачка ионно-звуковых колебаний в такой плазме невозмо­жна. 3) Неустойчивость развивается лишь на поздних стадиях разряда, когда плотность плазмы оказывается достаточно низкой. Последняя осо­бенность иллюстрируется на рис. 20, взятом из 83, на котором отложена относительная величина флуктуаций плотности плазмы пх1п0 в функции от плотности п0. Аналогичные резуль­таты были получены и при других значениях давления нейтрального газа и радиуса разрядной трубки.

Дисперсионное соотношение (4.6) не может быть использовано для описания этих экспериментов, так как оно получено в предположениях Те Э - ТI, а); v(, в то время как плазма послесвечения почти изотермична

(Те «Гг), а область неустойчивости характеризуется скорее обратным соотношением между частотами а); и vЈ (сог v;). В этом случае несложные вычисления дают

O)(l + s) — <о)* = 7^-(о) — atco*) (cos — to*) — itQ'e; (4.7)

Здесь обозначено s = k2d%, t = Ti! Te,

1 — (1/0 (vev,-/MeM,-)

L+(VeVi/COeWi) ’

&i = Dt№, Q'e = De [A:f + ky (v|/a)|)].

При выводе (4.7) использовалось условие Яе - Поскольку в плазме

Послесвечения Те да Тi, то для колебаний с ку~^> kz это условие выполни—
■ется при сравнительно небольших значениях магнитного поля. Мы также учли, что в плазме существует стационарное амбиполярное электрическое поле, под действием которого электроны дрейфуют по азимуту (в рассмат­риваемой нами эквивалентной системе с плоской симметрией по ОУ).

Из (4.7) находим, что плазма неустойчива при

1

“>Т+7 + 'И+*)-^г- (4.8)

Величина а положительна, если и>еы11е1 > Те/Тг. Это необходимое условие неустойчивости по порядку величины согласуется с найденным на эксперименте « 5-ь9 83. Заметим, что при ос > 0 плазма по

Отношению к стенкам заряжена положительно.

Анализ соотношения (4.8) показывает, что колебания раскачиваются лишь при достаточно низкой плотности плазмы, когда выполняется усло­вие (х^,)2 ^ (те1тп1)е11. При этом наиболее неустойчивы колебания с 5 « (хй;)2уз (пг^.'/пг^е)1/3 и кг ^ куе/(ое. В работе 83, однако, отмечено, что значение критической плотности, определенной из эксперимента, при­мерно на два порядка меньше. Дальнейшее сопоставление теории и экспе­римента обнаружило как соответствие по ряду моментов, так и некоторые расхождения. Так, например, в согласии с теорией 83 (см. также (4.7)) частота падала с уменьшением плотности плазмы, а интенсивность шумов возрастала с увеличением магнитного поля, длины разрядной трубки и градиента плотности. В то же время фазовая скорость колебаний на 1 —

2 порядка превышала расчетную. В работе 83 расхождения между теорией и экспериментом были отнесены за счет неточности локального квази - классического приближения. При этом, однако, остается неясным, почему это приближение, с успехом использовавшееся для описания других разновидностей дрейфово-диссипативной неустойчивости, оказывается не­удовлетворительным в данном случае.

Проведенное обсуждение показывает, что изучение неустойчивости, наблюдавшейся в плазме послесвечения, не может считаться завершенным. Однако точка зрения, изложенная в 82> 83, уже в настоящее время позво­ляет понять такие характерные особенности неустойчивости, как низкое значение частоты неустойчивых колебаний (ш < ^г), а также возник­новение неустойчивости на поздних стадиях разряда послесвечения, когда плотность плазмы опускается ниже некоторого критического уровня. В то же время не исключено, что физические явления, развивающиеся в плазме послесвечения, имеют более сложный характер. Так, например в 84 на поздних стадиях разряда послесвечения наблюдалась раскачка колебаний даже в отсутствие магнитного поля. Этот результат был интерпретирован как возбуждение звуковых колебаний, в которых участвовала нейтраль­ная компонента плазмы.

5. ИОННО-ЗВУКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ

А) Теория

В предыдущих разделах была проанализирована дрейфовая неустой­чивость неоднородной плазмы в магнитном поле. Частота дрейфовых колебаний пропорциональна градиенту плотности со « ш* = (сТе1еВ)кук, и поэтому в однородной плазме сама ветвь дрейфовых колебаний пропа­дает. Однако неоднородность плазмы может приводить к раскачке и таких колебаний, которые характерны для однородной плазмы. Так, например, в неизотермической плазме с Те~^> существует ветвь ионно-звуковых колебаний. (Напомним, что обычно в газовом разряде электронная тем -

Участок 1—2 границы области неустойчивости. Во-вторых, в 2 отмечено, что при рассмотрении ионно-звуковых колебаний в узких трубках необхо­димо учитывать эффект выноса плазмы на стенки трубки. При сравнитель­но низких значениях магнитного поля скорость выноса приближенно равна Dlex, здесь Dle = Dev 1/со|. Если она превысит групповую ско­рость колебаний, то неустойчивость примет вид сносовой. Это означает, что из-за выноса плазмы в системе не успевают установиться регулярные собственные колебания, и неустойчивость будет наблюдаться в виде хаоти­ческого шума. Оценки инкремента показывают, что за время выноса флуктуации не успеют сколько-нибудь значительно возрасти, поэтому плазма будет практически устойчивой. Предполагая, что групповая скорость колебаний равна скорости ионного звука, в качестве условия неустойчивости получаем 2

Cs>DXex. (5.3>

Это условие определяет участок 2—3 границы области ионно-звуковой неустойчивости.

Наконец, стабилизирующее влияние оказывает дрейф электронов в амбипояярном электрическом поле. Расчеты приводят к следующему условию неустойчивости ь)(/vi = £т| > YЬ-,/Ье 41. На рис. 21 соответ­ствующий участок границы отмечен цифрами 3—4.

Мы проанализировали ионно-звуковую неустойчивость слабо иони­зованной плазмы. В плазме полностью ионизованной раскачка ионно­звуковых колебаний в столкновительном режиме может осуществляться лишь в весьма ограниченном интервале изменения величины TelTi. Действительно, для того чтобы исключить затухание Ландау на ионах, необходимо потребовать выполнения условия V Te! Ti Э” в то время как из неравенств v„ следует Y(те/тд (Те/Т{)я 1. Интересно

Отметить, что в незамагниченной плазме аналогичные неравенства вообще оказываются противоречивыми 85.

Мы использовали название ионно-звуковые колебания, поскольку при DJt Мах (со, а)*), а) v( закон дисперсии рассматриваемых колеба­ний имеет вид си2 = к2с (см. (5.2)). В то же время при Dek Min (ш, ш*), ь)^>vt - из (5.2) получаем ш= u>ik2/kyx. Поскольку градиент плотности при этом попадает в знаменатель, то в противоположность дрейфовым эти ко­лебания в ряде работ (см., например, 86) были названы антидрейфовыми.

Б) Эксперимент

Первоначально за ионно-звуковую принимали любую неустойчи­вость, область раскачки которой на плоскости £ — т} лежала внутри области ионно-звуковой неустойчивости. Так, например, в 41 раскачкой ионно-звуковых колебаний объяснялись аномалии, наблюдавшиеся в вы­сокочастотном разряде в магнитном поле 81. Позднее 45> 78’ 87 была обна­ружена и отнесена к ионно-звуковой неустойчивости, граница которой на плоскости £ — т] совпадала с участком 2—3 границы области ионно­звуковой неустойчивости. При более детальном изучении, однако, оказа­лось, что частота неустойчивых колебаний может быть меньше частоты соударений ионов с нейтралами 12> 46- 88~91. Одного этого обстоятельства достаточно, чтобы считать отождествление неустойчивости с ионно-зву­ковой несостоятельным. Вместе с тем у нас, например, нет оснований подвергать сомнению выводы работы 92. Здесь изучался разряд постоян­ного тока в магнитном поле при сравнительно низких давлениях ней­трального газа. Было обнаружено, что при магнитном поле, большем некоторого критического, в разряде возбуждаются шумы и возрастает

Устойчивой, чем это следует из теории. Действительно, интервал значений магнитного поля, в котором на эксперименте наблюдалась неустойчи­вость, значительно уже области, где инкремент колебаний, рассчитанный

По (5.2) (штриховые кривые на рис. 24), положителен. Это расхождение можно частично устранить, если учесть, что из-за ухода заряжен­ных частиц на стенки разрядной трубки в действительности могут - наблюдаться лишь колебания, с инкрементом большим обратного времени ухода (ДХех2)-1:

1тш > Д1ех2. (5.4)'

Поскольку обычно Ие со > 1т ш (см. рис. 24), то для крупномасш­табных колебаний с ку та к исполь­зовавшееся выше условие (5.3) яв­ляется более слабым, чем (5.4).. Если в качестве условия неустой­чивости принять (5.4), то из об­ласти неустойчивости на рис. 5.4 исключается интервал магнитных полей, лежащий левее вертикаль­ных пунктирных прямых со стрел­ками. В результате при малых зна­чениях магнитного поля (левая граница) мы получаем хорошее сог­ласие с теорией, однако на правой границе расхождение остается.

Полезно результаты экспериментов 64 представить на плоскости £ — г) (см. рис. 21). Каждому значению давления (р ~ £-1) на этом рисун­ке соответствует отрезок горизонтальной прямой, длина и положение которого определяется интервалом изменения магнитного поля (т] ~ В). Мы нанесли лишь ту часть отрезка, которая соответствует неустойчивости плазмы. В результате получаем три отрезка, параллельных оси т]. На этом же рис. 21 штриховой линией показана область неустойчивости пер­вой моды колебаний, найденная из решения (5.2), и штрих-пунктиром — полученная с учетом условия (5.4). При расчетах в соответствии с экспе­риментом продольная длина волны принималась равной удвоенной длине плазмы. Если увеличивать продольную длину волны, то область неустой­чивости расширяется. Заметим, что полная область ионно-звуковой неустойчивости, ограниченная на рис. 21 сплошной линией, получается в результате наложения областей неустойчивости отдельных мод в систе­ме, неограниченной вдоль магнитного поля (оо^кг^ 0), при ку ^ х.

Зависимость частоты ионно-звуковых колебаний от магнитного поля изучалась также в разряде постоянного тока в продольном магнитном поле 58. Были получены примерно те же результаты, что и в плазме высокочастотного разряда.

Исследование зависимости частоты неустойчивых колебаний от дав­ления нейтрального газа и волнового вектора было проведено в работе 64. На рис. 25 приведены опытные и расчетные зависимости частоты колеба­ний со от давления газа р, полученные в 64, в аргоновой плазме. Здесь так же, как и на последующих рисунках, штриховой линией обозначена граница неустойчивости, рассчитанная из дисперсионного уравнения (5.2),. а штрих-пунктиром — граница, найденная из условия (5.4). Из рисунка.

Видно, что при всех давлениях выполняются условия 0) > vг, 0)г. Прет уменьшении продольной длины волны и давления газа в соответствии с теорией наблюдается увеличение частоты колебаний. Заметим, что. н условиях 64 продольная длина волны уменьшалась ~

ОТ щах = 90 СМ ДО кг =

= 60 см, определяемой воз­можностями использован­ной экспериментальной ус­тановки. При этом частота колебаний с к2 = 60 см при низком давлении газа была близка по величине к кус3. В 64 изучалась так­же зависимость частоты колебаний со от волнового вектора к. Частота коле­баний со в функции от кг (к2 — проекция волно­вого вектора на направле­ние магнитного поля) представлена на рис. 26.

Из рисунков видно, что, как и следует из (5.2), частота увеличивается с ростом магнитного поля В и с уменьшением дав­ления газа р. Она оказывается меньше кус3, приближаясь к этому значению с уменьшением продольной длины волны Яг = (кг = 2 я/к2)^

Аг, й=1,5см, р-2-10~3ммрт. ст.

Как видно из рис. 26, а, максимальное давление, выше которого плазма становится устойчивой, было близко к 8*10_3 мм рт. ст. и сравни^ мо с полученным из расчетов (штриховая и штрих-пунктирная линии). Заметим, что со стороны низких давлений теория не дает ограничения на неустойчивость. Экспериментально в 84 давление газа уменьшалось

До значений ^ 10-3 мм рт. ст. и при этих давлениях в плазме все еще обнаруживались неустойчивые колебания. Из уравнения (5.2) нельзя получить ограничения на область неустойчивости со стороны малых

Тис. 27. Зависимость частоты неустойчивых колебаний ш от проекции волнового вектора на азимутальное направление ку м. о) Магнитные поля (гс); 120 (I), 200 (2) и 300 (3); б) давления (мм. рт. ст.): 1-10-*О), 2-10-д (2) и 5-10_3 (3) Обозначения те же, что и на рис. 25.

Магнитных полей (штриховая кривая на рис. 26, б открыта снизу). Такое ограничение дает условие (5.4) — штрих-пунктирная кривая.

На рис. 27 приведена зависимость ш от ку. Из него так же, как и из рис. 26, видно, что экспериментальные данные, представленные на нем, Достаточно хорошо согласуются с расчетными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, к настоящему времени установлены условия, при которых должна развиваться дрейфово-диссипативная неустойчивость, и проанализированы дисперсионные свойства неустойчивых колебаний малой амплитуды. В этих вопросах теория и эксперимент согласуются между собой вполне удовлетворительно. Можно надеяться, что некоторые численные расхождения будут устранены при более полном учете эффек­тов, связанных с неоднородностью плазмы и нелинейностью колебаний. Возможно, что для этого потребуется также переход от гидродинамиче­ского описания к кинетическому.

Наряду с этим следует помнить, что к настоящему моменту не уста­новлена физическая природа ряда колебаний, развивающихся в плазме газового разряда в магнитном поле. Не исключено, что при их исследо­вании будут выявлены новые аспекты влияния неоднородности замагни - ченной плазмы на ее колебания, не включенные в механизм дрейфово­диссипативной неустойчивости.

Авторы благодарны Б. Б. Кадомцеву за просмотр рукописи и ценные замечания и А. А. Рухадзе за полезное обсуждение.

Институт Атомной энергии им. И. В. Курчатова Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова