ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА В КОРОТКИХ РАЗРЯДНЫХ ТРУБКАХ В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А. В. Тимофеев

В работе исследована устойчивость положительного столба газового разряда в ко­роткой разрядной трубке. Показано, что в достаточно короткой трубке первая гармо­ника (по азимуту) не возбуждается, при дальнейшем укорочении длины трубки поло­жительный столб становится устойчивым по отношению ко всем гармоникам.

Изучая диффузию плазмы из положительного столба газового раз­ряда в продольном магнитном поле, Ленерт[]] обнаружил, что начиная с некоторого Нжр. уход частиц становится аномально большим. Позднее существование критического поля было подтверждено целым рядом ав­торов^-4]. Ленерт и Ху[2] определили его величину в длинных раз­рядных трубках (/>100 а; I — длина, а — радиус трубки) для целого ряда газов (N2, Н2, Не, Аг, Кг), Теоретическая интерпретация этого явления была дана Кадомцевым и Недсспасовым [5]. Они показали, что плазма положительного столба при Н^>Нкр. становится неустойчивой по отношению к винтовым возмущениям, и это приводит к увеличению диффузии. Соответствующие расчеты критического магнитного поля хорошо согласуются с экспериментальными результатами. В пользу су­ществования такой неустойчивости свидетельствуют также результаты работы [в], в которой наблюдалось спиралевидное искривление шнура газового разряда, причем в соответствии с[э] сила, действующая на ток

В спирали была направлена наружу.

Однако устойчивость положительного столба в [5] исследовалась в ограниченных условиях: разрядная трубка считалась достаточно длин­ной, рассматривалась только первая гармоника /п = 1, магнктное поле полагалось не очень сильным (ионы не замагничены). В таких условиях одинаково важную роль играли диффузия электронов вдоль магнитного поля и диффузия поперек его. В соответствии с этим в уравнении не­прерывности электронов члены, описывающие продольную и попереч­ную диффузию, были одного порядка - j - (-') ~ 1. ^2 = --- циклотрон­

Ная частота электронов, т — время между столкновениями электрона с молекулами нейтрального газа, те — масса электрона^.

В ['] содержится указание, что в более коротких трубках неустойчи­вость может начаться с раскачки колебаний с высшими т. Следова­тельно, представляет интерес снять эти ограничения.

Мы рассмотрим устойчивость положительного столба газового раз­ряда в довольно сильных магнитных полях, когда имеет значение за-

Магниченность ионов, и в коротких трбках при ((Jt) 1, когда пре­

Обладает продольная электронная диффузия.

Следуя [’], состояние плазмы газового разряда будем описывать уравнениями непрерывности ионов и электронов
Здесь V, — скорость ионов; V, — скорость электронов; Z — число ионизаций, производимое одним электроном в единицу времени; согласно условию квазинейтральности, плотности электронов и ионов равны. Скорости выражаем через п и <р (<р — потенциал электрического поля в плазме) из уравнений движения — ул =------------ -[у. Н]-»-—V? —— , (2) Т. п. у т. с в 1 т» у Т х ’ 4 '
Т. — температура электронов. Для ионов имеем такое же уравнение движения без члена с давле­нием, так как обычно в газовом разряде В стационарном Состоянии, как обычно, получаем, используя краевое условие Шоттки, (л(а) = 0, а — радиус трубки),
Я.	1
(3)
-і
То линеаризованные уравнения непрерывности принимают следующий простой вид Ап1 В~1 — /./II =0,
Где

Л, = (-/<0-2) ^ -+- Исо0 (2')? /Ть

В, = Л* (2-)2 Й. ч - * (2-) л, ч - ± ^,

* = 1-нр/; р = 1—р/2, т = 1— Р1+рЧ3; 8 = —1-|-р/, е = — 1— *„

А1 = —Р2, р! = —Р— р*+р4г; Т1 ^-р+рЧ-ь-рЧ'—рЧ*, =р-*~р*—р4', н = —1-ь-рч-р1,

4 1 Л*. . . п_1-(ат>!

«0 ' Ь, ' Р (£>Т)2 »

V0 = Ь, Е0 — продольная невозмущенная скорость электронов. Поскольку решение системы уравнений (4) при п0 = ($0г) представляет значи -

Г1

Тельные трудности, МЫ приближенно ПОЛОЖИМ n0 = N0е Ь' . Если ВЫ“' брать 6=^—, то функция Гаусса будет хорошо аппроксимировать -

2г

Реальное распределение. При этом ф = — а А, Аъ В% В стано­вятся постоянными.

Так как в уравнениях имеется оператор Бесселя, то для решения естественно применить интегральное преобразование с ядром 1т(гх}

TOC o "1-5" h z "1 (г) = | V (х) 1„ (гх) с/х. (5>

*1

Для ЭТОГО СВОДИМ систему К одному уравнению ДЛЯ Пх (г)

{-Ь*+(А -+-В,) I—£ I -+- £ А -£г+АВу - А. в] 7.1 (г) = 0. (6>

Применив (5), для и(**) получаем следующее уравнение

** (Л В1 (7)

~£Г х (дг2_+“ А)

Решая последнее, получаем

Ьу

<о(х) = е 4 (л:2-«- А)ах (8)

где

.Л, Я 61. 5 ^ А1В Ь*

А— Л 4 ’ Л 2 1в

Согласно общей теории интегральных представлений [7], пределы интегрирования выбираем такими, чтобы обратить в нуль присоединен­ную билинейную форму. В нашем случае она имеет вид

•у (х2-*-А) V (х) 1т(гх) (9)

Поэтому МОЖНО ВЗЯТЬ - ЛГ! = О, ДГ2=00.

Таким образом, имеем

00 6*х*

Пх (г) = const [ е 4 (хг-ь-А)* х$Im(rx)dx. (10)

О

В коротких трубках при £6(2т)>1 ^------------- и если---------------- 1, как,

Например, в [*» 2’ °], то А - р - и

6V

Ni (г) ^ const J е 4 x4m(rx)dx =

(П>

=<—-5-ЧйЙг1 |(т)Т

Т=-^-(Р —"1 —1).

Так как подынтегральные выражения в (10), (11) существенно раз­личаются только в той области, где за счет обрезания экспонентов они становятся достаточно малыми, собственные значения <*> находим из условия П!(а) = 0. Формально это условие справедливо только при учете диффузии поперек поля, так как в противном случае на границе возможен скачок плотности. Однако если не рассматривать колебания, существенно связанные с границей, и ограничиться возмущениями, раз­вивающимися во внутренней области положительного столба, то в ка­честве приближенного граничного условия можно принять Пх(а) = 0- Получающееся дисперсионное уравнение имеет вид

А=Т^Г (12>

I m

ИЛИ

(—До — Z) [кгЬ2 (2х)2 tp (1 н-/)-*-2Сш (1 ч-pt) — 2/m (2т) t (—1 - t-p)] -4-

-i - Ik«,[к*Ьг (Q-f tp (1 -/)-+-2Cm (1 - pf-)-+-2/m (2x) t (-1 — p/)]-+- -+- k2D. [№ (2x)2 Pp 2C„ (1 - p/-HpV) -

— 2/m(Qx)/(—l-t-p/-i-pV)] = 0. (13)

Здесь *1 = ^ (2f - ь-ш-1-2), Cm = b'1(*?n—, определяется корнями

Вырожденной гипергеометрической функции. В (12) хт является эффек­тивным поперечным волновым числом. Вырожденная гипергеометриче - ская функция протабулирована лишь для низших т до т = 3 [л]. Однако при больших т для интегрирования (11) можно применить метод пере­вала с точностью, возрастающей при увеличении т. Приближенное дисперсионное уравнение в этом случае получаем из условия

NI (а) = const V2 (р —1)| =0.

Здесь const 1т |-j - V2(p —1)|—первый член асимптотического ряда по

Дисперсионное уравнение совпадает

ПО форме С (12), (13), С - р - , где ат — первый корень функции

Бесселя с индексом т. При т^>1, что соответствует большим попе­речным волновым числам, естественно искать решение в квазикласси - ческом приближении /(г) — е*Кг. Тогда дисперсионное уравнение прини­мает вид

TOC o "1-5" h z

АВ <) <> _ ш - <)

!— ----- х2 ; X2 = —- х2.

Д. ч-х! ,я' т г2

Появление добавочного члена х^ по сравнению с (12) связано с тем, что ранее решение находилось при условии к~Ь~ (2-)2^> 1, что эквива­лентно предположению о малости поперечной электронной диффузии

, а это, очевидно, выполнено только для первых гармоник а = 1.6 Ь.

При малых т из (13) получаем

2у0Ь (2т) і

КЮ‘ ~~П7 ПьГ т (2т)2 ір 2Ст1

Іш («>) =

4т -

(«х)*

(15)

В положительном столбе были такими, что можно было считать kb (2~)^Т. С нашей точки зрения появление шумов обязано неустойчивости одной из первых гармоник. Значение //кр. ~ 1000 гс по порядку величины согласуется с подсчитанным из (16). В рамках линейной теории, не учитывающей воздействия колебаний на нулевой фон, возможна одно­временная неустойчивость нескольких гармоник. Возможно, что нача­лом раскачки или стабилизацией какой-то гармоники объясняются скачки в величине шумов. Амплитуда шумов может меняться также и потому, что возрастание эффективной диффузии, вызванное неустойчивостью мелкомасштабных колебаний с высшими /п, уменьшает амплитуду низ­ших гармоник.

В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность Б. Б. Ка­домцеву, под руководством которого была выполнена эта работа, а также А. В. Недоспасову за полезные обсуждения.