ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

ЭЛЕКТРОННЫЙ ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Л. В. ТИМОФЕЕВ, Г. Н. ЧУЛКОВ Введение

Неоднородность магнитного поля ограничивает область резонансного циклотронного взаимодействия и поэтому является одним из основных факторов, определяющих его интенсивность. Влияние неоднородности су­щественно зависит от угла между магнитным полем Н0 и его градиентом VН0. Дело в том, что от значения этого угла зависит, под каким углом 0 к магнитному полю подойдет волна к точке циклотронного резонанса. Если г£=0, то для одной из двух высокочастотных ветвей колебаний, а именно для необыкновенных колебаний, оказывается равным нулю и угол 0 [*]. В точке циклотронного резонанса электрическое поле таких колебаний перпендикулярно основному магнитному и вращается в элек­тронную сторону (см., например, [2]). Естественно, что такие колебания весьма интенсивно взаимодействуют с электронами [3*4].

Если 1|э=0, то для обеих ветвей колебаний в точке циклотронного резо­нанса отличен от нуля и угол 0. Между тем известно (см., например, [2]), что в плазме с холодными электронами (7’,=0) достаточно любого, как угодно малого отклонения волнового вектора к от направления Н0, чтобы электрический вектор стал вращаться в обратную, т. е. ионную сторону. В результате при 0=^0 резонансное циклотронное взаимодействие всецело обусловлено эффектами теплового движения электронов и поэтому оказы­вается довольно слабым. Параметр, характеризующий влияние тепловых эффектов на колебания, пропорционален малому отношению (Ие/с)2, где Ие=(Тв/тв)Чг (см., например, [5]).

Резонансное циклотронное взаимодействие в неоднородном магнитном поле при рассматривалось в работах [в~8] в связи с проблемой нагре­ва плазмы в токамаках. Интенсивность нагрева определяется значением коэффициента поглощения колебаний при их прохождении через область циклотронного резонанса. Для магнитного поля токамаков |г~л/2. при этом значении угла 1|э и вычислялся коэффициент поглощения в [в~8]. В настоящей работе получено компактное аналитическое выражение для коэффициента поглощения колебаний при произвольных значениях уг­лов 1|) и 0. Показано, что оно остается справедливым вне зависимости от величины градиента магнитного поля. Рассмотрение проведено несколь­кими способами. В частности, решено интегральное уравнение, которое описывает резонансное циклотронное взаимодействие в сильнонеоднород­ном магнитном поле.

1. Однородное магнятное поле

А. Дисперсионное уравнение. Рассмотрим электромагнитные колеба­ния, частота которых ю близка к электронной циклотронной а длина волны значительно превышает электронный ларморовский радиус ре®*

=ив(О),. Будем использовать декартову систему координат, изображенную- на рис. 1. Вместо компонент электрического поля волны Ех и Еу введем составляющие, вращающиеся в электронную (Е-=Ех—іЕу) и ионную сто- роны (Е+=Ех+іЕу). При этом, преобразуя уравнения Максвелла, полу- чаем I - Пг + у + е«>, у П±ге-*ч, х (Г* / 1 ..1 .. т 1

= 0. (1>

/

Kve XwW(w))y 8х*=1—Q+q sin 0tg0—~wX ©У2

О>

Непригоден для обыкновенных колебаний при 0-»-л/2, когда л±2-М—д (см., например, [*]'), и два последних слагаемых в (3) неограниченно возраста­ют. Это обстоятельство отмечено в [•].

6. Эффекты теплового движения электронов и поглощение колебаний. Колебания, описываемые дисперсионными уравнениями (2), (3), интерес­ны тем, что по мере приближения их частоты к циклотронной компонента - электрического поля, вращающаяся в электронную сторону Е-, стремится к нулю. Действительно, считая, как и выше, что выполняется условие |еш|>1, из (1) находим

А ш.—ш

Е-^-~-Ае-^Е^ —--------------- Ае‘*'Ех, (4)

2 Га ю

1

Где А= — ^ В(1——/?[58]). Правое равенство в (4) справедливо при прене -

Брежении эффектами теплового движения электронов, когда с

2 со—(о.

Из (4) следует, что при Т,=О электронная компонента плазмы не погло­щает энергию электромагнитных колебаний, даже если частота последних равна циклотронной. Этот результат можно получить непосредственно из выражения для количества энергии, поглощаемого электронами в единице объема в единицу времени:

Лг= Ие (Е}') = (йе о I £. I г+ 4- 1т е„ Ие (Е-Е/) + 1т е„ I£« 12) .

/ С

(5)

Роль теплового движения электронов состоит в том, что за счет эффек­та Доплера оно «размывает» циклотронный резонанс на область частот 6й>»ЛХ!7,. В этой области величина О остается конечной, поэтому Е~ не об­ращается в нуль. Несложные оценки показывают, что при сО—(йв~кгив два последних слагаемых в (5) имеют тот же порядок величины, что и первое,

А —|£’1|2. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что резо -

8я

Нансное циклотронное взаимодействие всецело обусловлено эффектами теплового движения электронов. Этот вывод не относится к колебаниям, распространяющимся вдоль магнитного поля (0=0). Действительно, в этом случае показатель преломления одной из двух ветвей колебаний обращается в бесконечность (см. (2)). Для таких колебаний использован­ная выше схема решения системы (1), основанная на разложении по малому параметру 1/е(1), становится непригодной. Однако в интересую­щем нас случае неоднородного магнитного поля с У#<ДН0 практически невозможно возбудить колебания, для которых при приближении к резо­нансной точке выполнялись бы условия: 0-^0, и-*«».

Действительно, вдали от резонансной точки показатель преломления является конечным (гс~1), а неоднородность магнитного поля изменяет лишь ту его компоненту, которая параллельна УЯ0. Поэтому в окрестно­сти резонансной точки по крайней мере одно из двух условий 0~^О, л-*-«» не может быть выполнено. В то же время именно колебания с 0-^0, П-*00 Представляют наибольший интерес, если УЯ01:Н0 (см. [1 ], а также введе­ние).

Го поля. Оценим то расстояние, на котором электрон выходит из фазы с колебаниями. Для этого подсчитаем разность фаз как функцию расстоя­ния вдоль УЯ0:

1 * ^2

Ф(«) =----------- - Г (<1)'-<й.(*))<2«=—------------- (6>

УхСОв^*' 2£1>гСОЗ|)

Здесь о)/=о)—KtVi’, разность фаз отсчитывается от резонансной точки, где (O'=(Oe(S).

Из (6) следует, что размер зоны, в которой отдельный электрон резо­нансно взаимодействует с колебаниями, по порядку величины равен As~ «(Lpe cos t|?)4L. Электрон проходит ее за время Af«(l/o)) (L/Pe cos - ф)v*. Оче­видно, что расфазировку, вызываемую движением электронов вдоль неод­нородного магнитного. поля, необходимо учитывать лишь, если характер­ное время сбоя фазы из-за неизбежных в реальных условиях случайных воздействий значительно превосходит At. К сбою фазы могут приводить немонохроматичность электромагнитных колебаний и кулоновские соуда­рения.

Первый фактор дает характерное время сбоя Д£,»1/Ай), где До> — ши­рина спектра колебании, второй — Д*2« (A/Kz2Vzz)'!IY где v — частота куло - новских соударений (см., например, [10]). Магнитное поле будем называть слабонеоднородным, если &T<*>L4T значительно превосходит min (А*ь Д*2). Если это условие выполняется, то из-за быстрого сбоя фазы электрон «чув­ствует» лишь локальное значение магнитного поля. Поэтому при описании резонансного циклотронного взаимодействия можно воспользоваться вы­ражениями, полученными для случая однородного магнитного поля, считая в них величину Но медленно меняющимся параметром. Именно такой под­ход использовался в работах [""*].

Отметим, что кинетическое рассмотрение оправдано лишь, если вы­полняется условие min(AЈi; Att) ^>(кгив)~1. Оно означает, что разброс в положении резонансных точек для электронов с различными значениями 17ж, вызванный эффектом Доплера (As'^Lk^JiО) значительно превышает размытие резонансной зоны, обязанное случайным воздействиям (AS" ^ /1 1

«minL/o)(------------ ;------ ). В обратном случае для тензора диэлектрической

Д*1 Д*2 /

Проницаемости можно использовать выражение, полученное в гидродина­мическом приближении, введя в резонансные знаменатели малую мнимую добавку 1/(о)—o)e(s))”** 1/(о)—со«(s) +iv/), где v'=mдx(l/Af,; 1/Af2).

Б. Коэффициент поглощения. Предположим, что вдали от резонансной зоны возбуждается монохроматическая электромагнитная волна. Неодно­родность магнитного поля приводит к тому, что компонента волнового вектора колебаний вдоль Vtf0 становится функцией координаты S. В ре­зультате в ква3|иклассическ0м приближении выражение для электрическо­го поля колебаний принимает вид

Е(г. T) «Е0Exp ^ — Mt+ik'r+i Jk,(s)dr J,

Где ka=(Jte.)e«, k'—k—k„ e,=V//0/|Vtf0|.

Коэффициент поглощения колебаний можно найти, сопоставив ампли­туду колебаний по разные стороны от резонансной зоны. Нетрудно видеть, что коэффициент поглощения (по мощности) дается следующим выраже­нием:

F KtVe

TOC o "1-5" h z Где Г= 1 Cfs Im Л*. Здесь, считая размер резонансной зоны As'«-—-—L J ш

В которой происходит поглощение колебании, малым по сравнению с раз­мером плазмы, мы расширили интервал интегрирования до бесконечности. Выражение для Im К$ находим из (3) (см., например, [5]):

Ык-ЧжУ*,Ш- <8>

Здесь через At обозначено второе слагаемое в (3). Учитывая вид А0 (см.

(2) ), для ДАо/дк, удобно использовать следующее представление:

!Г=2*-77РГ+2(М<) яТГм • (9)

Дк. д{к2) дк±г)

То же самое выражение для коэффициента поглощения можно полу­чить, рассмотрев движение волнового пакета. При прохождении через ре­зонансную зону амплитуда волнового пакета уменьшается на множитель

Оо

Схр(-Г'), где Г'= F 4(S(T))Dt. Используя соотношения lf(s) =

— оо

Д /^Ао"‘ / 1 , Ds Did ДА0 / ДЛ* ~1

1 ( дш ) 6 ( O{S) )’ “ F/p ’ ‘*~~Dk~A Дк. ( Ды ) ’

Получаем, что Г'=Г.

Следует отметить, что если 0->-л/2, то при вычислении Vtrp нарушаются условия применимости метода последовательных приближений по малому параметру Ktve/(Ny используемого в настоящей работе, при этом выражение для Vzrp становится комплексным (см. [9]). Однако при |?=л/2, т. е. на­пример, для геометрии магнитного поля токамаков, вычисление F. rp не со­пряжено с какими-либо трудностями.

Выражение для Im/c* зависит от координаты S лишь через аргумент функции

ИГ(Ш) =Е— (l+ fe*w ,

TOC o "1-5" h z ' Ini '

Где W=(I)S/2!IKzve. Интеграл, входящий в Г, вычисляем, вводя новую пере­менную интегрирования S->~W [u]:

/= f Dw Re-~— = — Imlimln ( — + F Dw'E"'1} = л*. (10)

J W{W) 2 ^0» 2I J /-»2

- 30 о

Используя формулы (2), (8) — (10), окончательно получаем следую­щее выражение для величины Г, определяющей коэффициент поглощения Г) (см. (7)):

Г= (±.МвА*п.*(1|.+2,_1)»(ИАЧ-д-1)-‘В-‘, (11)

4 С с / Qn

Где В= (n±z+n2+2q—3) sin 0 cos ср sin (n±2—G+2) cos 0 cos J>.

В. Правило обхода Ландау. Отметим, что интеграл (10) может быть вычислен и иным способом. Функция W(W) является аналитической, по­этому коптур интегрирования можно сместить в верхнюю полуплоскость переменного W так, чтобы он обходил начало координат на расстоянии

|ш|»1. В этой области для W справедливо асимптотическое представле­ние:

(L+-^RV

Zi W 2Wl /

Подставим это выражение в (10) и разложим знаменатель подынтег­рального выражения в ряд по 1 /2ш2, учитывая лишь два первых члена раз­ложения. Правильный результат в (10) можно получить, используя извест - 1

Ное соотношение Im — =—лб(ш), которое эквивалентно правилу обхода W

Ландау. Второе слагаемое в асимптотике W учитывает эффекты, вызывае­мые давлением электронов, которые можно учесть в гидродинамическом приближении. Разумеется, в резонансной зоне, где собственно и происхо­дит поглощение колебаний, гидродинамическое приближение непримени­мо. (Выражения для компонент тензора диэлектрической проницаемости, Полученные в гидродинамическом приближении, имеют особенность в точ­ке циклотронного резонанса.) Тем не менее мы получаем правильное зна­чение коэффициента поглощения, если для продолжения решения через резонансную зону воспользуемся правилом обхода Ландау. Ниже мы по­кажем, что такое упрощенное описание дает правильный результат и в случае сильнонеоднородного магнитного поля. Возможность использования упрощенного описания при V#0||H0 Была обоснована в [4*12].

3. Сильнонеоднородное магнитное поле

А. Интегральное уравнение. В соответствии с классификацией, прове­денной в разделе 2а, магнитное поле считается сильнонеоднородным, если на резонансное циклотронное взаимодействие существенно влияет расфа­зировка, вызываемая движением электронов вдоль неоднородного магнит­ного поля. Электроны, двигаясь вдоль поля, «переносят информацию» об электрическом поле волны. В результате отклик плазмы становится нело­кальным и соответственно волновое уравнение — интегральным.

При выводе волнового уравнения воспользуемся методом последователь­ных приближений. Поскольку в окрестности резонансной точки выполня­ется соотношение |Ј-|< |£+|, |£*| (см. выше), в первом приближении положим £'_=0, Ti= 0. При этом для определения характеристик колебаний по-прежнему имеем уравнение (2). В следующем приближении, считая Е+ и Et Заданными, находим Е_ из аналога верхнего уравнения системы

1 TOC o "1-5" h z 4лI

— N±zE+e-2i'+nJLnlEte-i' +—j-=0. (12)

2 to

Предположение о постоянстве амплитуд Е+ и Ег законно, если Я«2Г<1. Поскольку величина Г пропорциональна малому параметру Vjc)Z, то это предположение в реальных условиях часто оправдывается.

При учете теплового движения электронов для /_ получаем следующее выражение:

, - « (13>

/- (s)*8 F Dvj0(Vt) F Dt, (£_(5(Л)) + -±^£2е-,Л ехр(гФ(f, f,)).

4л J J tOi /

В выражениях (12), (13) из возмущенных величин выделен множитель exp(i(kr—(At)). Так, например, /_fr, T) =/_(s)exp(i(kr—At)); T=t(s) = = (s—S(0) )/vt cosij?;

И

Ф(*»Ft)®8 JDt2b)e(s(t1)) + (ktut—tii) (t{—t) = T

— (<ns/L+ktvt) (tl—t)+(a)Vt/2L)cos t|?(*i—*)2;

Функция распределения электронов по скоростям предполагается равно­весной — максвелловской. При выводе (13) в силу условия /ср,<1 учтены лишь члены первого порядка малости по К±и±/(ов. В выражении (13) ус­реднение по!;х уже произведено. Отметим, что в (12) опущены слагаемые вида Это, как следует из проведенного ниже рассмотрения, спра­

Ведливо при выполнении довольно «мягкого» неравенства (ре/£):/:(с/17е)2<1.

Представим искомую функцию £-($) в виде

(14)

Здесь £=5/'А5, Д$=(£ресо8 ф)7’, /(£) — неизвестная функция, посредством которой учитываются эффекты, вызванные тепловым движением электро­нов вдоль магнитного поля. В гидродинамическом приближении /(£)=0Г и (14) переходите (4).

Выражая Е+ из нижнего уравнения системы (1), взятого в гидродина­мическом приближении, а также используя (13) и (14), приводим урав­нение (12) к виду:

(15)

Б. Решение интегрального уравнения. Интегральное уравнение (15) является сингулярным уравнением Фредгольма первого рода с бесконеч­ными пределами интегрирования. Обычно такие уравнения решают мето­дом интегрального преобразования Фурье. Однако этот метод полезно ис­пользовать лишь, если ядро интегрального уравнения является ядром смещения, т. е. функцией от разности £1—£. Поскольку в данном случае ядро зависит от сочетания £12—£ то уравнение для фурье-образа оказы­вается не проще исходного, и поэтому получить решение таким методом не удается. Однако для определения коэффициента поглощения нам до­статочно знать лишь четную часть функции #(£), вычисление которой оказывается более простым. Эта часть #.(£) удовлетворяет следующему уравнению:

(16}

В силу четности функции £е(£) достаточно решить уравнение (16) для £>0. Введем новую переменную |=£2. Такая замена приводит уравнение

(16) к виду, удобному для использования метода интегрального преобра­зования Лапласа. В результате применения преобразования Лапласа получим:

Я
(17)
W

Здесь G{P) = J DV(g)Exp(—/?£) — изображение по Лапласу функции

С помощью обратного преобразования Лапласа искомая функция пред­ставляется в виде

(18)

Здесь интегрирование проводится по контуру Д изображенному на рис. 2.

Интеграл, входящий в (18), легко вычисляется как при малых, так и при больших значениях В первом случае он определяется областью, где |р|>1, и соответственно У(У2р)^. Если выполняется условие |£|<

<тах(1; х*), то из (18) получаем

(19)

/(£) * ~^уі: {*'~~A)Cos (x«Ј)exp(-ix-&) •

При |Ј|>max (1; х,), используя асимптоти -

І 2 р

——) ~ —— (1 —

2P/IPKC1 л/і

—2Р1 + ...), находим

/(£)»(*. - ^J-) Cos(х,£) ехр(-Ix,Ј).

5 (20)

Если не рассматривать выделенного случая, когда 1—д—/г2-*-0, а х±/Л-*-«>, то в области £>тах(1; х,) имеет место неравенство |£|^|/(£) |. Иными сло­вами, в этой области для £-(£) справедливо «гидродинамическое» пред­ставление (4). Этот результат вполне естествен, поскольку условие

£»тах (1; хх) означает, что мы находимся вне резонансной зоны

5>тах (Дз, Дз') (см. раздел 2а).

В. Коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения т] равен отно­шению энергии, поглощаемой электронами в единицу времени в трубке единичного сечения с образующими, параллельными градиенту магнитного поля, к проекции потока энергии в волне на направление градиента Р,:

Л -1 * Ке<Ь Е‘) - 1 * Ке +у/Х+/Ж ) • (21)

Здесь составляющая тока ]-—]х—ЧУ определяется формулой (13); состав­ляющая /+*=/х-1-1/у=(1(1)г/8л)д£+ не дает вклада в коэффициент поглощения, а для составляющей /, по аналогии с (13) получаем следующее выражение:

TOC o "1-5" h z I 2 К °° L(>) К V

—~ — f Dvtvtf0(vt) f DtxE-(s(t{)) + -^-E1e-iAex])(i<b(tytl)).

ОЛ (0* J J L (De J

—. oo — oo

(22)

Проведя в (21) интегрирование по частям, находим

<Dpi 1 Lpe Г Du f , , , ,

1 41 — е Шг+1-г) +

32л '* Р, ие cos ф J И I

Т о

+2^P, Im[Ј,-exp{i (ф + f-)} (/+/+•-/-/-*)] +

+ (*lP.)2(U+I,+U-I2)IЈ. I2}. (23)

«О

Здесь /*=j dЈЈ-(S)exp(i4M$)),

— оо

Ов

Yt=j dtexp(l, F*(6)), V*{t)-*Jt±V/2u.

— OO

Для обеспечения абсолютной сходимости выражений (21), (22) мы предполагаем, что фазовая корреляция «сбивается» на достаточно боль­ших интервалах времени, которым отвечают. большие расстояния от ре­зонансной точки, Фактически из-за того, что при ISl”»*00 экспо­

Нента ехр(±г'Чг±(5)) быстро осциллирует, интегралы по D% определяются окрестностью точки стационарной фазы £*=±ах,‘ размером 6T,^Ult. При­чем поскольку характерные значения И По порядку величины равны еди­нице, то во всей области, определяющей значение интеграла по нельзя использовать ни одно из упрощенных выражений (19), (20). Подставляя в (23) /(£) в виде (18) и проводя интегрирование по D% и Dp (см. Прило­жение), а также по Du (см. (10)), для коэффициента поглощения получа­ем следующее выражение:

_ ... -------------------- (24)

16Р, с / Q

В приближении холодных электронов проекция потока энергии на направ­ление градиента магнитного поля имеет вид (см., например, [2])

±£).В1ЕА (25)

8л П^Пг

Где величина В была определена выше (см. (11)).

Подставляя (25) в (24), убеждаемся, что коэффициент поглощения совпадает с 2Г, что и следовало ожидать при Г<1 (см. (7)). Отметим, что тот же самый результат получается, если при вычислении плотности тока

1, входящей в формулу (21) для т|, использовать приближение слабонеод­нородного магнитного поля (см. предыдущий раздел).

4. Выводы

Таким образом, нами проанализировано резонансное циклотронное взаимодействие при различных значениях величины градиента магнитного поля (УЯоЯНо).

Циклотронного резонанса можно характеризовать показателем преломле­ния, полученным для случая однородного магнитного поля, считая величи­ну поля медленно меняющимся параметром. При сильной неоднородности для строгого описания резонансного циклотронного взаимодействия необ­ходимо использовать интегральное уравнение. При этом хотя размер ре­зонансной зоны, в которой происходит обмен энергией между колебания­ми и электронами, определяется рядом факторов (эффект Доплера; рас­фазировка, вызванная движением электронов вдоль неоднородного магнит­ного поля; сбой фазы из-за внешних случайных воздействий), значение коэффициента поглощения дается единым аналитическим выражением, вне зависимости от степени неоднородности магнитного поля. Наиболее просто это выражение можно получить, если для описания движения ■электронов в колебаниях использовать гидродинамическое приближение, учитывая при этом давление электронного газа. Полученное таким образом волповое уравнение оказывается сингулярным — оно имеет особенность в точке циклотронного. резонанса. Для продолжения решения через эту точку следует использовать правило обхода Ландау.

ПРИЛОЖЕНИЕ

При использовании функции /(£), определяемой соотношением (18), в выраже­нии (23) появляются интегралы вида

TOC o "1-5" h z г4«р(,б*-^Н——^-1. (П.1)

^ 2И) 1р'' 4рД (1/2Р) 2Р

— 00 И

Меняя порядок интегрирования, вычисляем интеграл по

- ехр(-хх2/4р) г я7* я п

£ Ръ{р±У2и) [ У(№р) 2р ^

Подынтегральное выражение в (П.2) имеет полюс первого порядка в точке Р± -- =^1/2И и точку ветвления Р—0. При |р|-*« функция, стоящая под интегралом, убь: вает быстрее 1/|р|, следовательно, в соответствии с леммой Жордана контур 0 мож­но дополнить дугой радиуса в правой части комплексной плоскости р, причем

Интеграл по этой дуге равен нулю. Тогда интеграл 1± определяется вычетом в точ­ке Р±:

(IXx*U Г Я1'» I

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 5 июня 1979 г.