ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

Динамика замедления отдельного иона

Движение отдельного иона можно описать следующими уравнениями

-$-=». (14>

^- = а,[УЬ]-Т1г^т/(г). (15>

Здесь о) = -^----------- циклотронная частота ионов в магнитном поле//; Ь —

Единичный вектор, направленный вдоль магнитного поля. Правая часть уравнения (15) учитывает силу трения, действующую на ион, когда он

Находится В дуге Рхр. =-------------- , где величины т19 [а(х)

Были определены в предыдущем параграфе. Функция /(г) равна нулю вне дуги (сила трения отсутствует) и единице внутри нее (| г | ^ г0). Заметим, что обычно относительная величина силы трения очень мала (сот) — 106>1. Поэтому в любой момент времени точное решение урав­нений (14), (15) лишь на малые величины порядка (ют)-1 отличается от равномерного вращения по ларморовской окружности. Однако характе­ристики этой окружности: ларморовский радиус г° и положение <е центра Н0 — могут существенно меняться в результате многократного прохождения через дугу.

Будем считать, что дуга представляет собой бесконечный круговой цилиндр, ось которого параллельна внешнему магнитному полю. Послед­нее предполагается однородным.

Мы будем рассматривать тот случай, когда движение ионов проис­ходит лишь в плоскости поперечного сечения дуги. Тогда задача ока­

Зывается двухмерной. Введем систему декартовых координат, ось 0^ которой направлена вдоль магнитного поля, а центр лежит на оси дуги. Введем в рассмотрение однородный центр частицы

* = гч~1£1. (16)

Тогда уравнения движения примут вид

-5-=--<14'>

ТГ = “[УЧ-7аТ1>-/(г>» (15)

Где г определяется из выражения (16).

Полагая v = vвi9t соответственно, И = Л’- щей скалярной системе уравнений

DX

(V)

DY

TOC o "1-5" h z Dl V,/ 4

Jr=zr&)-/(<?)со«'Р.

Dv

Dt

D<?____ ^

Л U)*

/К, приходим к следую - (17а) (176) (17в) (17г)

1
(її
Где	?0= arccos
2-У
(рис. 2) определяется точкой пересе­чения траектории иона с дугой. Пренебрегая величинами порядка (шх)-2, проведем осреднение по фазе быстрого вращения иона[3]. Осредняющая система запишется в виде
Рис. 2.
Дуги; /?0 — положение
(19) (19) (21)

Для определения степени приближения осредненных уравнений на интересующем нас интервале изменения энергий и для последующего численного интегрирования перейдем к следующим безразмерным вели-

П

Чинам: Ґ = и>£ (а> = 0.323 • 108 сек.“1), р = —, где а —радиус установки (равный 40 см); V = — , где v0 = u)a^

Тогда после соответствующих преобразований

= (22)

Где а = 0.913 • 10“5; (3* = 45.2; С = ^р=- Р; Ф (х) — интеграл ошибок. Здесь

Использовано выражение для *с: р"(х) * Значения взяты

Из § 1.

В безразмерных переменных уравнения (20), (21) принимают вид

^ = _ 1 (У) агс 5ш (23)

(24)

У(0) = 0.268; К(0)=—0.268; (^ = |К(0)| = 10 см)

1гг + у* — Рг

° =------- 2УТ ° • р»=°-0808 (г°=3-23 см).

Заметим, что в безразмерных переменных ^г — —1. Поэтому оценку

Применимости осредненных уравнений естественно проводить с помощью величины в = (V*), где V* — минимальное значение скорости иона

В течение рассматриваемого промежутка времени его движения.

Соответствующий интервал энергий 62.5 кэв>£>15 кэв. На ниж­ней его границе (Р1/*)2= = 0.75 и V* ^ 0.13. Величина "™ ■■ (У*)3 ~

— 0.31 дается интерполяцией соответствующей таблицы [5]. Следова­тельно, е ~ 1.7 • 10“4. Поэтому осредненные уравнения дают решение

С точностью в ~ Ю"4 на интервале времени Д/* — ------ 0.5 • 104 = 5000 [4].

За это время ион проделывает ~800 оборотов по ларморовой окруж­ности. Заметим, что указанная оценка несколько занижена. Если, в частности, определить параметр в по максимальной скорости иона, то окажется, что в ~ 1.1 • 10“4 и — 104, что соответствует 1500 оборо­тов иона.

Таким образом, следует ожидать удовлетворительного описания дви­жения иона с помощью осредненных уравнений примерно на 1000 обо­ротов его по ларморовой окружности. Вопрос о достоверности соот­ветствующих выводов в нужном нам интервале энергий сводится к тому — достигнет ли частица за это время соответствующей минимальной ско­рости или нет. Этот вопрос может быть решен численным интегриро­ванием задачи (23)—(24) на быстродействующих машинах.

Однако уже сейчас можно получить некоторые сведения о процессе замедления ионов.

Прежде всего осредненная система еще нагляднее подчеркивает отмеченные выше закономерности: с течением времени однородный центр подтягивается к дуге (У возрастает), тогда как ларморов радиус

Убывает Далее, кратчайшее расстояние ларморова круга иона

От центра дуги измеряется величиной 7 = — У—V и [как следует из <23)—(24)]

0<5Р = ^1/М1/)[<Р<>—(1 > о > 0), (25)

Следовательно, хотя траектория иона отходит от оси дуги, этот отход происходит значительно медленнее, чем уменьшение ларморова радиуса. Так, например, при уменьшении энергии иона в четыре раза (от 60 до

15 кэв), что соответствует изменению •— от 10 до 5 см, ближайшая

К оси дуги точка ионной траектории не может сместиться больше, чем на 0.4 см

О Е

Заметим далее, что выражение —^ ■, определяемое в соответствии

С (13) уравнением (21), отличается от выражения (5) множителем ^ =

Учитывающим частичный захват траектории иона силовым полем дуги. Вследствие равномерности движения иона по витку спирали множи­тель X как Раз и равен отношению времени пребывания иона в дуге к полному периоду обращения.