ФИЗИКА ПЛАЗМЫ

АЛЬФВЕНОВСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОДНОРОДНОЙ И НЕРАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЕ

А. В. ТИМОФЕЕВ, В. П. МЕЙТЛИС, Г. Н. ЧУЛКОВ Введение

Известно (см. [*■ *]), что инжекция быстрых иояов в установки типа токамак может приводить к раскачке альфвеновских колебаний. Однако в [3’4] было найдено, что при монотонном изменении альфвеновской ско­рости в направлении поперек магнитного поля в средней части плазмен­ного шнура должны отсутствовать незатухающие собственные колебания. Здесь под средней частью шнура мы понимаем область, В Достаточной степени удаленную как от его центра, так и от края. Утверждение об Отсутствии Незатухающих собственных колебаний составляет аналог из­вестной теоремы Рэлея, согласно которой течения идеальной жидкости с профилем скорости без точек перегиба устойчивы. Из-за отсутствия соб­ственных колебаний эволюция возмущений, локализованных В Средней части шнура, протекает довольно необычно (см. [3 4]). Случайные воз­мущения В Течение некоторого времени нарастают С Инкрементом, опре­деленным В С1], А затем под влиянием эффектов конечной проводимости плазмы резко затухают. Сходный характер имеет эволюция начальных возмущений В Плоскопараллельных течениях обычной жидкости с про­филем скорости течения, не имеющим точек перегиба, когда В Силу тео­ремы Рэлея в течении отсутствуют незатухающие собственные колебания (см. [5’"]). Отличие состоит лишь в том, что на начальном этапе эволю^ ции — до тех пор пока не «включится» вязкость жидкости, играющая ту же роль, что и эффекты конечной проводимости в плазме,— амплитуда возмущений остается постоянной.

Как показано в Приложении к настоящей работе, неустранимым ис­точником начальных возмущений являются соударения электронов с ионами. Конкретизировав природу начальных возмущений и проследив за их эволюцией, мы получаем возможность определить стационарный уровень альфвеновских флуктуаций, а также и макроскопические эффек­ты, вызываемые ими. В настоящей работе рассчитан один из таких мак­роскопических эффектов, а именно вычислена скорость охлаждения пуч­ка быстрых ионов. Отметим, что такие расчеты не требуют выхода за рамки линейной теории, поскольку ограничение амплитуды флуктуаций не связано с нелинейными эффектами и в конечном счете обязана отсут­ствию собственных колебаний в системе.

1. Основные уравнения

Альфвеновские колебания принято описывать уравнениями магнитной гидродинамики (см., например, [7]). Мы также воспользуемся этими Уравнениями, видоизменив, однако, закон Ома. Для того чтобы включить в рассмотрение эффект возбуждения колебаний при соударениях элек-

Тронов с ионами, учтем в законе Ома инерцию электронов:

Е->н'+-£?!-" <•>

Здесь Іст3*—Б ^^а(£)б(г—га(£)), суммирование производится по всем

А

Электронам.

В дальнейшем предполагается исследовать коротковолновые колеба­ния, область локализации которых мала по сравнению с радиусом плаз* менного шнура. Поэтому удобно ввести локальную декартову систему координат, направив ось X по радиусу шнура, ось У — по малому обходу тора, ось X — по большому. Магнитное поле будем считать постоянным по величине, в то же время учтем зависимость плотности от малого ра­диуса (координаты X). Линеаризуя систему уравнений магнитной гидро­динамики по малым возмущениям, стандартным образом получаем сле­дующее уравнение для Х-й компоненты скорости плазмы:

Дг я02 Дг

СН0 д д

----------- (2)

Й)„ Оъ Ы

При столкновениях электронов с ионами микротоки отдельных элек­тронов меняются за времена, много меньшие периода альфвеновских коле­

Баний. Такие изменения, как показано в Приложении, должны приводить к возбуждению альфвеновских колебаний. Как и в Приложении, рассмот­рим сначала эволюцию возмущения, вызванного отдельным столкновени­ем, а затем произведем усреднение по ансамблю. Совместим начало от­счета времени с моментом скачка скорости сталкивающегося электрона и преобразуем (2) по Лапласу. Удобно также произвести преобразование Фурье по координатам У Та. 2:

Д д

— Вк (ю, Х)-иыЛ-к2гК (и, Х) ИШік=С„>к. (3)

Дх дх

Здесь Єк=а)2л0 (х) ^ 1 - » ша=£„са,

/ Я2 '/«

СА(*)-( 7------------------ гт) ’ к“(°»

4пт, п0(х) /

*||=Ж(кНо)

В винтовом магнитном поле может существенно отличаться от КГ, ИПш к — преобразованная по Лапласу и Фурье я-я компонента скорости,

С.,к(х)= Б(х-х0)е“‘ІС,«»с2Л,1Луй)<Лі;„(і),Г*,

Лі;,, — изменение У,, при столкновении, индекс «нуль» отмечает значение координаты, при которой происходит столкновение. При вычислении Си, к(х) мы считали, что поскольку колебания с такими характери­

Стиками, как будет следовать из дальнейшего, представляют наибольший интерес.

Уравнение (3) пригодно для рассмотрения альфвеновских колебаний холодной плазмы. При наличии в плазме группы (пучка) высокоэнергич­ных ионов могут оказаться существенными эффекты резонансного взаи­модействия колебаний с такими частицами. Эффекты резонансного взаи­
модействия были учтены в [4**■ *• •], где показано, что если доля горячих Ионов Невелика П1/п0<. 1, то уравнение (3) Сохраняет свою силу, однако

Величина 6 (со, Х) принимает Вид Е(ю, Х) = 1 — (1—Іг)

П 1 Пь//л Со-/ У±'+2у, г г ,,/Міч/

16 О)Дгп0 \ 0) Д г;, / ° I ш, I

Где. 16

Л — радиус кривизны магнитных силовых линий, д — коэффициент запа-

Сг±

Са устойчивости, <о* = —Й*уУСЬ~ дрейфовая частота ионов пучка,

/ 1 Е

Х6= (— — ) > индекс «0» отмечает величины, характеризующие пу-

Пь ах /

Чок, скобки означают усреднение по распределению ионов в пучке, кото­рое мы выбираем в простейшем виде/6(у) = —------------------------------------ — б(М — у0), /0 — функ-

‘»Л с/о

Ция Бесселя нулевого индекса.

При использовании так называемого локального квазиклассического приближения (см., например, [*]) частота колебаний определяется из условия 8 (со, Х) -*0. При этом каждой точке сопоставляются колебания со своей частотой:

Ш.(х)=шл(х) ^1—(4)

Пространственная структура таких колебаний в локальном приближении не анализируется, да это и невозможно, поскольку уравнение (3) явля­ется сингулярным — оно имеет особенность как раз в той точке Х=х, ч где е (аз, Х) =0. В окрестности этой точки характерный пространственный масштаб решений уравнения (3) резко сокращается, и поэтому стано­вятся существенными мелкомасштабные эффекты конечного ларморов - ского радиуса ионов, не учитываемые уравнением (3). Для того чтобы включить их в рассмотрение, необходимо перейти к дифференциальному уравнению четвертого порядка [*]:

TOC o "1-5" h z Йк й <1

А — 1>..к+ -г - (ю, Х)—

Ах ах ах

-кгг к (ю, Х) 1?„.к=Св(к (х). (5>

7

Здесь а= — й)*р<*(1—1Б)п0, р4 — ларморовский радиус ионов,

4 V. / г ,/а

©А

Ное значение малого радиуса токамака. В используемой нами прямо­угольной системе координат малому радиусу соответствует координата Х.

2. Эволюция начальных возмущений

А. Функция Грина уравнения (5). Пространственная зависимость правой части уравнения (5) имеет вид б-функции С.,*~б (х—х0), поэтому Его Решение Должно Быть пропорционально функции Грина. Функцию Грина Можно выразить через решения однородного уравнения, соответ­ствующего (5). Поскольку коэффициент перед четвертой производной в

Этом уравнении мал, то решения однородного уравнения можно разделить на крупномасштабные Vu Иг и мелкомасштабные И3, Vk. Такое разделе­ние справедливо вдали от точки Х„ в которой величина е(ю, Х) обраща-

1 De

Ется в нуль, и может нарушаться при |х—Ха|<Л_,/ где Л=---------------

ОI Dx

4

=А0(1—I6)~!, До = — рГ2х. Приближенные выражения для 17,, V2 Могут

Быть получены из решения укороченного уравнения с отброшенной чет­вертой производной. В качестве линейно-независимых удобно выбрать решения, обращающиеся в нуль при

И^К0(к(х-х,))ч (6)

Иг^К0 (к (Х.-х)) =К0 (к (Х-хА)) +

+in/0(fc(:r—Х,)). (7)

При нахождении асимптотик мелкомасштабных решений в дифференци­альном уравнении может быть опущен свободный член

(8)

И3,^пъА~'и (х—ха) ~'и Exp — AVl (х—хв)ъ =F — J.

Следует отметить, что из-за логарифмической особенности у функции К0(к(х—х,)) пространственный масштаб решений Ut И Иг при прибли­жении к Ха резко сокращается — они становятся «мелкомасштабными» и это их свойство сохраняется в секторе комплексного переменного:

TOC o "1-5" h z 1 . 4я.1

— Arg А+ — <arg (Х-х.) < — Arg А+2л.

Чтобы получить асимптотические представления Uit И2 в этой области, в (6), (7) следует произвести замену (см. [|0]):

К0(к(х-ха))^К0(к(х-х,))-ик(х-х,). (9)

С помощью решений (5) —(9) представим функцию Грина в виде

G., к (*,*,)- (10)

V,(х) W(рг(х„)<U,(xa),v,(x„))+v,(х) W(у,(х„), V:(i„), (x„)),

17, (X) W(vt (x„), V, (x„) , Vt (x„) ) +l (X) W(y, (x0), (x0), V, (X„) ) .

Здесь у функций !>( Для краткости опущены индексы (о и К; W — функ - циональные определители,

Wk=W(vt(xь)y v2(x0), И3(х0), Vk(x0))

Последняя величина для уравнения (10) не зависит от координаты.

Б. Малые времена. Чтобы узнать, как будет развиваться начальное возмущение, характеризуемое функцией Сы> к (я) =Ci, k6 (х—х0), следует вычислить интеграл:

1 -Ут

Vk (*, S, Х0) *=— — J E-iotClK G„,k (x, x0).

2n

—-+iT

(11)

Асимптотика Интегралов типа (11) определяется особенностями подын­тегрального выражения. Если бы однородное уравнение, соответствую­щее (5), имело собственные функции, то одно И То же решение удовлет­воряло бы граничным условиям как при £-*-«>, так и при х->— <». В ре­зультате при собственных значениях частоты функциональный опреде­литель *№1 обращался бы в нуль, а функция Грина имела бы полюс. В [41 (см. Также [*]), показано, что при монотонном изменении (плотности) однородное уравнение, соответствующее (10), не имеет собственных функ­ций с 1т ©^0 (аналог теоремы Рэлея). Поскольку, помимо этого, полное уравнение четвертого порядка регулярно и, следовательно, его решения (а не их асимптотические представления!) также регулярны, то функция Грина не должна иметь особенностей. Отсюда следует, что все возмуще­ния при Ь-*~оо должны затухать, т. е. плазму следует считать асимптоти­чески устойчивой. Однако это не означает, что амплитуда возмущений будет монотонно стремиться к нулю. Ниже мы увидим, что начальные возмущения могут в течение некоторого времени нарастать, и, вообще говоря, не исключено, что за это время их амплитуда достигнет значи­тельной величины.

Мы не смогли вычислить интеграл (11) в общем виде и получили лишь приближенные выражения в предельных случаях малых (£<Г) и больших (*>Г) времен. Здесь Г=й)А~1(хР*)~,Л — характерное время, после которого проявляются эффекты ларморовского радиуса ионов и эффекты конечной проводимости плазмы, учитываемые в (5) слагаемым с четвер­той производной. Оно может быть определено из следующих соображе­ний. Укороченное уравнение (3) имеет особенность при ©*=©Д:г), когда величина е (©, Х) обращается в нуль (см. (4)). Поэтому естественно ожи­дать, что на интеграл (11) определяющее влияние окажет зависимость решений от сочетания ©—©.(я). В силу такой зависимости каждому

Частотному интервалу б© может быть поставлен в соответствие прост­ранственный интервал бя=б© (хй)А)_1 и наоборот. Эффекты конечного ларморовского радиуса ионов становятся существенными на расстояниях 6хв*Л^/в от резонансной точки. Этому расстоянию соответствует частот­ный интервал с которым по «соотношению неопределен­

Ности» связано характерное время

Эти соображения показывают, что при КТ окрестность особой точки х—Х,|<ба:„ в которой проявляются эффекты конечного ларморовского Радиуса Ионов, не должна оказывать существенного воздействия на эво­Люцию Возмущений. В области х—х, |>бя, для решений И^ик мы можем использовать приближенные асимптотические выражения (6) —(8). При х—Х,|»бя, в функции Грина, составленной из (6) —(8), можно прене­Бречь малыми Слагаемыми, пропорциональными И3(х) И И^(х). Исполь­

Зуя также условия, представим детерминанты, стоя-

.1

Щие при И, (х) и Иг(х), Соответственно в следующем приближенном виде:

»«(*•) ТР(|>,'(*,), У/(х„)) И У1(х0)1У (V,'(х„), 1>4'(х„)). Аналогичным образом получаем

В результате этих преобразований для функции Грина получаем следую­щее простое выражение:

(х) у, (г.) (*>х.),

(х)і>,(х.) (х<х„).

Асимптотика интеграла (11) определяется логарифмическими особен­ностями функций Ии иг (см. (6), (7)) и имеет вид

1 1 (13) (*, *, *.) * ^ (—7-г) С'ЧК„).

T Ш|(х) Щ| (^о) I

Из (13) следует, что начальное возмущение, локализованное в точке х0, возбуждает два волновых процесса с частотами ю,(х) и юД^о) (здесь Х — Точка наблюдения). Волновый процесс первого типа, являющийся анало­гом волн Ван-Кампена — Кэйза (см., например, [5* “]), представляет собой альфвеновские колебания, бегущие вдоль магнитного поля с локальной альфвеновской скоростью Сл(х) и в силу неравновесности плазмы (при­сутствие пучка быстрых ионов) нарастающие во времени. Присутствие в асимптотике таких колебаний вполне естеМвенно. Появление волнового процесса второго типа в определенной степени связано с использованием метода преобразования Лапласа [и]. Действительно, при внезапном воз­никновении возмущения должен возбуждаться весь спектр частот рас­сматриваемой системы. Однако в точке Х возмущения с частотами ^(дА(£) взаимно уничтожают друг друга из-за интерференции.

В. Большие времена. При интеграл (И) будем вычислять мето­дом перевала. Положение точки перевала на плоскости комплексной ча-

А

Стоты определяется условием £=—г —1п £. Отсюда следует, что для доста-

Асо

Точно больших времен асимптотика возмущения будет отлична от нуля, если функция Грина включает в себя составляющую, характерный частот­ный масштаб которой бюо стремится к нулю. В предыдущем разделе было отмечено, что в окрестности точек юДх), со« (хо) масштаб ЙЮо^Юа^Р*)“171. Однако он уменьшается с удалением от точек о>«(х), й).(х0) (см. (8), (9)). В результате при точка перевала, если она существует, должна нахо­диться на столь больших расстояниях от точек <о«(х), <о*(х0), где для функ­ций —174 опять справедливы асимптотические представления (6) — (9).

Выделим ту часть функции Грина, которая может дать точку перевала. Рассмотрим сначала область х>х0. В первом слагаемом явление трансфор­мации решений нужно учитывать лишь у функции 1?1(х). Быстро меняю­щаяся часть ^(хо), добавляемая к функциям уДхо) и И. г(хо) в определите­лях, очевидным образом выпадает. Асимптотика первого слагаемого имеет вид И1(х)и2(хо)¥(иЛ'(х0)1 и/(хо)). В ней быстро меняющиеся решении Иа{хъ) и 174(х0) взаимно «погашаются», и поэтому точка перевала може1* быть связана только с быстро меняющейся частью р4 (х), появляющейся в результате явления трансформации. Во второе слагаемое быстро меняю­щиеся решения Рз(х) и И^(х) входят с разными аргументами. Несложные оценки, однако, показывают, что «погашение» экспонент происходит и в том случае. В результате при интегрировании этого слагаемого контур интегрирования оказывается возможным сместить в область как угодно

Больших отрицательных значений 1т ю, где £> |— 1п&| . Аналогичные

Соображения приводят к выводу, что в области Х<х0 точка перевала вооб­ще отсутствует. Отсюда следует, что при сколько-нибудь значитель­ный уровень возмущения останется лишь в области Х<х0, т. е. со стороны большей плотности. Этой особенности решения можно поставить в соот­ветствие тот факт, что собственные функции однородного уравнения (5), найденные в [*], также резко спадают в сторону меньшей плотности. Для этих решений 1пш>0, а точка х., определяемая равенством е (<о, Х) =*0, располагается у границ рассматриваемого интервала. Последнее обстоя­тельство и обусловливает возможность раскачки колебаний (сравнить с неустойчивостью пуазейлевского течения в условиях применимости тео­ремы Рэлея [**]).

Используя для функции Грина приближенное выражение

I (»!(*) р,(*0) (*>*•),

TOC o "1-5" h z о (к*), (14>

Где асимптотика ^(ж) определяется уравнениями (6), (9), получаем

У2 (о / г

Ук(*, X, Ж0) »------- Са. к Х0(/с|ж-х0|)ехр I+1кг0-гшДж)г+ —-(хйаО3 ) •

* (15)

Из (13), (15) следует, что на начальной стадии возмущения нарастают, причем инкремент нарастания определяется локальным дисперсионным уравнением е(й>, ж)=0. При 4«(йд-1(хр1)_,/* колебания перестают быть гармоническими — их частота начинает возрастать со временем, при не­сколько большем времени, £«о)А_1(хР^-а/з6_/,> инкремент нарастания на­чинает уменьшаться и, наконец, при £>£т = 2%^/<йа 2 (хрг)-1 нарастание

Сменяется затуханием. При £=£т амплитуда начального возмущения воз­растает в А раз:

(тЧ*)Ч£г)'Ь

Где — «локальный» инкремент колебаний (см. (4)). В (16), предпола­гая, что показатель экспоненты велик по сравнению с единицей, мы пре­небрегли предэкспоненциальным множителем.

Затухание возмущений обусловливается эффектами конечной проводи­мости плазмы. Закон затухания ехр(—С13) характерен для несобственных мод в слабодиссипативной среде. Так, например, в [12] показано, что па этому закону затухают волны Ван-Кампена под влиянием слабых куло - новских соударений. Действительно, волны Ван-Кампена возникают при движении пучков заряженных частиц, плотность которых модулирована в направлении движения. Так, например, если скорости всех частиц пучка одинаковы (распределение по скоростям имеет вид /0(г>) =б(г;—г;0)), то в лабораторной системе координат мы будем видеть периодическую волну с частотой (д=2тси0/Х, где X — пространственный период модуляции. Под действием кулоновских соударений распределение будет расплываться па закону

}0(и)~ехр(-(и-и0)2/С^).

Нетрудно видеть, что интеграл йие*ш{0(и), определяющий временную за­висимость возмущений, будет спадать во времени по закону ~ехр(—С£3). В рассматриваемой задаче затухание происходит аналогичным образом. Действительно, в силу того, что альфвеновская скорость является функ­цией координаты Х, на различных силовых линиях возмущения движутся с различной скоростью. Эффекты конечной проводимости приводят к диф­фузии возмущений через магнитное поле. В результате на одной и той же силовой линии оказываются возмущения, двигающиеся с различными ско­ростями.

3. Охлаждение быстрых ионов

Прежде всего определим, какие колебания раскачиваются наиболее интенсивно. Инкремент колебаний имеет максимум 7таж^д2—— при

I П° г

1с± « — (у ~ К± при К± < р6-1, у ~ при К± > рь"1). Вместе с инкре -

Рь

Ментом максимальное значение принимает и коэффициент усиления (16):

При получении (17) значение (Оа=&цСа было определено из условия ре­зонанса (оА»и0/д11 (см. выражение для г]). Как мы увидим ниже, показа­тель экспоненты в (17) имеет довольно большую величину. Поэтому в об­ласти максимума зависимость Атах от Кх будет очень резкой. Поскольку вклады отдельных мод в интересующие нас эффекты входят аддитивно, то при оценках по порядку величины мы учтем вклад лишь одной моды, для которой примем Кх&ку»рь-1. Значение Кг, соответствующее максимуму /1,.

КН0 у0 ,

Можно выразить через Ку из условия К„ =--------------------------- «------------------ . Впрочем Кг не

Я0 сАдй

Входит в окончательные выражения. С учетом сказанного обратное преоб­разование Фурье сводится к подстановке в (15) Кг=кг(ку) и умно -

1

Жению на, „ .

Ша

В предыдущем разделе было показано, что альфвеновские флуктуации затухают из-за конечной проводимости плазмы. При этом их энергия пере­дается электронам. Плотность выделения энергии дается выражением

А со*2

ГДе <|у|2>= |^У1Аг0/0(У1) ^ОИо^М2,

Усреднение производится по времени соударения £0, координате г0, функ­ции распределения электронов /о(у4), углу отклонения электрона при соударении; йо — дифференциальное сечение соударения, у2=ихг+иуг, их было определено нами выше, Иу можно найти из уравнения неразрыв­ности Иу = —•—Два последних иптеграла в выражении для <|у|2>

1ку дх

Те

Вычисляются так же, как и в Приложении, и дают множитель 2 —— П0е.

Те

Интеграл по (1уь, сводится к умножению на 4Я2аН. Интеграл по Dx{s

/ йп1) д, п

Расходится Пх)их0 -*■ х [——~ ——К0(к(х — х 0)) ~ (х—х0)~п). Расходимость

Ахп ахп

Вызвана тем обстоятельством, что мы использовали асимптотические вы­ражения для решений уравнения (5), справедливые в области х—х0> >Л^/а. При оценке по порядку величины мы можем обрезать интеграл по <1хО при | Х—х01 ~Л“1/з. Наконец, интеграл по вычисляется методом пе­ревала.

Энергия, выделйЪщаяся в электронной компоненте плазмы, в конеч­ном счете отбирается у быстрых ионов. Мы приведем выражение для ко­личества энергии, теряемой отдельным ионом пучка в единицу времени:

<2 „ 1п05/ч ч1'-

Т,

Здесь £&» =* — ЪъУ*- классические потери энергии из-за кулоновских

Ть

Соударений с электронами, — малый радиус токамака.

Вычислим (19) при параметрах плазмы, принятых в [*], #„=50 кгс, я0—1014 сл”*, Я=3 М, А=0,5 Л, температура плазмы Т=Ъ кэв, е6=100 Кэв,

Положим также—9 = 1- В этом случае показатель экспоненты П0 20

В Лт« оказывается равным —103, а безразмерный множитель, стоящий пе­ред АЇпах, ~№~19. Эти оценкп показывают, что аномальные потери значи­тельно превышают классические. Следует, однако, отметить, что в настоя­щем рассмотрении не учитывались эффекты, связанные с перекосом си-

СА (ід

Ловых линий магнитного поля (широм), что справедливо при —а —- < 1.

Уо АГ

В обратном случае влияние шира приводит к резкому уменьшению пока­зателя экспоненты в Атах. В результате аномальные потери могут оказать­ся меньше классических. Однако если влияние шира преобладает, то А:,, в некоторой точке может обращаться в нуль, а, следовательно, величина е*(й), Х) будет меняться немонотонно. В результате нарушаются условия применимости теоремы Рэлея, что, как было отмечено в [1а], может при­вести к появлению неустойчивых собственных колебаний.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Покажем, что использованный нами метод расчета флуктуаций дает правильные результаты для равновесной плазмы. Рассмотрим простейший случай высокочас­тотных колебаний незамагниченной плазмы. Такие колебания описываются урав­нением

TOC o "1-5" h z Д*Е / Д -1 Д

С1 rot rot Е +----------------------------------- <лрв*Е - I ) Е = -4л — /ст. (1.1)

Dt2 Dt / Dt

Здесь использованы те же обозначения, что и в основном тексте (см. раздел 1).

Поскольку фазовая скорость рассматриваемых колебаний больше с. то основ­

Ным механизмом возбуждения будет тормозное излучение электронов при столкно­вениях с тяжелыми частицами. Предположим, что скорость электронов при отдель­ных столкновениях меняется мгновенно (фактически требуется, чтобы время столк­новения было мало по сравнению с периодом колебаний). Возбуждение колебаний при таких скачках можно описать с помощью преобразования Лапласа, при исполь­зовании которого считается, что начальные возмущения возникают мгновенно.

Применяя к (1.1) временное преобразование Лапласа и пространственное пре­образование Фурье, получаем

^ Юг - К2сг - <йр,* + — <Dp, J J Eai„Ifc = 4Ji«Ava,K«”<Kre*. (1.2)

Здесь рассматривается возбуждение, вызванное отдельным столкновением некоторого

1

А-го электрона Дуа>к =--------------------------------------------------- [к[кДуа]], Дуа - скачок скорости при столкновении

К2

Скорость электрона считается малой по сравнению с фазовой скоростью колебаний, и поэтому в правой части (1.2) га(0 заменено на га0.

Определяя Еа и, к из (1.2) и выполняя обратное преобразование Лапласа, по­лучаем

2те

Еа.*(0“=----------------------------- (1.3)

(Оо

Здесь ©о” (А*с*-©ре1)% - частота собственных колебаний, У = V*-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- начальный

2(1)о*

Момент — момент соударения обозначен как *0а-

Составим из Еа. к(0 квадратичную комбинацию |Еак(0|* и усредним ее по ан­самблю. Усреднение по пространству и суммирование по электронам дают множи -

Тель По- осреднение ии крсмсш иклмчиет и сейм Nuieipupunauno Ии та в иредеиаХ'

0. что приводит к множителю l/2-f. В результате получаем

<|Ек|2> =—- J^v/o(v) J Do (Xf V) N0v(Avk)2. (1.4)

Здесь Do(x, v) — дифференциальное сечение рассеяния электрона на угол х* Fo(v) — функция распределения электронов. В (1.4) введен множитель 2, чтобы учесть ко­лебания с £'=*—А, которые в рассматриваемом формализме неотличимы от колеба­ний с волновым вектором к. Соударения электронов с тяжелыми частицами будем считать упругими. Введем три единичных взаимно ортогональных вектора е*, один

V

Из которых направим по скорости электрона до столкновения е4 = — = (зт0созф/

И

Sin 0 sin <р, cos 0). Здесь Ф, ф — углы в полярной системе координат, ось которой на­правлена по К. После столкновения вектор скорости будет направлен по e—»2P«^i» где pi=cos х» &2=sin х cos p3“3in х sin ф. Угол ф при рассеянии равновероятен. Интегрируя в (1.4) по углам Ф, ф, ф, получаем

TOC o "1-5" h z 64я3 Егпо {• 0

<|Ек|*>= —------------------------------------------------------- -- duU(u)ui Г do(x, V) (1—cos х)* (1.5)

3 Ы>02*Y J J

0

Выражение для частоты ve, входящей в (1.5) через может быть представлено - в виде (см., например, [14])

4л Тв Г Р

Ve = — no—jdvv*f0(v) J do(x, i>)( 1-cosx). (1.6)

о

Это выражение легко получить, вычислив силу трения, действующую на электроны,, движущиеся СО Скоростью U, И Используя соотношение FTp=*->771,!loV«U. Подставляя (1.6) в (1.5), получаем

<|Ек|2>=8я*Г. (1.7>

Нетрудно убедиться, что традиционный метод исследования флуктуации, осно­

Ванный на использовании общих термодинамических соотношений, дает то же самоа значение полного квадрата электрического поля, приходящегося на коллективную - степень свободы с данным значением к (см., например, [15]).

В заключение отметим, что отдельное кулоновское соударение занимает время порядка (щpe~l (время пролета электрона через дебаевскую сферу), которое больше или сравнимо с периодом рассматриваемых колебаний 2жйо-1=2я(<йр, г+Агс1)-1. Таким образом, предположение о мгновенности изменения скорости при столкнове­нии для кулоновских соударений не выполняется. Поэтому мы предположим, что* плазма ионизирована частично и что электроны сталкиваются с нейтралами чаще, чем с ионами. Впрочем, конкретный вид сечения соударения нигде не используется и это предположение необходимо лишь для обоснования подхода.

Институт атомной энергии Поступила в редакцию

Им. И. В. Курчатова 29 декабря 1977 i