ЕЛЕКТРОТЕХНІКА У БУДІВНИЦТВІ

Електричне коло з ідеальним конденсатором

Нехай до конденсатора (рис. 5.3,а), діелектрик якого ідеальний і не має втрат енергії, підведена синусоїдальна напруга

Uc = U^smfrnt + Щц). (5.21)

Струм у конденсаторі (4.7)

duC

І = С—j - = ю•C•UСmcos(юt + щи),

або І = Imsin(rot + щи+ л/2), (5.22)

де Im - амплітуда струму

Im = Ю-C-Ucm. (5.23)

Діюче значення струму

U^ Un

I = о-С • UC =—^ =-----

С X-

о • С

Величина

х - = =2ЖГІ^ГС (125)

має розмірність опору:

[ Хс ] = — = — = Ом АЛ А • с

і називається реактивним опором конденсатора або ємнісним опором.

Зіставляючи рівняння (5.21) і (5.22), бачимо, що синусоїда ємнісного струму випереджає за фазою синусоїду напруги на конденсаторі на кут зрушення фаз я/2.

За рівняннями (5.21) і (5.22) на рис. 5.3,б побудовані графіки І, u0 а на рис. 5.3, г - вектори діючих значень струму й напруги на конденсаторі для ви­падку, коли початкова фаза щи = 0.

Комплексні амплітуди напруги й струму, що відповідають рівнянням (5.21) і (5.22), дорівнюють:

U Cm = U С^ ,

I = I eJЩ +90°) = UCmЄ]ЩШ eJ90° = - UCme Щ“ = - Uc^ _ UCm

Im I me Є ~J лг ~J

Xc Xc J Xc - jXc

Розділивши праву й ліву частини останнього виразу на V2, одержимо рі­вняння, що зв'язує комплексні значення струму й напруги:

• UC

I = ~XT, (5.26)

- JXC

де - jXc - комплекс ємнісного опору.

Рівняння (5.26) виражає закон Ома в комплексній формі для ділянки кола з ідеальним конденсатором: комплекс струму конденсатора дорівнює ком­плексу напруги, поділеному на комплекс ємнісного опору конденсатора.

Напруга на конденсаторі, визначена з формули (5.26), дорівнює добутку його струму й комплексу ємнісного опору:

U C =- JXc-'i. (5.27)

З рівняння (5.27) або з векторної діаграми на рис. 5.3,г випливає, що век­тор напруги на ідеальному конденсаторі відстає за фазою від вектора струму на кут зрушення фаз я/2.

Миттєве значення потужності

Рс = uCl = UCmIm sin(Ot + Щu ) sin( Ot + Щu + Ж / 2) , або Рс = Uc sin2(tot + Vu). (5.28)

Середнє за період значення потужності кола з ідеальним конденсатором дорівнює нулю:

1 Tr

PC = TI P-dt = °. (5.29)

T 0

Як і в колі з ідеальною котушкою, тут спостерігається процес коливання енергії Wc = С • u - /2 і чередування проміжків часу, протягом яких енергія від джерела запасається в електричному полі конденсатора, з проміжками часу, ко­ли енергія з кола повертається назад до джерела. Для ілюстрації цього процесу на рис. 5.3,в побудований графік зміни потужності в колі для випадку щс = 0. Зіставляючи його з графіками зміни напруги й струму, бачимо, що в першу чверть періоду значення uc, І і pc позитивні, конденсатор заряджається. У цей час має місце накопичення енергії в електричному полі конденсатора за раху­нок енергії, що надходить від джерела живлення. До кінця першої чверті пері­оду поле запасає максимальну енергію С • U2Cm /2. Протягом другої чверті пері­оду напруга uc убуває, конденсатор розряджається. Струм І і потужність pc не­гативні. Енергія з поля повертається назад у джерело.

Амплітуду коливання потужності в колі з конденсатором називають реа­ктивною ємнісною потужністю й позначають Qc. Відповідно до рівняння (5.28) значення цієї потужності

Qc = Uc - I = Xc I2.

Як і реактивна індуктивна потужність, реактивна ємнісна потужність ви­міряється у вольт-амперах реактивних (Вар).

5.1. Електричне коло з реальною індуктивною котушкою

Нехай у реальній індуктивній котушці з індуктивністю L і активним опо­ром R (схема заміщення подана на рис. 5.4,а) протікає струм

І = Im sinfot + щ). (5.30)

Визначимо закон зміни напруги u на її затискачах.

Миттєве значення напруги u запишемо виходячи з другого закону Кірх-

гофа

u = uR + uL = Ri + Ldi/dt, (5.31)

де uR, uL - відповідно напруги на резистивному і індуктивному елементах коту­шки (рис. 5.4,а).

У пунктах 5.1 і 5.2 було показано, що кожна з напруг uR і uL є синусоїда­льною і має частоту, яка дорівнює частоті струму І. Тому напруга u теж синусо­

їдальна і може бути записана як рівняння

u = Um sin(rnt ± уи). (5.32)

Запишемо рівняння (5.31) у комплексній формі

• • •

U = Ur + Ul. (5.33)

Рис. 5.4 - Схема (а), «трикутники» напруг і опорів котушки з активним опором і індуктивністю (б, в, г)

Тоді рівняння напруги на вході схеми буде мати вигляд

U = R-/+ JXl J = (R + JXl)-/ = z-j. (5.34)

Комплексна величина Z, має розмірність опору і є коефіцієнтом пропор­ційності між комплексними значеннями напруги й струму кола. Тому Z = R + JXL називають комплексом повного опору індуктивної котушки. Дій­сною частиною його є активний опір R, а уявною частиною - комплекс індукти­вного опору котушки - JXL.

У формулах, до яких величина Z входить або як множник або як дільник, зручно користуватися не алгебраїчною, а показовою формою її запису:

Z = R + JXL = Z-eiJfL, (5.35)

де Z = д/r 2 + XL - модуль комплексу повного опору індуктивної котушки, а

pL = arctgXL/R - його аргумент.

Підставляючи до (5.34) значення Z із (5.35), отримаємо

де

U = Z - т, Щи = Щі + Pl. (5.37)

Початкова фаза щи позитивна, тому в рівнянні (5.32) вона повинна бути взята із знаком "плюс".

Оскільки значення U і щи відомі, рівняння (5.32) можна записати в оста­точному вигляді:

u = Z - Im sin(rot +Щ; + (pL ) . (5.38)

Зіставляючи рівняння (5.38) і (5.30), бачимо, що синусоїда напруги на вході котушки випереджає за фазою синусоїду струму на кут зрушення фаз

Р = Р

На рис. 5.4,б наведено векторну діаграму схеми рис. 5.4,а. При побудові

цієї діаграми за вихідний взятий вектор струму I, розташований під кутом щ

• •

до осі +1. Вектор напруги на резисторі U = R • I збігається за фазою з вектором

• •

струму, а вектор напруги на індуктивному елементі Ul = jXl • I випереджає за

фазою вектор струму на кут зрушення фаз л/2. Вектор напруги U дорівнює

• • •

геометричній сумі векторів: U = Ur + Ul. Він випереджає за фазою вектор стру­му на кут зрушення р = р

Векторну діаграму на рис. 5.4,б називають «трикутником» напруг. Для спрощення діаграми початкову фазу струму щ дорівнюють нулю, тоді вектор струму збігається з віссю +1 і «трикутник» напруг розташовується на площині, як показано на рис. 5.4,в.

Якщо кожну із сторін «трикутника» напруг (рис. 5.4,в) розділити на 1, то одержимо «трикутник» комплексів опорів (рис. 5.4,г). Із цього рисунка видно, що модуль Z комплексу повного опору Z є гіпотенузою прямокутного «трику­тника» комплексних опорів, сторонами якого є активний R і індуктивний jXL опори. З нього ж можна визначити кут зрушення фаз між напругою і струмом:

cospL = R/Z. (5.39)