Діючі й середні значення синусоїдальних напруг і струмів
Для встановлення діючого значення синусоїдального струму скористаємося формулою (4.9), підставивши до неї замість миттєвих значень синусоїдального струму його вираз
Оскільки
|
Im2 dt — -^T 2 |
|
1 — cos2ot 2 |
1 1
f I2m sin2 °tdt—I2m f
|
діюче значення синусоїдального струму менше його амплітуди в ^ разів: I — Im /V2 — 0,707 Im. (4.18) Аналогічно знаходимо діючі значення синусоїдальної напруги й ЕРС: U — Um/Л і Е — Em /V2 . (4.19) Під середнім значенням синусоїдальних струмів розуміють їхні середні значення за напівперіод. Якщо струм i — Im sinrot, то його середнє значення |
|
/2 ‘ 0 Отже середнє значення синусоїдального струму становить 2/л його амплітудного значення. Аналогічно знаходять середні значення синусоїдальної напруги й ЕРС: |
|
f Im sin otdt = — I І П |
|
і f idt |
|
2_ T |
|
(4.20) |
|
I = -0- сер T |
|
U = — U сер m n |
|
E = — E сер m n |
4.5. Комплексна форма запису законів Кірхгофа
У загальному випадку за першим законом Кірхгофа в комплексній формі алгебраїчна сума комплексних значень струмів гілок, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:
n • n n
T. h = !'k + jl'k = 0, (4.21)
k =1 k =1 k =1
де Ik - комплексне значення струму в k-й гілці має дві форми запису:
1 k [1] k ^ J1k 1 ak ^ J1pk,
де I' k = Iak - активна складова струму k-ї гілки (в теорії комплексних чисел -
дійсна складова); 1 "k = 1 pk - реактивна складова струму k-ї гілки (в теорії комплексних чисел - уявна складова); n - число гілок, що сходяться у вузлі.
Відповідно до другого закону Кірхгофа для будь-якого замкнутого контуру алгебраїчна сума комплексних значень падінь напруг на його ділянках дорівнює алгебраїчній сумі комплексних значень ЕРС, що діють у контурі:
n • m •
ZUk =£Ek, (4.22)
k=1 k=1
• •
де - комплексне значення падіння напруги на k-й ділянці контуру; Ek -
комплексне значення ЕРС k-ї ділянки контуру; n - число ділянок з пасивними елементами; m - число ділянок з ЕРС.
Для напруг і ЕРС, як і у випадку з комплексними струмами, мають місце дві форми запису:
Uk = U'k +jU"k = Uak + jUpk, (4.23)
Ek = E + jE"k = Eak + jEpk, (4.24)
де U = Uak й E k = Eak - активна складова падіння напруги й ЕРС в k-й гілці;
U"k = Upk, E"k = Epk - реактивна складова падіння напруги й ЕРС в k-й гілці.
Розглянемо запис законів Кірхгофа на прикладі схеми електричного кола (рис. 4.4,а), в якій діють синусоїдальні ЕРС, миттєві значення яких задані рівняннями
e1 = E1msin(rot + ¥1),
Є2 = E2mSin(^ + ¥2) .
Під дією цих ЕРС у всіх гілках кола з'являться синусоїдальні струми, а на окремих ділянках його виникнуть синусоїдальні падіння напруги.
Для визначення струмів даної схеми при заданих значеннях ЕРС е1 і е2 і опорів (резистивних R1 ^ R5, індуктивного L4 і ємнісного C5) за законами Кірхгофа потрібно скласти систему з п'яти рівнянь. Порядок складання рівнянь той
же, що й у випадку з постійним струмом (див. розділ 2.6).
Рівняння за першим законом Кірхгофа, складені для вузлів а і b, будуть мати вигляд
• • • •
для вузла а: 11 -1 з -14 -15 = 0; (4.25)
• • •
для вузла b: -11 -12 +1 з = 0 . (426)
|
і +J |
і |
|
E2 . |
|
|
/ Ei |
|
|
• |
|
|
Uri |
/ |
|
E=Ei-E2 |
|
l5. |
|
R5 |
|
U |
|
C5 |
|
С |
|
b |
|
а |
|
|
|
У |
|
б |
|
|
Рис.4.4 - Схема електричного кола змінного струму (а) і векторна діаграма ЕРС і напруг II-го контуру (б)
Рівняння, складені для контурів (I), (II) і (III) за другим законом Кірхгофа при завданні обходу контурів за годинниковою стрілкою, будуть мати вигляд
|
R111 |
|
R31 з = — E і |
|
(4.27) (4.28) |
|
для контуру I: для контуру II: |
|
Ri 11 + jX414 + R212 = E і — E 2; |
для контуру III: (R5 — JX5)15 — JX414 = 0 . (4.29)
Таким чином, отримані рівняння (4.25) - (4.29) представляють закони Кірхгофа, що записані в комплексній формі для схеми електричного кола на рис. 4.4,а.
На рис. 4.4,б як приклад показано векторну діаграму ЕРС і напруг контуру II, що наочно ілюструє другий закон Кірхгофа в комплексній формі.
