Рычажно-зубчатые механизмы Кинематика Рычажно-зубчатый механизм, в котором ведомое звено совершает периодическое движение с мгновенной остановкой, можно выполнить по схеме, изображенной на рис. 97. Этот механизм состоит из ведущего кривошипа а, шатуна b, коромысла c, неподвижного звена (стойки) d и трех зубчатых колес a, e и f, из которых колеса a и f равных размеров.  Рис. 97. Рычажно-зубчатый механизм. Колесо a жестко соединено с кривошипом a, колесо e свободно вращается на валике B звена b, колесо f жестко закреплено на валу C и представляет собой ведомое звено механизма. Введем следующие обозначения (рис. 97): а, b, c, d – длины звеньев шарнирного четырехзвенника OABC; ra, re, rf – радиусы начальных окружностей зубчатых колес a, e и f;  – углы между соседними звеньями шарнирного четырехзвенника ОАВС;  – угол поворота колеса f;  – угол между продолжениями направлений шатуна b и стойки d;  – угловая скорость ведущего кривошипа а;  – угловая скорость ведомого колеса f; p – длина диагонали АС. Повернем кривошип ОА (рис. 98) из положения OA1, характеризуемого углом  , в положение OA2, характеризуемое углом  . Тогда шатун АВ перейдет из положения А1В1 в положение А2В2 и коромысло CB из положения CB1 – в положение CB2. На чертеже показаны углы между соседними звеньями четырехзвенника в двух рассматриваемых его положениях –  и  ,  и  ,  и  .  Рис. 98. Определение угла поворота ведомого звена рычажно-зубчатого механизма. Для определения угла поворота колеса f, соответствующего углу поворота кривошипа ОА из положения OA1 в положение OA2, т.е. углу (  ), отбросим мысленно шарнир O и переместим механизм из положения OA2B2C, сохраняя углы  и  , в положение O’A’B1C. Для этого поворачиваем механизм вокруг центра C до тех пор, пока звено СВ2 не перейдет в положение CB1. Колесо e при таком перемещении не будет вращаться относительно своей оси. Колесо f за счет зацепления с колесом e повернется назад на угол (  ). Сохраняя угол  , повернем вокруг центра В1 звенья O’A’B1 в положение O’’A1B1, с тем, чтобы шатун А’B1 совпал А1B1. Тогда колесо e повернется вокруг своей оси на угол (  ), а находящееся с ним в зацеплении колесо f с учетом соотношения радиусов колес повернется назад, на угол  . Наконец, повернем вокруг центра A1 кривошип из положения A1O’’ в первоначальное положение A1O, т.е. соответственно назад на угол (  ). При этом колесо f повернется на такой же угол, поскольку радиусы колес a и f между собой равны. За счет этих трех частичных вращений колесо f попадет в положение, характеризуемое углом поворота  . Отсюда угол поворота колеса f, соответствующий углу поворота кривошипа (а2 – a1), будет равен (133)  Для бесконечно малого поворота (134)  При этом следует иметь в виду, что  отрицательно, если  . Отношение угловых скоростей ведомого и ведущего звеньев рычажно-зубчатого механизма. (135)  Из рис. 97  Дифференцируя, получим  Подставляем значения  и  в формулу (135) (136)  или (137)  Так как  то  и (138)  Учитывая, что при равенстве размеров колес a и f равны также длины шатуна b и коромысла c, из равнобедренного треугольника: АВС (рис. 97) найдем  Отсюда (139)  Дифференцируя выражение (139) по переменной  , получим (140)  Из треугольника ОАС (рис. 97) (141)  Дифференцируя выражение (141) по переменной а, получим (142)  Подставляя это значение  в выражение (140), найдем (143)  и соответственно из выражения (138) получим (144)  На рис. 99 по уравнению (144) построена кривая I при следующих данных: a = 15; c = 35; d = 50; ra = 25. Для того, чтобы максимумы кривой I совпадали с значениями  = 90° и  = 270°, необходимо, чтобы при этих значениях угла  величина производной  была равна нулю. Дифференцируя уравнение (144) и приравнивая производную  нулю, получим (145)  При  = 90° и  = 270° из выражений (141) и (145) найдем (146)  и (147)  Знак плюс соответствует углу  = 90°, знак минус углу  = 270°.  Рис. 99. Графики изменения отношения угловых скоростей ведомого и ведущего звеньев рычажно-зубчатого механизма. Чтобы при угле  = 270° имела место мгновенная остановка движения колеса f, необходимо получить  Отсюда в рассматриваемом механизме должно быть такое соотношение размеров звеньев: (148)  При этом соотношении размеров звеньев из уравнения (147) получим, что при  = 90° величина  , а при  = 270°  . Кривая II на рис. 99 показывает изменение величины  за один полный оборот кривошипа a в этом случае. Как показывает исследование, за один полный оборот кривошипа а колесо f при ad < cra совершает периодическое движение в одном направлении (кривая I на рис. 99), а при ad > cra – реверсивное движение (кривая III на рис. 99). Методы расчета размеров звеньев таких механизмов разработаны. Выбор основных размеров механизма Из соотношений (146) и (148), если задаться двумя величинами, например, с и rа, можно найти остальные две необходимые величины d и а. Величиной rа задаются так, чтобы получить зубчатое колесо без подреза зубьев и требуемого по прочности модуля. Величину re выбирают равной или большей величины ra. Тогда (рис. 97) (149)  Умножив уравнение (148) почленно на два и сложив его также почленно с уравнением (146), получим (150)  Отсюда (151)  Аналогично (152)  Складывая и вычитая уравнения (151) и (152), окончательно определяем (153)  (154)  Пример расчета размеров механизма Принимаем число зубьев колеса а rа – 20; модуль зацепления m = 2,5 мм. Тогда  Принимаем re = rа = 25 мм. Тогда по формуле (149) с = 50 мм. Из формул (153) и (154) d = 68,3 мм, a = 18,3 мм. |
Выбор кинематических схем для механизмов
Кинематика