СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Модели систем в переменных состояния в виде сигнального графа

Выше мы рассмотрели случай, когда состояние системы и ее динамика описываются рядом дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве альтернативы может быть ис­пользовано уравнение состояния вида (3.16). В любом случае будет полезно получить мо­дель системы в виде сигнального графа, узлы которого соответствовали бы переменным состояния, а затем установить связь между таким графом и уже известным нам представле­нием системы в виде передаточной функции.

Как было показано ранее, система может быть полностью описана передаточной функцией G(s), связывающей ее входную и выходную переменные. Например, если нас интересует связь между входным и выходным напряжением в схеме на рис 3.4, то мы мо­жем получить передаточную функцию

V0(s)

G(s) =

U(s)

Передаточная функция RLC-цепи на рис. 3.4 имеет вид

G(s) = 777T=-T-^-------------- • (3-28)

U(s) S" +P-S + у

где а, р и у являются функциями параметров цепи R, LuC. Значения а, Р и у можно опреде­лить по сигнальному графу, отображающему дифференциальные уравнения, описываю­щие электрическую цепь. Для нашего случая (см. уравнения 3.8 и 3.9) мы имеем:

*1 +^W(/)’ (3-29)

х2 --^*2. (3.30)

v0 = Rx2. (3.31)

Граф, отражающий эту систему уравнений, изображен на рис. 3.5, где 1 Is есть символ ин­тегрирования. По формуле Мейсона мы получим передаточную функцию:

F0(s) R/LCs2 R/LC

(3.32)

U(s) 1 + R/Ls+ VLCs2 s2 +(R/L)s+l/LC

К сожалению, многие электрические цепи, электромеханические системы и другие систе­мы управления не так просты, как схема на рис. 3.4, и часто очень трудно получить диффе­ренциальные уравнения первого порядка, описывающие динамику системы. Поэтому бы­вает проще получить передаточную функцию системы (хотя бы методами, изложенными в гл. 2) и затем на ее основании построить модель в переменных состояния.

Модель системы в виде графа с переменными состояния в узлах легко получить по передаточной функции. Но, как мы заметили в разд. 3.3, возможны несколько комбина­ций переменных состояния и, следовательно, можно изобразить несколько различных сигнальных графов. В общем случае передаточную функцию можно представить в виде

C(s) = W = ^+b^ +-+У+ (3.33)

U(s)

т - л +...+ S + Oq

где n>m и все коэффициенты а и b есть вещественные числа. Умножив числитель и знаме­натель на s~n, мы получим:

-(и-m) . („_„,+!) , -(,,-1) ,

G(s) = ----------- —t±S________ +■■•+V + b0s _

1 + an_^s 1 +...+ ^5 4 + o0s "

Мы уже знакомы с формулой Мейсона, поэтому легко можем увидеть в знаменателе коэф­фициенты передачи контуров с обратной связью, а в числителе — коэффициенты передачи прямых путей. Напомним формулу Мейсона, приведенную в разд. 2.7:

к

G(5) = ^=^-T----------------- • (3.35)

U(s) А

Если все контуры с обратной связью являются касающимися, а все прямые пути в свою оче­редь касаются этих контуров, то выражение (3.35) сводится к следующему:

Tpk

к _ Сумма коэффициентов передачи прямых путей

)----------------------------------- — . (j. jOJ

А 1-Сумма коэффициентов передачи контуров

1 - 2-, L4

9=1

Передаточную функцию можно представить различными графами. Представляют интерес два частных случая таких конфигураций, основанных на формуле Мейсона, и мы рассмот­рим их более подробно. В следующем разделе мы приведем еще две дополнительных кон­фигурации графов.

Чтобы проиллюстрировать получение сигнального графа в терминах переменных со­стояния, рассмотрим сначала передаточную функцию четвертого порядка:

y(s) Z>0 V4

() = 777^Л = 1------------ Г~—’----------------- = 7 ------------------- =2------- =5--------------- Т - (337)

U(s) s + a3s +a2s~+als+a0 + a2s + a3s + aAs

Прежде всего мы заметим, что система имеет четвертый порядок и поэтому нам потребу­ются четыре переменных состояния (х1; х2, х3, х4). Имея в виду формулу Мейсона, напом­ним, что знаменатель можно рассматривать как 1 минус сумма коэффициентов передачи контуров, а числитель передаточной функции есть коэффициент передачи прямого пути графа. Сигнальный граф должен содержать минимальное число интеграторов, равное по­рядку системы. Следовательно, для графического представления данной системы нам по­требуются четыре интегратора. Соответствующие узлы и интеграторы сигнального графа отображены на рис. 3.6. Наиболее простая конфигурация из этих элементов, соответствую­щая передаточной функции, представлена нарис. 3.7. Анализируя этот рисунок, мы можем заметить, что все контуры являются касающимися и, следовательно, передаточная функ­ция имеет вид (3.37). Читатель легко может убедиться, что коэффициент передачи прямого пути действительно равен bg/s, а знаменатель равен единице минус сумма коэффициентов передачи всех контуров.

1 1 1 1

им Т Т Т Т у(*>

о о—*—о о—*—о о—-—о о—-—о о

Рис. 3.7. Граф состояния для G(s), соответствующей выражению (3.37)

Теперь рассмотрим передаточную функцию четвертого порядка, в которой числи­тель является полиномом переменной S, т. е.

п, Ъз-5,3 + b2s2 + V+ *о b3s~1 + b2s~2 + fe, s“3 + V-4 ,04

G(s) 4 3 ■> -1 -3 _4 ■ (3-38)

s + a3s + a2s +axs+a0 + a2s ~ + + a0s

Слагаемые в числителе представляют собой коэффициенты передачи прямых путей в фор­муле Мейсона. Прямые пути касаются всех контуров, поэтому сигнальный граф выглядит так, как представлено на рис. 3.8. Прямые пути имеют коэффициенты передачи b3/s, b2/s2, b/s* и b0/s4, что соответствует числителю передаточной функции. Еще раз напомним, что в числителе формулы Мейсона всегда содержатся члены числителя передаточной функции, т. е. сумма прямых путей от входа системы к ее выходу. Общий вид графа, представляюще­го передаточную функцию (3.3 8) на рис. 3.8, включает в себя /? контуров с коэффициентами ап и т прямых путей с коэффициентами передачи Ът. Такое изображение сигнального гра­фа называется представлением в форме фазовой переменной.

Переменные состояния на рис. 3.8 — это выходы каждого из элементов, накапливаю­щих энергию, т. е. выходы интеграторов. Чтобы получить систему дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующую графу на рис. 3.8, мы введем в граф допол­нительные узлы, непосредственно предшествующие каждому интегратору. В этом случае каждый такой узел будет соответствовать производной выходной переменной интеграто­ра. Сигнальный граф с дополнительными узлами изображен на рис. 3.9. По этому графу мы теперь можем записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка, характеризующих состояние модели:

Xj =х2, х2=х3, х3 =х4,

х4 = - а0х1 -ахх2 - а2х3 - а3хл + и, (3.39)

гдехх, х2,... ,хп есть фазовые переменные.

Выход определяется уравнением

y(t) = b0xt + bxx2 + Ъ2х3 + Ъ3хл. Те же уравнения в матричной форме имеют вид:

х = Ах + В и,

или

3<О = Сх=[Ь0 і», Ъ2 £>3]

Структура графа, изображенная на рис. 3.8, не является единственно возможным представлением выражения (3.38); другая конфигурация графа, соответствующая той же передаточной функции, изображена на рис. 3.10. В этом случае коэффициенты передачи прямых путей образуются за счет заведения сигнала U(s) на вход каждого из интеграто­ров. Такую модель мы будем называть структурой с многомерным входом.

Для графа на рис. 3.10 выходной сигналy(t) равен первой переменной состояния х^/). Коэффициенты передачи прямых путей равны b0/s4, fo]/s3, b2/s2, b3/s и все эти пути касают­ся контуров. Поэтому передаточная функция действительно соответствует выражению (3.38).

По графу, изображенному на рис. 3.10. можно записать следующую систему диффе­ренциальных уравнений первого порядка:

*і = _ язхі +х2 + Ь3 и, х3 = - аххх + х4 + Ъхи,

Те же уравнения, но в матричной форме:

Хотя графы в виде структуры с многомерным входом и в форме фазовой переменной соот­ветствуют одной и той же передаточной функции, но переменные состояния в них не равны друг другу. Это объясняется тем, что графы имеют разную структуру. Заметим также, что начальные условия в системе можно представить в виде начальных условий для интеграто­ров, Х](0), х2(0), ... , х„(0). Ниже мы рассмотрим систему управления и получим для нее уравнения состояния, воспользовавшись двумя разными конфигурациями модели.

Заметим, что оба сигнальных графа, соответствующих передаточной функции Цл), строятся достаточно просто, без разложения числителя и знаменателя на множители. Это позволяет избежать трудоемких вычислений, а по структуре графа легко можно записать уравнение состояния. Каждый из двух сигнальных графов является основой для компью­терного моделирования передаточной функции. Поскольку система имеет третий поря­док, то для ее моделирования необходимы три интегратора. Следует, однако, еще раз под­черкнуть, что переменные состояния в модели на рис. 3.12 не идентичны соответствую­щим переменным в модели на рис. 3.13. В то же время одна комбинация переменных со­стояния связана с другой соответствующим линейным преобразованием. Используя соотношение z = Мх, мы можем преобразовать вектор х в вектор z с помощью матрицы М. В заключение отметим, что передаточная функция вида (3.33) описывает линейную систему с постоянными коэффициентами, имеющую один вход и один выход, связанные дифференциальным уравнением п-го порядка

d”y d"-ly. . dmu. dm~xu. /ч,„e„

н яи-і і—•■■■-+ аоуО) —------------------------ t - bm_| — +...+ b0u(t).----- (3.50)

dt” dt”-1 dtm dtm-x

В этом разделе на примере сигнальных графов было показано, как можно перейти от одно­го дифференциального уравнения и-го порядка к системе из п дифференциальных уравне­ний первого порядка и тем самым — к уравнению состояния.