СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Дифференциальные уравнения состояния

Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка от­носительно каждой из переменных состояния. Эти уравнения в общем случае имеют следу­ющий вид:

Xi = апх{ +а12х2 +...+ аь, х„ + Ьпщ +...+ Ь1тит,

X, = а2х + а22Х2 +■■■+ °2пхп + Ь7Щ +•••+ Ъ2:»»«». ^ щ

Хп — anjXj + ^/,7^2 +■■■+ аппхп ЬпЫ [2] Ь, п„и,,,,

где x = dx/ dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме:

(3.15)

где полужирное начертание символа означает вектор. Вектор входных сигналов обознача­ется как и. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравне­нием состояния

х = Ах + Ви.

Уравнение (3.16) часто называют просто уравнением состояния.

Матрица А является квадратной размерности пхп, а матрица В имеет размерность nxin. Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим со­стоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода

(3.17)

где у —- совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора-столбца.

Воспользовавшись уравнениями (3.8) и (3.9), запишем уравнение состояния для ЛіС-цепи, изображенной на рис. 3.4:

у = Сх + Du,

Уравнение выхода будет иметь вид:

.у = [О R] х.

Если R — 3,L = и С = 1/2, то

^ = [0 3] х.

Решение дифференциального уравнения состояния (3.16) можно получить точно так же, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение

х = ах + bu, (3.20)

где x(t) и и(/) — скалярные функции времени. Решение будем искать в виде экспоненты еа. Преобразуя уравнение (3.20) по Лапласу, получим:

sX(s) - - Х'(О) = aX(s) + bU(s),

откуда

yI Пі h

(3.21)

s-a s-a

Обратное преобразование Лапласа уравнения (3.21) дает искомое решение:

x(t) = e“'x(0)+ Г ea(i~^bu{x)d%.

J о

Аналогично получается и решение дифференциального уравнения состояния. Прежде все­го введем в рассмотрение матричную экспоненциальную функцию, представив ее в виде ряда

который сходится для всех конечных t и любой А. Тогда решение уравнения состояния бу­дет иметь вид:

(

х(/) = ехр(А/)х(0)+ |ехр[А(/-т)]Ви(т)<Л. (3.24)

о

Решение (3.24) можно также получить, применив преобразование Лапласа к уравнению

(3.16) и сгруппировав члены. В результате получим:

ХО?) = [si - А]”1 х(0) + [si - A]'1 BU(4 (3.25)

где можно ввести обозначение [sI-A]~1= Ф(?), что является преобразованием Лапласа фун­кции Ф(/)=ехр(А/). Применив к (3.25) обратное преобразование Лапласа и учитывая, что второе слагаемое в правой части содержит произведение <P(s)BU(s), мы и получим реше­ние (3.24). Матричная экспоненциальная функция Ф(/) описывает свободное движение си­стемы и называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния. Таким образом, решение (3.24) можно записать в виде:

і

х(/) = Ф(*)х(0)+ |ф(/-т)Ви(т)б? т.

_____________ о_____________

В результате для свободного движения системы (в случае, когда и=0) решение можно запи­сать очень просто:

'фц(О... Фіи(ОІГ*і(°)

Ф2і(0 ••• Ф2»(0

.(0)

(3.27)

Фиі(0 ФяЛО

Отсюда легко можно видеть, что для того чтобы определить переходную матрицу состоя­ния, необходимо начальные значения всех переменных состояния кроме одной положить равными нулю и вычислить реакцию каждой переменной состояния на это ненулевое зна­чение. Иначе говоря, элемент ф;/ (/) представляет собой реакцию 1-й переменной состояния на начальное значение j-й переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю. Мы воспользуемся этим свойством в последующих разделах при вычислении элементов переходной матрицы состояния. Одна­ко сначала мы рассмотрим несколько моделей систем в переменных состояния, представ­ленных в виде сигнальных графов, и покажем, как с их помощью можно исследовать устой­чивость систем.