СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Переменные состояния динамической системы

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы—это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче­ской системы ее состояние описывается набором переменных состояния [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Это такие переменные, которые определяют будущее поведение систе­мы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.1, где^,^) иy2(t) есть выходные переменные, a ux(t) и u2(t)— вход­ные переменные. Для ЭТОЙ системы переменные (*[, х2,..., хп) имеют следующий смысл: если в момент времени t0 известны начальные значения [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] и входные сигналы щ(і) и u2(f) для t > t0, то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.

Входные

сигналы

Выходные

сигналы

я ш

14(f)

н(*)

Ц,(і)

Система

Рис. 3.1

Структурная схема системы управления

Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если извест­ны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.

Общий вид динамической системы приведен на рис. 3.2.

Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений — «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значе­ний. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.

Рис. 3.2

Динамическая система

*(0)

Начальные

условия

u(t)

Вход

Состояние системы x(t)

y(t)

Выход

-ї>:

Понятие о переменных состояния, описывающих динами­ческую систему, можно проиллюстрировать на примере меха­нической системы «масса-пружина» с затуханием, изображен­ной на рис. 3.3. Число переменных состояния, выбираемых для описания системы, должно быть по возможности минималь­ным, чтобы среди них не было излишних. Для данной системы вполне достаточно иметь две переменные состояния — поло­жение и скорость движения массы. Таким образом, мы примем В качестве переменных СОСТОЯНИЯ совокупность (Х[, х2), где

Переменные состояния динамической системы

Трение о стенки

Рис. 3.3. Система «масса-пружина» с затуханием

dy(t)

xx(t)=y(i) И x2(t) = -

dt

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, обычно записывается в виде

d2y

(3.1)

М

+ b^- + ky = u(t dt2 dt

С учетом введенных выше переменных состояния это уравнение примет вид:

. dx 2

+ bx7 + кх | —и (/)

(3.2)

М-

Следовательно, исходное дифференциальное уравнение второго порядка мы можем пред­ставить в виде эквивалентной системы двух дифференциальных уравнений первого поряд­ка:

dxx ~dt

(3.3)

(3.4)

= х

2 ■

dx2

dt

к Ь

Х, X,

М М '

1

н и.

М

Эти уравнения по сути описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния.

Другим примером системы, которую можно описать переменными состояния, яв­ляется ТЛС-цепь, изображенная на рис. 3.4.

Состояние системы характеризуется двумя переменными (Х[, х2) где хх есть напряжение на конденсаторе vc(/), и х2 — ток через ин­дуктивность //(/). Выбор этих переменных интуитивно понятен, т. к. общая энергия, за­пасенная в цепи, непосредственно зависит от них, как

E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5)

Таким образом, Х](/0) и x2(t0) несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, сле­довательно, о состоянии системы в момент t = /0. Для описания пассивной ЛіС-цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливаю­щих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравне­ние первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе:

іс ~С - у - = u(t)~ і і • (3.6)

at

u(t)

Источник4^ тока

Рис. 3.4. RLC-цепь

Переменные состояния динамической системы

Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, опре­деляющее скорость изменения тока через индуктивность:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

dt 1

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением:

v0 = RiL (О-

Уравнения (3.6) и (3.7) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния хх и х2:

(3.8)

*L-lx --Х Г3 9Ї

dt ~~L l L (39)

Тогда выходной сигнал будет равен

^i(0 = v0(0 = R х2. (3.10)

Используя уравнения (3.8) и (3.9), а также начальные условия [x,(f0), х2(/0)], мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.

Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и все­гда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для сис­темы второго порядка, такой как масса-пружина или RLC-цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации xx{t) и x2(t). Так, для RLC-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, vc(/) и v; (/), где vL — напряжение на индуктивности. Тогда новые переменные состояния, х, их'2, будут связаны со старыми переменными хх и х2 соотношениями:

х =vc =х, , (3.11)

х* = Vj =vc - RiL =х, - Rx2. (3.12)

Уравнение (3.12) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния vc и iL. В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций пе­ременных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовате­льно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.

Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на испо­льзовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механи­ческих, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций эле­ментов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относи­

тельно переменных состояния.

Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую оче­редь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но так­же биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состоя­ния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным со­стояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описываю­щие будущее поведение системы.

Ъи...bt

(3.14)

Ъпі...Ъпт

СОВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Знайомство з ITFin: інтегрована система управління для вашого бізнесу

ІТ-індустрія постійно зростає і розвивається, створюючи виклики для компаній управляти своїми ресурсами та проєктами ефективно. Якщо ви керуєте ІТ-компанією або працюєте в галузі IT-послуг, ви знаєте, наскільки важливо мати систему, …

Требования к качеству системы в частотной области

Мы постоянно должны задавать себе вопрос: какая связь существует между частотными характеристиками системы и ожидаемым видом её переходной характеристики? Другими словами, если задан набор требований к поведению системы во временной …

Измерение частотных характеристик

Синусоидальный сигнал можно использовать для измерения частотных характеристик ра­зомкнутой системы управления. На практике это связано с получением графиков зависи­мости амплитуды и фазового сдвига выходного сигнала от частоты. Затем по этим …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.