Механика гидро - и пневмоприводов

Апериодическое звено первого порядка

Этот тип звена можно описать уравнением

Т^ + У = Ки (4.80)

Или соответствующей уравнению (4.80) передаточной функци­ей

Иг«=ггЬ (4'81)

Где К — коэффициент усиления (преобразования); Г — посто­янная времени.

Переходную функцию, определяющую отклик (реакцию) апериодического звена на скачок входного сигнала и = 1(2), по­лучают либо путем решения уравнения (4.80), либо с помощью передаточной функции (4.81). В первом случае используют из­вестный из математики метод решения неоднородных диффе­ренциальных уравнений при начальном условии у(0) = 0. Во

Втором — сначала функцию 1(2) заменяют ее изображением

И(з) = (4.82)

А затем находят изображение

После подстановки в соотношение (4.83) правой части переда­точной функции (4.81) изображение выходного сигнала прини­мает вид

(4.84)

Для определения функции-оригинала у(2) по изображению У (5) используют формулу разложения Хевисайда

(4.85)

Где з*. — корни уравнения £*(з) = 0;

Для передаточной функции (4.81) и изображения (4.84):

М(0) = М(ак) = К, п = 1, = ^ = т,

Поэтому

У(0 = К +---- ----- е~*/Т = К (1 - е_1/г). (4.86)

График переходной функции (4.86) для апериодического зве­на первого порядка приведен на рис. 4.7, а. В данном случае процесс, вызванный ступенчатым изменением входного сигна­ла (скачком - м), является апериодическим, чем и объясняется название данного звена. Если такой график получен при испы­таниях какого-либо устройства, то по нему можно определить постоянную времени Г, которая равна значению t в тот момент времени, когда у = 0,63К. В этом легко убедиться, подставив в формулу (4.86) t = Т

Амплитудно-фазовую частотную характеристику аперио­дического звена описывает функция, полученная подстановкой $ — в передаточную функцию (4.81):

(4.87)

Выделяя вещественную Р(и) и мнимую части, формулу

(2.87) представляем в виде

Тг_.. ч К КиТ. .

^ “ 1 + (ыТ)2 ~ 3 1 + (иТ)г ( *

При изменении и от 0 до +оо АФЧХ, построенная по уравне­нию (4.88), будет полуокружностью с центром в точке Р(и) = = К/2, Ої(ш) = 0 (рис. 4.7, б).

Амплитудную частотную характеристику апериодическо­го звена можно найти как модуль в виде

А{и) = к/^[ї+{йту, (4.89)

А фазовую частотную характеристику, как аргумент

Ір(и) = — а, ТСІ£шТ

Логарифмическую амплитудную характеристику опреде­ляют с помощью формулы (4.89):

Цы) = 20^Л(ы) = 20&К - 101^1 + (ыТ)2]. (4.91)

Эта характеристика имеет две асимптоты, уравнение первой из них можно получить, подставив в формулу (4.91) и = 0 и записав результат в виде

Ьі{и) = 2Ь%К. Уравнение второй асимптоты (4.91) имеет вид Ь2{и) = 2ЩК -2ЩиТ

Обе асимптоты показаны на рис. 4.7, в сплошными линия­ми. Приближающаяся к асимптотам точная логарифмическая характеристика (4.91) нанесена штриховой линией. Наиболь­шее отклонение точной характеристики от асимптот составля­ет —3 дБ при и = 1/Т

Логарифмическая фазовая характеристика апериодиче­ского звена первого порядка, построенная по уравнению (4.90), изменяется в пределах от 0 до — 7г/2, проходя через точку (р(и) = —7Г/4 при и = 1/Т (рис. 4.7, г).

Примером апериодического звена первого порядка может служить устройство с поршнем, который нагружен силой Рпр> создаваемой пружиной жесткостью спр (рис. 4.8, а). Пренебре­гая, как в предыдущем случае, массой поршня и силами тре­ния, найдем давление в полости цилиндра

(4.94)

Предположим, что при некотором положении поршня сила пружины равна Рпр о. Измеряя от этого положения перемеще­ние 2/п поршня, представим уравнение (4.94) в виде

(4.95)

Рис. 4.8. Гидромеханическое устройство (а) и элек­трический контур (б) как примеры апериодического звена

Где рцо = ^про/^п — давление в полости цилиндра при на­чальном положении поршня.

Соотношение (4.95) показывает, что в результате дей­ствия силы на поршень пружины давление в полости цилиндра изменяется при перемещении поршня, поэтому разность давле­ний рп - Рц в формуле (4.72) является переменной величеной. Если остальные члены в правой части формулы принять по­стоянными, то график изменения расхода ф в зависимости от рц будет нелинейным (рис. 4.8, б). Чтобы линеаризовать полу­ченную для расхода ф функцию, проведем в точке 0; касатель­ную и ограничим используемый при расчете участок графика прямыми 1-1 и 2-2. После такой аппроксимации зависимость расхода ф от давления рц в полости цилиндра становится ли­нейной:

Я = Яо - К<эР(рп - Рцо),

Причем коэффициент Кс}Р взят по модулю, так как его отрица­тельный знак учтен в уравнении (4.96).

Подставив (2 из (4.96) в (4.71), получим

^п-^- = <Зо - КЯр(рп-р11о). (4-97)

Из уравнений (4.95) и (4.97) находим

+ № = <?.. (4.98)

Разделив все члены уравнения (4.98) на коэффициент при уп, запишем полученное уравнение в форме (4.80)

Т^ + Уп = КудЯ о, (4.99)

Где Т = Зп/{КдрСпр) — постоянная времени рассмотренного устройства; Куд = 8ц/(Кдрспр) — коэффициент преобразова­ния расхода среды в перемещение поршня.

Таким образом, перемещение уп нагруженного пружиной поршня будет изменяться после включения расхода фо в соот­ветствии с динамическими характеристиками апериодическо­го звена, если справедливы допущения, принятые при выводе уравнения (4.99).

Электрический контур, состоящий из резистора и конден­сатора, также может служить примером апериодического зве­на первого порядка (рис. 4.8, в). Записав известные из элек­тротехники уравнения

42 = и- гсК и гс = С - т-,

Аъ

Найдем

ЛС^ + «2 = иь (4.100)

Где ЛС = Т (Т — постоянная времени, Л — сопротивление резистора, С — емкость конденсатора); гс — электрический ток в контуре.