Механика гидро - и пневмоприводов

Уравнения движения и неразрывности рабочих сред

Процессы в технических системах с гидро - и пневмопри­водами во многом зависят от взаимодействия элементов приво­дов с рабочими средами. Для изучения этого взаимодействия применяют методы механики жидкости и газа, основанные на гипотезе сплошности рабочей среды, согласно которой среду рассматривают в макроскопическом масштабе, несоизмеримо превышающем расстояния между отдельными молекулами. В соответствии с такой физической моделью среда в отличие от системы материальных точек непрерывно распределена по за­нимаемому ею пространству, т. е. образует континуум. Ма­тематическое описание в указанном смысле сплошной среды может быть выполнено в переменных Эйлера и переменных Лагранжа. В первом случае движение среды определяют с
помощью величин, являющихся функциями пространственных координат и времени, причем необходимо учитывать, что че­рез одну и ту же точку пространства в разные моменты вре­мени проходят различные частицы среды. Во втором случае при описании движения среды используют величины, связан­ные с конкретными частицами, координаты которых заданы в начальный момент времени. Ввиду сложности уравнений, записанных в переменных Лагранжа, в механике жидкости и газа преимущественно применяют переменные Эйлера.

В связи с важностью уравнений, выражающих фундамен­тальные законы механики жидкости и газа, для дальнейшего освещения ряда вопросов механики гидро - и пневмоприводов ниже даны выводы этих уравнений, причем в дополнение к традиционному их изложению обращено внимание на особен­ности математического описания неустановившихся течений.

Уравнение движения среды (уравнение гидродинамики) основано на законе сохранения количества движения (импуль­са), согласно которому для ограниченного поверхностью 5 объ­ема V среды имеем

Где и — вектор скорости движения центра массы среды, на­ходящейся в объеме дУ р — плотность среды; Рт — вектор массовой силы, отнесенной к единице массы среды в объеме йУ] рп — вектор поверхностной силы, отнесенной к единице поверхности, ограничивающей объем (IV (напряжение поверх­ностных сил).

После деления на Л уравнение (2.10) принимает вид

^ I ipdV = I РтР + I Рп^5. (2.11)

V V 5

Левую часть уравнения (2.11) можно преобразовать путем дифференцирования интеграла, взятого по движущемуся в сре­де объему. Для этого возьмем два близких момента времени t и ^ = ^ + Д/. Условимся, что в момент времени t

А в момент времени ^ с учетом изменения V и ир до значений V' И (11/9У

К' = JЫpУdV V'

При малых А(

К'

V У-У

Соответственно,

ДК = К'-К = 1[(ир)'~(ир)](1У+ I (ир)*ёУ

V У-У

С точностью до малых величин порядка не выше первого

(ир)' - ир= Д* +

Поэтому

АК

V У'-У

Приращение V1 — V объема среды за время № допустимо считать равным dSunAt, где ип — проекция скорости точек поверхности 5 на внешнюю нормаль к ней. Учитывая это ра­венство, получаем

ДК = Д< I (IV+ Аг I(ир)'ип <1Б,

Отсюда находим

В последнем члене полученного выражения величина ир заменяет (ир) так как при переходе к производной At —> 0. Согласно формуле Гаусса - Остроградского, данный член мож­но представить в виде

/[ Г д д д

(ир) ип (ІБ = у I — (риих) + — (рииу) + — (рии2)

5 V

Подставляя это значение интеграла в предыдущее урав­нение и учитывая ранее принятое соотношение для К, имеем

) д(риих) д(рииу) д(рии2 У

Дх ду дг

V V

■Л //и(ж+р, іі''и)^ (212)

V V

Если в выделенном объеме среды отсутствуют источники и стоки, то последний интеграл в выражении (2.12) по условию неразрывности среды равен нулю. Тогда

Г/ч',л, = /'згл' (213)

V V

Соотношение (2.13) определяет важную для описания не - установившихся течений связь между изменениями во времени интегрального и местных значений количеств движения сре­ды. Чтобы получить в дифференциальной форме уравнение движения среды, определим рп в последнем члене уравнения

(2.10) , выделив с этой целью в среде бесконечно малый тетра­эдр ОАВС, каждая из трех граней которого перпендикулярна соответствующей оси декартовых координат, а положение че­твертой задано нормалью п (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Элементарный тетраэдр для определе­ния напряжений в рабо­чей среде

Обозначая Рд., ру, р2 и рп напряжения на гранях тетра­эдра, имеющих нормали 1,$, к, п, и применяя уравнение (2.11) с учетом формулы (2.13), получаем

1Р^аУ = /Р”^- /рх^-

V V 5Х

J PydS - J + j рпйБ, (2.14)

5у Бг 5п

Где 5Х, 5У, 5* — проекции площади 5П грани АВС, т. е. = = 5П соб(71ж), Бу = 5П соз(пу), 5* = 5п соз(пг).

В соответствии с теоремой о среднем из уравнения (2.14) находим

( с1и 5ПЛ _

Р ”7 3 _5пРпср

С05(п*)рхср - 5п СОБ(ггу)руср - 5П С08(п2)ргср, (2.15)

Где Н — высота ОБ тетраэдра. При Н —> О средние напряжения Рпср> Рхср> Руср> Р*ср в уравнении (2.15) стремятся к значениям напряжений в точке О, поэтому

Рп — Рх соБ(пх) + ру соБ(пу) + р2 со8(пг). (2.16)

Согласно уравнению (2.16) напряжение в точке О среды на произвольно ориентированной площадке можно найти по трем
напряжениям рх, руу р^, на площадках, перпендикулярных осям декартовых координат и проходящих через точку О. В свою очередь каждый из трех векторов Ря, рр2 можно пред­ставить тремя проекциями, вследствие этого напряжение в точке произвольно ориентированной площадки определяет тен­зор второго ранга

Рхх Рху Рхг

Рух Руу Руг I = (Р{к)•

Ргх Ргу Ргг /

Первый индекс у компоненты тензора напряжений соот­ветствует оси, перпендикулярной площадке, второй — оси, вы­бранной для вычисления проекции вектора напряжения.

Подставив в последний интеграл уравнения (2.11) рп из уравнения (2.16) и затем применив к этому интегралу формулу Гаусса — Остроградского, получим

J pndS = I[рх соб(пх) + ру соБ(пу) + р2 соБ(пг)] (18 =

V

С помощью соотношения (2.13) и уравнения (2.17) приве­дем уравнение (2.11) к виду

V

Интеграл (2.18) должен быть равен нулю при любом V что выполняется, если

/>— - оР +^Е£ + ??г + ^. Г2 194

Р а - рРт + дх + ду + а*' (219)

Уравнение (2.19) описывает неустановившееся движение сплошной среды в напряжениях, которые необходимо дополни­тельно определить. Для этого предварительно выбирают фи­зическую модель среды. Достаточно общей является модель, учитывающая вязкость, сжимаемость и теплопроводность сре­ды. Изотропную среду называют ньютоновской, если при ее
движении компоненты тензора напряжений будут линейными функциями тензора скоростей деформаций, а в покоящейся сре­де действуют только нормальные напряжения. К ньютонов­ским и близкими к ним средам относится большинство рабо­чих сред, используемых в приводах. Также широко применя­ют кремнийорганические жидкости, отличающиеся по своим свойствам от ньютоновских. Однако эти различия могут быть несущественными для гидродинамических процессов в приво­дах и прежде чем их учитывать, в каждом конкретном слу­чае необходимо провести дополнительные исследования. Далее при изложении механики гидро - и пневмоприводов предпола­гается, что рабочие среды допустимо считать ньютоновскими. Для таких сред зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций имеет вид

Где р — давление, которое равно взятому с обратным зна­ком среднему арифметическому трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, причем в общем случае к вычисленной та­ким образом величине прибавляют fiv div u; е— компоненты тензора скоростей деформаций; Ai — определяется соотноше­нием:

Ai = Hv ~ (2.21)

Для компонент тензора напряжений из уравнения (2.20) можно записать

Дих (дих диу

TOC o "1-5" h z Рхх = - р + А1 div и + 2ц —; рху = рух = ц + — J;

. Л диу (дия диг

Руу = ~Р + Aidivu + 2/i—; pyz = pzy = + — j;

, , „ duz (дих диЛ

Pzz = - р + Ai div u + 2ц —; р2Х = рХ2 = ц I I.

Компоненты рм при i ф к являются касательными на­пряжениями. Эти напряжения с одинаковыми, но располо­женными в обратном порядке индексами будут попарно рав­ны, что следует из равенства моментов относительно произ­вольной оси. Чтобы подчеркнуть их отличие от нормаль­ных напряжений (рм при г = &), введем следующие обозна-

Чения: Рху Рух — т~ху т~ух j Pyz Pzy

Pzx ~ Pxz — TZX — Txz •

В таких обозначениях касательное напряжение при парал­лельно* струйном движении вязкой среды в направлении оси Ох в плоскости хОу выражает закон трения Ньютона:

Дит

Тух = Ц - Щ. (2.22)

Рассматривая совместно уравнения (2.19) и (2.20), полу­чаем в проекциях на оси декартовых координат следующую систему уравнений движения вязкой сжимаемой среды:

Duv dp

P~dt-'>F’‘-Ty+i

Д d + ^K^-2n/3)divu} + —

( dux duy

V dy + dx ).

Dx

( duv duz

.'‘(«7+%-j.

+

(& + %)]•

В левых частях этих уравнений стоят полные (индивиду­альные) производные, которые можно записать в виде сумм локальных и конвективных ускорений среды:

Dux дих дих --------- “ + их

Dt dt dx

Duz _ duz duz

Dt dt Ux dx

Уравнения гидродинамики при p, v — 0, р = const были впервые выведены Навье (1827 г.) и Стоксом (1845 г.) Для невязкой среды (/х = 0, fly 0) уравнения гидродинамики получены в 1755 г. Эйлером, им же предложены уравнения, описывающие равновесие среды.

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы среды. Этот закон при отсутствии в выделенном объеме

V среды источников и стоков можно представить в виде

PdV = 0. (2.23)

V

Дифференцирование интеграла (2.23), взятого по подвиж­ному объему, выполняется тем же способом, который был рас­смотрен в случае преобразования левой части уравнения (2.11). Но здесь величину ир следует заменить на р. После дифферен­цирования получаем

1(^+ри)= °- (2-24) К

Равенство (2.24) справедливо для любого объема V, что возможно только в том случае, когда подынтегральная функ­ция равна нулю. Согласно этому условию имеем уравнение

^ + р <Ну и = 0, (2.25)

Ис

Которое в механике жидкости и газа названо уравнением не­разрывности (сплошности) Выразив (Ну и в проекциях на оси декартовых координат, уравнение (2.25) можно привести к виду

Dp, д{рих) d(puy) d(puz) _n

Di + ~~dT + ~di~ + ~dT - °- (2-26)

Если не учитывать сжимаемость среды, то при р = const из (2.26) будем иметь

Дих диу ди2 Л.

Дr + w+«r=0' (2'27)