Оптоэлектроника

Оптические переходы между валентной зоной и зоной проводимости

Сейчас нас будут интересовать переходы между различными состояниями в квантовой яме под влиянием синусоидально изменяющегося во времени возмущения, например, элект­ромагнитной волны. Можно представить себе три типа переходов: (I) — межзонный пере­ход, при котором электрон в валентной подзоне может быть возбужден в подзону прово­димости; (II) — межподзонный переход, при котором электрон перемещается из одной подзоны в другую, оставаясь в той же самой зоне; (III) — внутриподзонный переход, при котором электрон переходит в различные состояния К в пределах той же самой подзоны п.

Последний тип перехода может иметь место вследствие процесса рассеяния, как это уже обсуждалось в контексте поглощения на свободных носителях в допол­нении 7. В. В этом случае для осуществления необходимого обмена импульсами между электроном и решеткой требуется взаимодействие с фононом или примесью (смотрите рис. 7.В.2). Два другие типа переходов для случая взаимодействия с элек­тромагнитной волной представлены на рис. 8.11. Новым моментом, вводимым дву­мерным аспектом квантово-размерной системы, является то, что межподзонные оп­тические переходы являются разрешенными в первом порядке. Очевидно, что в объемном материале такой процесс запрещен. Этот важный механизм мы будем обсуждать в следующем разделе.

В случае межзонных переходов мы можем рассчитать скорость перехода, ис­пользуя золотое правило Ферми. Рассмотрим волну, проходящую через яму:

Е(г, t) = Е, cos(q • г - Ш) = -|е, exp[i(q • г - й*)]+-|е; ехр[- i(q г - cat)] (8.51)

Потенциал взаимодействия электрического диполя (смотрите раздел 3.2 и до­полнение З. Г) электронов в квантовой яме есть:

К,(г> 0 = ~еЕ ■ г = -|Е, • rexp[i(q • г - «/)]+ К. с.

Скорость перехода из состояния у/*пК в валентной зоне в состояние у^тК, в зоне прово­димости в соответствии с золотым правилом дается соотношением:

S(nK -> тК') = ^_е2|(тК'|Е, . г|яК)|2<У(^к. - Е;к - ha) (8.53)

По сравнению с объемным случаем (смотрите уравнение (7.10)) в рассматрива­емой ситуации имеет место изменение дипольного матричного элемента:

(mK'jE, • г|иК^ = - jjC‘*(z)u*0(r)e-iK'RE, • геі, г^„"(г)иу0(г)е'ІККсІг (8.54)

Идя по тому же пути, как это уже неоднократно делалось в этой главе, и учитывая, что огибающая функция изменяется медленно по сравнению с постоянной решетки, мы мо­жем выделить быстро и медленно изменяющиеся части, положив г = г' + (К., г.), где г' принадлежит элементарной ячейке, а г. = (К., £.) обозначает положение /-той эле­ментарной ячейки. В этом случае интеграл превращается в сумму по /:

Г, * i(K+q-K'K

+ Eq • г jdr«fo(rXor

Cell

Где а1 есть постоянная решетки в направлении ъ Последнее приведенное уравнение не поддавалось бы трактовке, если бы не наше умение сделать определенные упро­щающие предположения. Начнем с того, что заметим в сумме по К. проявление закона сохранения для параллельных компонент импульса К+ ц — К' = 0. Посколь­ку волновым вектором излучения можно пренебречь по сравнению с волновыми векторами электрона КиК'в зоне Бриллюэна, это требование к импульсу учитыва­ется дельта-функцией Кронеккера Дк к„ что приводит к ненулевому вкладу только для К = К'. По этой же самой причине сумма по г. может быть заменена интегра­лом, что приводит к следующему выражению для первого интеграла:

(8.56)

В этом выражении мы обнаруживаем матричный элемент гус для г перехода между валентной зоной и зоной проводимости.

В дополнение к этому, если протяженность волновых функций (~ толщине квантовой ямы) очень мала по сравнению с длиной волны Л, то в этом случае мы просто имеем:

A =,K-Eq-r, c(/n, c|n, v>

При этом

(8.576)

Во второй части уравнения (8.55) экспоненциальное выражение под знаком интегра­ла является практически константой, т. к. Л»аг, а К и К' далеки от края зоны Бриллюэна (в противном случае аппроксимация огибающей функции не действительна), при этом ортогональность блоховских функций устраняет этот член.

Таким образом, скорость перехода составляет:

5(иК -> /иК') = Ц— |Е„ • г„с|2|(т, с | п, v^S(Es - Лю)Дк к. (8.58а)

При этом:

„ с П2К2 , ,| Й2 К2 _ „ П2К2 Ь2К2 /овол

£--е-*^-м*т^г+£-=£“*^г+^г <8-5ад

В связи с этим отметим, во-первых, что сохранение полной энергии вводит порог для оптического поглощения Нсо > Е^ТС5Ш(1 ^ + К1 > Таким образом, порог

Оптического поглощения в квантовой яме испытывает коротковолновый сдвиг по сравнению с поглощением объемного полупроводника на величину, равную сумме энергий ограничения в зоне проводимости и валентной зоне. Этот коротковолно­вый сдвиг используется для определения физических параметров квантовой ямы (состав барьеров, толщина ямы...). Скорость генерации электронно-дырочных пар равна числу переходов в секунду:

(8.59)

В этом выражении вероятности заселенности обеспечивают присутствие электрона в на­чальном состоянии |п, у) и незаполненное конечное состояние |/и, с). Сохранение энергии и параллельной компоненты импульса определяют К как функцию энергии фотонов:

(8.60)

Здесь: тг есть приведенная масса. При термодинамическом равновесии в качестве след­ствия получаем:

Е" ^=]?{^~Е* ~ е'т ~ /;(Ю = /;М= —

К (М= А - - Е1 - £» - < |)

Для переходов между валентной подзоной п и подзоной проводимости т мы можем просуммировать по К:

— TOC o "1-5" h z |Е, гте|!К«, V | т, с)|2х^-У //(К)[1 - /;(К)]<5 2й " 1 А

-|ЕЧ • г„с|2|(а?, V I т, с)|" х | (Ьсо)^ - /тс(Ь0))б

Ке

2 Ь

Или

=—е2|Е, • г„е|2|(я, V I т, с)|2 ^-хв(П0)- ЕЛМ) //(йю)[1 -(йю)] (8.63а)

2Ь лЬ, „______ /

Это выражение мы можем вновь переписать в виде:

= — |Е, • т„21{«, v|m, c)|2^-x в(г, со - )// {%(о% - /я‘ М] (8.636)

2Н 7lfl

Скорость межзонных переходов для квантовой ямы (с-1 см-2)

В этом выражении можно увидеть произведение дипольного момента и элемента перекрытия (п, v |/и, с), комбинированную плотность состояний для двумерного слу­чая, mjfi2, а также соответствующую статистику заселенности. Таким образом, скорость генерации Gmn является произведением коэффициентов статистики /ш и /п, которые зависят от температуры, положения уровня Ферми и скорости генерации G° = что имело бы место в случае, когда fm( ~ fn) было бы равно единице и

Зависело лишь от структуры. Это иллюстрируется рисунком 8.12.

Перекрытие огибающих функций |(т, с п, у)|2 позволяет ввести правила отбора. Например, в симметричной квантовой яме переходы между подзонами с различной четностью запрещены. В случае подзон, лежащих глубоко в яме, огибающие функ­ции для электронов и дырок практически идентичны так, что возможны только переходы между состояниями, обладающими одинаковыми индексами (т = п).

Анализ, проведенный для переходов, индуцированных поглощением, между валентной зоной и зоной проводимости дает совершенно те же результаты для сти­мулированного излучения (в этом случае участвуют переходы между зоной прово­димости и валентной зоной) за исключением статистики заселенности. Стимулиро­ванная рекомбинация за счет поля имеет вид:

К = X ■Б -{По}) (8-64)

При этом баланс генерации—рекомбинации из-за поля имеет вид:

— ] = — |Е„ ■ г«Г X (т, сп, у)^в(Пю - Е, ьм '{[„"(По))- /тс(М] (8-65)

К (1/ упеЛ 2/? Я/? и, т

Баланс скорости оптической генерации - рекомбинации для квантовой ямы (с-1 см-2)

И, наконец, вспомним, что для двух блоховских функций с собственными состояниями, имеющими одинаковые к в различных зонах, справедливо соот­ношение:

Ы1Н > Г] |«Л> = (ЕЛ - £*)(«* I Г |Ма) = («ск| Р |МИс) (8.66)

Т„

Как было показано ранее в главе 7, матричный элемент гус может быть выражен через матричный элемент Кейна, использованный в дополнении 5.В в рамках к • р - метода:

1» <м7> Г = р

" Еет0 Р"

Мы можем задуматься над тем, следует ли заменять член Eg в (8.67) на со в выражениях для скорости генерации, чтобы учесть фотоны с энергией, превышающей ширину запре­щенной зоны. Однако, мы не должны слишком много требовать от аппроксимации огиба­ющей функции, которая применима лишь до тех пор, пока Н со— Е^/Е «1.

Тот факт, что вырождение валентной зоны приводит к возникновению отличных друг от друга подзон тяжелых и легких дырок имеет в качестве следствия то, что матричный элемент гус зависит от типа перехода. С использованием волновых функций дырок дополнения 5.В читатель может убедиться в справедливости правил отбора, приве­денных в таблице 8.1.

В частности, переходы между электронной подзоной и подзоной тяжелых ды­рок запрещены для ТМ-поляризации (т. е. для электрического поля, перпендику­лярного границам квантовой ямы — смотрите главу 9).