Оптоэлектроника

Лавинный пробой

Если электрическое поле, приложенное к полупроводнику, значительно превышает поле скорости насыщения, часть из электронов будет способна приобрести дополнительное ко­личество энергии по отношению к минимуму зоны проводимости, большее ширины запре­щенной зоны Eg. В этих условиях становится возможным процесс ударной ионизации. Элек­трон взаимодействует со всеми другими электронами в валентной зоне за счет элекгрон - электронного взаимодействия, при этом он может возбудить через запрещенную зону другой электрон, что соответствует генерации электронно-дырочной пары (процесс генерации). В этом процессе сохраняются энергия и квазиимпульс. Перед столкно­вением мы имеем электрон в состоянии к. с энергией Ес(к.) и электрон в состоянии - кл с энергией Ev (кА). После столкновения в зоне проводимости имеются два электро­на в состояниях kj и к2 при этом законы сохранения могут быть записаны (смотрите обратный процесс на рис. 6.Г. 1):

К - к. = к. + к,

' л 1 ^ (6.В.1)

Ес( к,) + ЕД кл) = Ес( к,) + Ес( к2)

Для того, чтобы определить энергетический порог этого процесса, используем аппроксимацию параболической зоны Ес(k.) = Eg + h2k2/2me и Ev(kh) = ~h2kh2/2mh, а также предположим, что эффективные массы составляют для электронов те и для дырок т.

(6.В.2)

H2k2 г h2k? %2kl ti2k?

---- — - Е +------- — +---- — +---- -

2 то 8 2т, 2т„ 2т,

Мы можем убедиться в том, что минимум начальной энергии реализуется, ког­да все импульсы ориентированы в одном и том же направлении. Более изящно можно определить этот минимум (с использованием метода Лагранжа), минимизи­руя функцию:

/■ = £ +1*1- + 1*г - + 1**-+А(*1+Л2 + Л,) (6.В. З)

2 те 2 те 2тИ

Где Я есть множитель Лагранжа. Беря производную от к{, к2 и &й, мы находим, что:

(6.В.4)

Отсюда мы определяем минимальную начальную энергию:

Ь7 к'

Это выражение приводит к порогам ударной ионизации слегка выше Е в случае тяжелых дырок, но к величине порядка 3/2Е в том случае, когда те, тИ близки друг другу. Таким образом порог ниже в случае генерации тяжелых дырок.

Из соображений симметрии аналогичный процесс, при котором начальной частицей является дырка, дает тот же самый результат, что и в предыдущем случае при соответству­ющей замене те на тк. В то же время мы должны четко представлять, что в рассматривае­мом диапазоне энергии использование параболического приближения не является доста­точно корректным.

Как только первичный электрон генерировал электронно-дырочную пару, он будет вновь ускоряться электрическим полем, что делает возможным его участие в последующих актах генерации пар. Подобным же образом после достаточного ускорения в электрическом поле каждая из вторичных частиц, в свою очередь, будет способна играть роль первичных частиц и участвовать в процессе генерации пар. Основным результатом такого процесса является то, что полная концентрация свободных носителей в структуре возрастает геометрическим образом. Такая ситуация в полупроводнике называется пробоем и сопровождается возраста­нием концентрации свободных носителей и увеличением проводимости. На практике, мы определяем коэффициенты ионизации ап и ар (которые в дальнейшем будем пола­гать равными) как число вторичных пар, генерированных первичным электроном при пробеге электроном 1 см среды в направлении приложенного поля. Естественно, что эти коэффициенты зависят от напряженности поля Е. Таким образом, при перемеще­нии через область сильного поля 0 < х < первичный электрон сможет генерировать:

И>

= |а/1(7г)/х (6. В.6)

Вторичных пар. Вторичные и последующие частицы могут генерировать полное число элек­тронов в этой области (до тех пор, пока ТУ < 1), определяемое соотношением:

Nw= + N, + N,2+ М? +... = (6.В.7)

Если электрон входит в область при * = 0, на выходе из области при х = будет электронов. Мы определяем коэффициент умножения Мп для электронов как отношение выходного тока и тока на входе в область сильного поля. Аналогичным образом мы можем определить Мр для дырок как у (0) = Л/уДи^, где дырки входят в область в точке и> и покидают ее в точке 0. Рисунок 6.Ь.1 иллюстрирует явление лавинного пробоя.

Наиболее простая модель для определения коэффициентов ионизации предло­жена Шокли, и она известна под очаровательным названием модели счастливого элек­трона. Поскольку лишь электроны, которые обладают энергией больше пороговой, определяемой (6.В.5), будут способны запустить лавинный механизм, таких электро­нов будет очень немного, так как по большей части электроны будут растрачивать свою энергию в столкновениях еще до того, как из-за ускорения они приобретут пороговую энергию. Обозначим через Лор длину свободного пробега электрона до столкновения с оптическим фононом (для простоты предположим, что она не зави-

Рис. 6.В.1. Иллюстрация процесса умножения носителей за счет ударной ионизации. Под влиянием сильного приложенного поля У7 в область сильного поля в точке л: = О входит одиночная частица, в то время как Мп электронов выходят из области сильного поля.

Сит от энергии), а через Л обозначим среднюю длину свободного пробега до соударе­ния с другим электроном (в предположении, что пороговая энергия уже достигнута). Наконец, предположим, что каждое столкновение сопровождается падением скорос­ти электрона до нуля. Для того, чтобы приобрести пороговую энергию £., электрон должен пройти минимальное расстояние хР определяемое Е. = еЕх.. Вероятность того, что электрон сможет сделать это без рассеяния на оптических фононах составляет:

Как только кинетическая энергия электрона превысит порог ионизации (смот­рите рис. 6.В.2), средняя длина свободного пробега А будет определяться совместным проявлением двух механизмов 1/Я = 1/Л. + 1 /Л. Вероятность того, что первым актом столкновения, испытываемого электроном, является ударная ионизация (а не рассе­яние на фононе решетки) составляет таким образом А/А.. Если же первым процессом будет столкновение с фононом, скорость электрона упадет до нуля, и он должен будет вновь наращивать энергию с самого начала. Для такого «холодного старта» вероятность ионизации будет составлять:

О Я

Р( = — ехр

Если мы определим аор как число столкновений с фононами на длине пробега в 1 см, баланс между энергией, передаваемой электрическим полем, и энергией, рассе­иваемой в процессах ионизации и излучения фононов, может быть записан в виде:

ЕР = апЕ{ + аорЕор

Где а есть коэффициент ионизации, который мы ищем. В этом случае число актов набора энергии электронами из состояния остановки (после соударений) составляет ап + ар, что дает число столкновений на длине в 1 см:

№ (6В11)

Устраняя аор в (6.В.10) и (6.В.11), получаем:

ЕРРі

Осп =

Где мы воспользовались тем фактом, что Е ор<< Е. (~50 мэВ и ~1 эВ соответствен­но). Повторная подстановка (6.В.9) в этом случае дает окончательный результат, иллюстрируемый рисунком 6.В. З:

ЕЕ ехр [- {Е, / еЕЛ00 )] (Я,/ЯКр + Е, ехр [- {Е, / еЕЛор )]

За исключением случаев очень сильных полей Р мы можем пренебречь вторым членом в знаменателе, что позволяет нам переписать (6.В. 13) в виде:

(6.В.13)

Коэффициент ударной ионизации

Несмотря на крайнюю упрощенность этой модели выражение (6.В. 14) успешно воспроизводит экспериментально наблюдаемые зависимости ап от напряженности приложенного поля.

Литература

J. S. Blakemore, Semiconductors Statistics, Dover, New York (1987).