Оптоэлектроника

Проблемы, накладываемые континуумом: виртуальный квантовый ящик и плотность состояний

Квантовое описание делокализованных состояний, принадлежащих континууму, ис­пользует теорию распределений. Это описание пытается дать трактовку сложных проблем, таких как нормировка волновых функций в нулевом потенциале в интерва­ле от —о® до +оо. в этой книге систематически используется прием, основанный на введении понятия виртуальной бесконечной квадратной ямы шириной L, в которой движение электронов континуума, как мы увидиим дальше, является квази-кванто - ванным. Более того, когда мы принимаем L, стремящимся к бесконечности в полу­ченных выражениях, зависимость от L удобным образом исчезает из наших физичес­ких предсказаний. В этих рассуждениях нет никакого дополнительного поучения; разве что педагогическая защита теории распределений! Далее рассмотрим иллюст­рирующий пример: фотоэмиссию из одномерной ямы.

Рассмотрим квантовую яму шириной L, как это представлено на рис. 1.А.1.

Положение (нм)

Рис. 1.А.1. Процедура квази-квантования состояний потенциального барьера. Ши­рина Ь бесконечной квадратной ямы имеет произвольную величину.

Эта квантовая яма допускает существование квантового уровня |/), описывае­мого квадратично интегрируемой волновой функцией и квантовым энергети­ческим уровнем — Е1 (где индекс / соответствует (по причинам, которые будут понятны позже) ионизации). Далее мы предположим, что яма достаточно глубока для ), чтобы рассматривать в качестве волновой функции основного состояния функцию вида:

Г1к)=^С08^* (1.А.1)

Эта яма допускает существование делокализованных состояний, в которых элек­троны могут иметь любую положительную величину энергии. Мы будем пренебре­гать влиянием ямы на свободные электроны, т. е. будем предполагать, что свобод­ные электроны подвержены воздействию нулевого потенциала, как только они ока­зались в области континуума. Во избежание проблем, связанных с нормировкой этих волновых функций, мы вводим виртуальную квадратную яму шириной Ь, внутри которой электроны континуума являются захваченными. Соответствующие собствен­ные энергии и собственные функции несвязанных состояний имеют вид:

Cos nkLz, если п является нечетным энергия ограничения виртуальной ямы:

Ео = - т~т Щ. (1.А. З)

2т

^ = у (1.А.4)

Если Ь имеет сантиметровые размеры, то е0 имеет величину порядка 10-11 эВ. В этом смысле такой ящик был бы виртуальным, так как энергетический интервал между уровнями был исчезающе мал по сравнению энергией тепловых взаимодей­ствий (порядка мэВ). Энергетические уровни в соответствии с (1.А.2) настолько близки друг к другу, что вместо того, чтобы пытаться рассматривать их по отдельности, сгруп­пируем их вместе с помощью бесконечно малых секторов плотности состояний.

Рассмотрим некий интервал волнового вектора йк. В пределах этого интервала отдельные состояния виртуального ящика разделены по волновому вектору на р/Ь. Очевидно, что без учета электронного спина число состояний в пределах этого ин­тервала составляет:

Йп = — йк (1.А.5)

71

В этом случае плотность состояний йп/йк дается соотношением:

Р(*) = - ТГ = - (1А6)

6к п

Дифференцированием (1.А. З) получаем, что в том же интервале соответствую­щее изменение энергии связано с йк соотношением:

(1.А.7)

2 НЕ

В результате энергетическая плотность состояний принимает вид:

I л]2т* 1 , 0

Одномерная плотность состояний без учета спина

Отметим, что при стремлении Ь к бесконечности, р (Е) также будет возрас­тать без ограничений. Этого и следовало ожидать, так как все большее число состояний будет находиться в пределах одного энергетического интервала, когда энергетический интервал между состояниями уменьшается.

Теперь рассчитаем вероятность перехода между начальным квантовым состо­янием |/) и континуумом в условиях синусоидально изменяющегося дипольного возмущения:

Щ. Z,i)=: -qFzcos(wf) (1.А.9)

В соответствии с золотым правилом Ферми (1.856) вероятность перехода может быть записана в виде:

G*(ftЯ>) = ^p~zf2p{hco =Е,- £,)

Матричный элемент перехода ^ отличен от нуля только для нечетных конеч­ных состояний и дается выражением:

SHAPE \* MERGEFORMAT

(1.А.11)

(1.А.12)

Где/(£) представляет собой одномерный интеграл в уравнении (1.А.11), выражаю­щийся соотношением:

(1.А.13)

(1.А.14)

Теперь подставим выражение для zif в (1.А.10). Заметьте, что, как и предсказы­валось, ширина виртуального ящика L, которая фигурирует в знаменателе матрич­ного элемента перехода и числителе плотности состояний, в этом случае устраняет­ся. С физической точки зрения, чем больше ширина квази-ямы, тем больше долж­на быть плотность конечных состояний. Однако влияние этого фактора на вероятность перехода устраняется, так как увеличивающаяся ширина приводит также и к уменьшению плотности вероятности электронных состояний над квантовой ямой (шириной L) на подобную же величину.

Учитывая, что плотность конечных состояний составляет лишь половину вы­ражения, представленного в виде (1.А.8) (вследствие спина электронов, сохра­няющегося в процессе переходов), мы находим таким образом, что вероятность перехода из начального квантового состояния в континуум может быть записана в виде:

(1.А.15)

Таким образом, мы обнаружили, что поведение системы не зависит от размера виртуального ящика, введенного нами первоначально. Этот метод называется ме­тодом квази-квантования, и он оказывается мощным инструментом несмотря на свою кажущуюся простоту. Рисунок 1.А.2 иллюстрирует зависимость скорости пе­рехода от частоты возбуждения со.

Обратите внимание на наличие порога ионизации для вероятности перехода. Энергия среза для детектируемых фотонов соответствует энергии ионизации. Более того, поглощение вблизи порога детектирования, т. е. для фотонов с Н со ~ Ер дается соотношением:

Gif ос ^fico-En дляНсо - Ef

Второй особенностью является квази-резонансная природа вероятности пере­хода вблизи энергетического порога фотоионизации. Этот квази-резонанс возни­кает как следствие уменьшения плотности состояний (как к~1) также и дипольного момента (как к.~2), что приводит к:

0 7--------- —*7Т> пляпсо» Е1 (1.А.17)

^(о-Е1),~

Приведенные выражения дают разумное описание спектральной характеристи­ки квантово-размерных детекторов.