Оптоэлектроника

Возмущение вырожденного состояния

Рассмотрим систему, описываемую гамильтонианом #0, обладающую вырожден­ным состоянием Еп со степенью вырождения gn (т. е. систему с gn независимыми собственными векторами {iffj), / = 1, •••>£„}, образующими подпространство соб­ственных векторов и имеющими одну и ту же собственную энергию Еп). Найдем возмущение, вызываемое в подпространстве собственных векторов, возмущающим полем IV = а(/. Уравнение (1.54) утверждает, что возмущенное состояние всегда принадлежит подпространству собственных векторов, но не дает возможность оп­ределить возмущенное состояние |0), поскольку все линейные комбинации соб­ственных векторов \fzj) образуют возможные решения этого уравнения. Таким об­разом для определения возмущенного состояния |0) необходимо использовать (1.54б). Проецируя (1.546) на векторы iffj), мы находим:

(¥-„и) = е1(г„) (1.Б.1)

Напомним, что неизвестными являются новое возмущенное состояние |0> и величина возмущения АЕ = аег Уравнение (1.Б.1) есть ничто иное, как уравнение на собственное значение и собственный вектор для оператора возмущения IV в подпространстве собственных векторов {|цгп‘)9 / = 1, ..., gn}. Для большей убедитель­ности на некоторое время обозначим как с. компоненту |0) в базисе у/п‘) (т. е. с. = (у/п‘)) и как у.. элемент матрицы возмущения В этом случае в

Матричной форме уравнение (1.Б.1) запишется в виде:

Можем увидеть, что представленное выше секулярное уравнение соответствует диа - гонализации оператора возмущения Ж в подпространстве собственных векторов | у/^).

Для того, чтобы уточнить наши рассуждения обратим наше внимание на при­мер, иллюстрирующий использование указанного формализма. С этой целью рас-

Смотрим две идентичные физические системы, далеко расположенные друг от дру­га (рисунок 1.Б.1).

Система слева центрирована при гп в то время как система справа центрирова­на при г. Соответствующие гамильтонианы обеих систем имеют вид:

= £- + у(г,)

£ТП

(1.Б. З)

Обе системы обладают подобными гамильтонианами и таким образом имеют идентичные собственные энергии. Например, |/) и |г> обладают одной и той же энергией основного состояния:

Н,1) = Ц1)

Нг) ~ Щг)

Теперь плотно сблизим обе системы таким образом, чтобы каждая из них ока­зывала возмущающее действие на другую систему. Теперь мы можем представить это влияние в виде гамильтониана возмущения. В этом случае уравнение (1.Б.2) примет вид:

Без ущерба для общности мы можем предположить, ЧТО Уп = Уи = 0 и что нд являются действительными и равными А. Тогда уравнение (1.Б.5) может быть пере­писано в виде:

Из этого следует, что система обладает собственными энергиями и собствен­ными векторами вида:

Е* =Е + А +} = ^(г) + 1))

Е=Е-А -) = ^{г)-1))

В этом случае основное состояние Е более не является собственной энергией состояний |/> и |г). Можем сказать, что взаимодействие между системами снимает вырождение и что состояния |/) и |г) являются гибридизированными. Схематически этот механизм иллюстрируется рисунком 1.Б.2.

Этот механизм образует основу химической связи. Рассмотрим в качестве при­мера два атома водорода. При большом удалении друг от друга энергия их двух электронов составляет 2Е (где Е представляет энергию основного состояния каждо­го электрона). По мере сближения сила их взаимодействия IVувеличивается, при­водя к снятию вырождения, при этом два электрона на уровне |—) теперь имеют полную энергию 2(Е~ А) (из-за вырождения по спину). Продолжим наше рассмот­рение, иллюстрируя его особенно наглядным примером.

Пример: связанные квантовые ямы----------------------------------------------------------------------------------------------------

Прогресс в области синтеза высококачественных кристаллических полупроводни­ковых гетероструктур обеспечил возможность выращивания квантовых ям, разде­ленных барьерами толщиной порядка нескольких постоянных решетки (несколько нанометров или несколько больше). Рассмотрим две такие квантовые ямы шири­ной а, центрированные при +Ь и —Ь соответственно (рисунок 1.Б. З).

Примем энергетическую глубину квантовых ям, равной К0. Полный гамильто­ниан электрона в рассматриваемой системе дается соотношением:

Рис. 1.Б. З. Снятие вырождения в системе из двух связаннанных квантовых ям за счет электронного туннелирования.

НТ = ^ + У{х-Ь)+У{х + Ь) (1.Б.8)

2т

Где V — ступенчатая функция, равная — К0 в интервале между и —а/2, я/2 и 0 в других областях. Мы уже видели, что можно записать полный гамильтониан в виде суммы невозмущенных гамильтонианов и добавки, связанной с возмущением из-за взаимодействия:

Н = Нг + У(х + Ь)=Н, + У(х-Ь) (1.Б.9)

Каждая яма обладает одной и той же энергией основного состояния £,, опреде­ляемой решением уравнения Шредингера. Если глубина квантовых ям К0 достаточ­на. Волновые функции стационарных состояний в каждой из них приближенно могут быть записаны с использованием (1.44б) в виде:

Ф,(х)« cos к(х + b для -(L/2 + b)<x<-L/2

ФХх)~ л — —e~K(x+L/2 для х > - L /2

Vа ка

Фг0е) ~ JпcosHx - b) для L/2<x<L/2 + a

Фг(х)~ ]——e-<x~L/2 для х < L/2 а ка

Ка

Где к и к являются соответственно электронной длиной волны и глубиной проник­новения, описываемой (1.33) при L = 2Ь — а. Таким образом, матричные элементы (1.Б.5) легко сосчитать. При этом недиагональные элементы имеют вид:

TOC o "1-5" h z L/2+a а

Wir = ~vo f=------------------------------ f e"'" cos k(u - a/2)du (1.Б.12)

J ка J

L/2 0

что дает после несложных преобразований:

Ж’.e-'i (1.Б.13)

Ка

Аналогичный расчет позволяет определить величину диагональных элементов. Они пропорциональны q~2kL и ими можно пренебречь по сравнению с недиагональными элементами. Связь между двумя квантовыми ямами за счет туннелирования снимает таким образом вырождение системы, приводя к расщеплению величиной 2wlr или:

%е~к1

АЕ ~ —--- Ех (1.Б.14)

Ка

Снятие вырождения системы из двух квантовых ям

Для двух квантовых ям шириной 4 нм с потенциальной глубиной 250 мэВ соот­ношение (1.43) дает энергию ограничения Е{ величиной 106 мэВ и коэффициент туннельного ослабления 0,502 нм-1. Если две квантовые ямы разделены интервалом в 5 нм амплитуда снятия вырождения составит 34 мэВ. Рисунок иллюстрирует ре­зультаты точных расчетов, показывающих, что на самом деле действительная вели­чина расщепления составляет 10 мэВ. Противоречие между двумя величинами про­исходит из-за того, что аппроксимация бесконечной квадратной ямы недействи­тельна для конечных квадратных ям.